Lazare Carnot

“ Mon imagination cherche un objet sensible ; des formes purement algébriques ne lui offriraient rien que de vague. La division du volume en tranches ou particules m’offre un tableau, éclaire mon esprit, le guide, et facilite la solution. Je regarde l’une de ces particules comme l’élément de la quantité totale, que je considère en effet comme la somme de tous ces éléments : je cherche donc l’expression différentielle qui doit représenter cette particule, en négligeant ce que les règles du calcul m’autorisent à omettre. ”

“ C’est cette préparation nécessaire avant que de recourir au calcul, qui exige très-souvent une plus longue suite de raisonnements que peut-être aucune autre science n’exige jamais ; et où l’on a ce grand avantage, qu’on peut s’assurer de leur justesse, pendant que dans les autres sciences on est souvent obligé de s’arrêter à des raisonnements peu convaincants. Mais aussi le calcul même, quoique l’analyse en prescrive les règles, doit partout être soutenu par un raisonnement solide, au défaut duquel on court risque de se tromper à tout moment. ”

“ Newton n’en fait aucune, il emploie indifféremment le nom de limite d’une quantité ou dernière valeur de cette quantité : limite du rapport de deux quantités ou dernière raison de ces deux quantités. Je fais cette réflexion, parce qu’il y a des personnes qui croient vaguement qu’il existe quelque différence entre la méthode des limites, telle que d’Alembert l’a expliquée à l’article Différentiel de l’Encyclopédie, et la méthode des premières et dernières raisons, telle que Newton l’a expliquée dans le livre des Principes. ”

“ Leibnitz, qui, le premier donna les règles du calcul infinitésimal, l’établit sur ce principe : qu’on peut prendre à volonté l’une pour l’autre deux grandeurs finies qui ne diffèrent entre elles que d’une quantité infiniment petite. Ce principe avait l’avantage d’une extrême simplicité et d’une application très-facile. Il fut adopté comme une espèce d’axiome, et on se contenta de regarder ces quantités infiniment petites comme des quantités moindres que toutes celles qui peuvent être appréciées ou saisies par l’imagination. ”

“ Ainsi, pour en revenir à notre objet, parmi les méthodes dont nous avons parlé, il faut, pour l’usage habituel, choisir celle qui mène en général au but, par la route la plus courte et la plus facile, mais sans rejeter aucune des autres, parce que ce sont d’abord en elles-mêmes de belles spéculations pour l’esprit, et ensuite parce qu’il n’y en a pas une peut-être qui ne puisse conduire à quelque vérité jusqu’alors inconnue, ou procurer dans certains cas un résultat inattendu, ou une solution plus élégante que toutes les autres. ”

“ Newton considère une courbe comme engendrée par le mouvement uniforme d’un point ; il décompose à chaque instant la vitesse constante de ce point en deux autres, l’une parallèle à l’axe des abscisses et l’autre parallèle à l’axe des ordonnées. Ces vitesses sont ce qu’il appelle fluxions de ces coordonnées, tandis que la vitesse arbitraire du point qui décrit la courbe est la fluxion de l’arc décrit. ”

“ Roberval emploie continuellement les expressions même d’infini et d’infiniment petit, dans le sens qu’on leur donne aujourd’hui, et il dit formellement qu’on doit négliger les quantités infiniment petites vis-à-vis des quantités finies, et celles-ci vis-à-vis des quantités infinies.
On savait donc dès ce temps-là que la méthode des indivisibles et toutes celles du même genre qu’on pourrait imaginer n’étaient autre chose que des formules d’abréviation, très utiles pour éluder les longueurs de la méthode d’exhaustion, sans nuire en aucune manière à l’exactitude de ses résultats. ”

“ Lorsqu’une fonction est parvenue à son maximum, elle cesse d’augmenter pour diminuer ensuite, soit que les variables particulières qui y entrent continuent d’augmenter, soit qu’elles diminuent, et lorsqu’elle est parvenue à son minimum, elle cesse nécessairement de diminuer pour augmenter ensuite, soit que les variables particulières augmentent, soit qu’elles diminuent. Ainsi dans le cas des maxima et des minima, la différentielle de la fonction est toujours égale à zéro, quoique les différentielles des variables particulières ne le soient pas. ”

“ Ces écrits sont marqués au coin du génie original et profond auquel nous devions déjà le Calcul des variations et la Mécanique analytique ; comme ils doivent se trouver entre les mains de tous ceux qui veulent approfondir la science du calcul, je n'en dirai ici qu'un mot.
Afin de conserver, dans tout le cours de ses opérations, l'exactitude rigoureuse dont il s'est fait la loi de ne jamais s'écarter, Lagrange, qui fait aussi usage des différentielles, sous une autre dénomination et sous une autre notation, les considère comme des quantités finies, indéterminées. ”

“ Cette méthode s’applique non-seulement aux lignes courbes, mais par analogie on l’étend aux aires que renferment ces courbes, aux surfaces courbes et aux volumes qu’elles terminent, aux forces qui mettent les corps en mouvement et aux effets qu’elles produisent ; on en applique en un mot la théorie à tout ce qui fait l’objet des mathématiques et des sciences physico-mathématiques, aussi bien que la méthode d’exhaustion elle-même et tous les modes de calcul qui en dérivent. ”

“ Quoique Lagrange prenne ses différentielles comme si c’était des différences finies, elles ont un caractère qui les distingue essentiellement de celles-ci : c’est qu’elles demeurent toujours indéterminées, de sorte qu’on reste maître, pendant tout le cours du calcul, de les rendre aussi petites qu’on le veut, sans rien changer à la valeur des quantités dont on cherche la relation ; ce qui fournit des moyens d’élimination qui n’appartiennent point au calcul ordinaire des différences finies, dans lequel ces différences sont fixes. ”

“ Cette observation a été le prétexte d’une objection élevée contre la méthode des fluxions ; car, a-t-on dit, c’est introduire dans la Géométrie qui appartient aux Mathématiques pures, la notion des vitesses qui n’appartient qu’aux Mathématiques mixtes, et définir une idée qui doit être simple, par une autre qui est complexe.
Mais cette objection est assez frivole : car la véritable chose à considérer est de savoir si la théorie est plus facile à saisir de cette manière que d’une autre. Le classement que nous faisons des sciences est assez arbitraire. ”

“ Quoique ces gens aient une teinture des mathématiques, il faut pourtant qu’ils se soient peu appliqués à la résolution des problèmes un peu difficiles ; car ils se seraient bientôt aperçus que la seule application des règles prescrites est d’un bien faible secours pour résoudre ces sortes de problèmes, et qu’il faut auparavant examiner bien sérieusement toutes les circonstances du problème, et faire là-dessus quantité de raisonnements, avant qu’on puisse employer ces règles, qui renferment le reste des raisonnements dont nous ne nous apercevons presque point en poursuivant le calcul. ”

“ Le classement que nous faisons des sciences est assez arbitraire. Nous plaçons la Géométrie avant la Mécanique dans l'ordre de la simplicité, mais les parties transcendantes de la première sont bien plus abstraites que les parties élémentaires de la seconde; et comme le dit Lagrange, « chacun a ou croit avoir une idée nette de la vitesse, » ce n'est donc pas prendre une marche contraire à l'esprit des Mathématiques, que de définir les fluxions par les vitesses. ”

“ L’histoire des sciences mathématiques est remplie de semblables rencontres, parce que la vérité étant une, il faut toujours que ce soit à elle qu’on arrive, et sitôt qu’elle est pressentie, chacun s’y précipite par le chemin qu’il s’est frayé. Il faut faire attention qu’à l’époque de Newton et de Leibnitz, une foule d’idées analogues à celles de ces deux grands hommes perçaient de toutes parts dans les écrits des savants. C’était réellement un fruit mûr. Cavalerius, Fermat, Pascal, avaient soumis au calcul les quantités infiniment petites ; Descartes avait trouvé la méthode des indéterminées ”

“ Un nombre abstrait est moins déterminé qu’un nombre concret, parce que celui-ci spécifie non-seulement le combien du nombre, mais encore la qualité de l’objet soumis au calcul ; les quantités algébriques sont plus indéterminées que les nombres abstraits, parce qu’elles ne spécifient pas même le combien : parmi ces dernières, les variables sont plus indéterminées que les constantes, parce que celles-ci sont considérées comme fixes pendant une plus longue période de calcul ”

“ C'est précisément cette différence qui donne à l'analyse un si grand avantage sur la synthèse, parce qu'elle englobe sous une même formule générale tous les cas pour lesquels il faut à l'autre autant d'examens et de formules particulières, celle-ci n'employant jamais que lesvéritables quantités qu'elle veut comparer, et ne les comparant jamais que directement ou par l'intermédiaire d'autres quantités effectives comme elles. L'analyse, au contraire, prend souvent pour termes de comparaison entre les véritables quantités des êtres imaginaires, de pures formes algébriques ”

“ Avancer qu’une quantité négative isolée est moindre que 0, c’est couvrir la science des mathématiques, qui doit être celle de l’évidence, d’un nuage impénétrable, et s’engager dans un labyrinthe de paradoxes tous plus bizarres les uns que les autres : dire que ce n’est qu’une quantité opposée aux quantités positives, c’est ne rien dire du tout ”

“ Rien ne termine cette échelle des divers degrés d’indétermination, et c’est précisément dans cet assemblage de quantités plus ou moins définies, plus ou moins arbitraires, qu’est le principe fécond de la méthode générale des indéterminées, dont le calcul infinitésimal n’est véritablement qu’une heureuse application. ”

“ On met à l’ordinaire chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement, comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. ”