“ J’ai toujours pensé que, le plus souvent, ces inconvéniens tenaient peut-être beaucoup moins à la nature même de l’instrument qu’à la manière dont on l’emploie ; et que, lorsqu’on aurait manié les formules de la géométrie analitique pendant autant de temps qu’il y en a que l’on contemple des cercles et des triangles, cette branche des sciences exactes aurait, sur la géométrie pure, relativement à la construction des problèmes et à la démonstration des théorèmes, cette même supériorité que personne ne lui conteste à tant d’autres égards. ”

“ Or, en vertu de l’égalité on aura ainsi, la grandeur du pouls sera proportionnelle à la vitesse du sang, divisée par la fréquence du pouls, en supposant toutefois une valeur constante à masse de l’onde que le cœur chasse dans l’aorte, à chacune de ses contractions. Et effectivement, nous voyons que, dans le dernier stade des maladies aiguës, le pouls devient plus petit, à mesure qu’il devient plus fréquent. D’un autre côté, une augmentation dans la grandeur du pouls nous fait présumer, toutes choses étant égales d’ailleurs, une augmentation proportionnée dans la vitesse du sang. ”

“ Notre méthode d’intégration est donc générale, et applicable à tous les cas des équations linéaires, à coefficiens constans ; qu’elles soient aux différences ou aux différentielles, les unes et les autres totales ou partielles, séparées ou mêlées ; mais ce qu’elle a de particulier, c’est son uniformité constante, pour toutes ces espèces différentes d’équation ; uniformité qu’elle ne doit qu’à la séparation des échelles, dont elle est une des applications les plus intéressantes. ”

“ La marche des maladies nous fait voir, ou du moins elle rend très-probable que, pour arriver à une fin salutaire, il doit se faire un changement dans la mixtion même de la masse sanguine. C’est ce que les plus anciens maîtres de l’art ont désigné par le nom de coction, terminée par la crise. Elle s’annonce ordinairement par des frissons, et par plusieurs symptômes auxquels on reconnaît l’état négatif de la fièvre ; et cela doit être ainsi, attendu que, pour passer de l’état positif à celui de zéro, il faut bien que la nature prenne une marche rétrograde. ”

“ La première condition pour l’existence d’un maximum ou d’un minimum est d’avoir à la fois ; ces deux équations déterminent les coordonnées correspondant au maximum ou au minimum cherché, lorsqu’il ne s’agit que d’un ou de plusieurs points isolés. Mais, lorsqu’il doit y avoir une infinité de maxima ou minima, formant une courbe continue, les deux équations doivent être de nature à être satisfaites en même temps, sans quoi il n’y aurait plus qu’un nombre limité de solutions ”

“ Mais je ne dois pas vous dissimuler que j’ai grand’peur qu’il n’en arrive ici comme en tant d’autres rencontres ; et qu’après avoir trouvé presque incroyable qu’un homme qui n’a jamais eu l’usage de la vue, ait pu apprendre, cultiver et enseigner les sciences exactes, beaucoup de gens ne disent ensuite : n’est-ce que cela ? dès qu’ils sauront que, pour parvenir à son but, l’aveugle de naissance n’a besoin de recourir qu’à des procédés assez naturels, et tels que le simple bon sens pourrait facilement le suggérer à tout homme qui voudrait prendre la peine d’y réfléchir. ”

“ Il importe aussi de faire connaître à l’aveugle de quelle manière les voyans représentent les corps sur un tableau ; car il se les figure toujours tels qu’ils existent réellement, et ne concevra jamais, à moins qu’on ne le lui explique, qu’on puisse représenter un prisme, une pyramide, un cylindre, un cône, etc., sur une surface plane.
Il est encore un point sur lequel je crois très-nécessaire de m’arrêter : c’est que, pour bien faire connaître des corps, par le tact, à une personne affligée de cécité, il ne suffit pas de lui faire simplement porter la main successivement sur chacun d’eux ”

“ Je crois qu’en s’aidant de semblables moyens, un aveugle parviendra à étudier, avec quelque facilité et quelques succès, tant l’algèbre que toutes les sciences qui en dépendent.
Si nous passons de l’étude de l’algèbre à celle de la géométrie [2] , les difficultés croissent sensiblement. On peut, il est vrai, acquérir l’idée des figures par le tact ; mais ces figures sont tellement multipliées que, s’il fallait les faire toutes toucher à l’aveugle, l’étude de la géométrie deviendrait pour lui très-longue et très-pénible. ”

“ La fièvre n’est donc jamais une maladie du cœur lequel, uniquement destiné à donner à l’onde la première impulsion, ne peut prendre aucune part aux variations de vitesse qu’elle peut éprouver dans son cours. Elle ne dépend pas non plus de la vitesse absolue du sang, très-variable en elle-même, et affectée par les causes les plus légères. Un exercice quelconque du corps, plus long-temps soutenu que de coutume ”

“ PROBLÈME II. Déterminer le lieu géométrique des contours de toutes les calottes sphériques d’une même étendue, mais de rayons différens, qui touchent par leur pôle un même plan en un même point ?
Ce problème est incomparablement plus facile que le premier.
On démontre sans peine, par les élémens, comme l’a fait M. Bossut dans sa géométrie, ce théorème d’Archimède : savoir, que le cercle décrit sur une sphère, avec une ouverture de compas quelconque, détermine sur cette sphère une calotte équivalente au cercle décrit sur un plan, avec la même ouverture de compas ”

“ Chacun convient et aperçoit facilement qu’il est absolument impossible à un aveugle de naissance de se faire aucune idée juste de la lumière et des couleurs ; mais, comme la couleur des corps dépend non seulement de la nature des rayons de lumière qu’ils réfléchissent, mais encore de la figure ou de la disposition respective des molécules de leur surface, qui les rend propres à réfléchir tels rayons de lumière de préférence à tels autres ”

“ Je me propose principalement de montrer que le théorème d’Euler souffre des exceptions nombreuses, et qu’il n’est vrai, d’une manière générale, que pour les polyèdres qui n’ont point de parties rentrantes, soit quant aux angles plans qui forment les angles solides, soit quant aux angles dièdres ou aux inclinaisons de leurs faces ; ou, ce qui revient encore au même, pour les solides qui sont, en entier, d’un même côté du plan de chacune de leurs faces. ”

“ Il est connu que, pour une situation convenable de l’œil et du tableau, un quadrilatère quelconque peut toujours, et même d’une infinité de manières, avoir pour perspective un parallélogramme. Ainsi on peut toujours placer l’œil et le tableau de telle sorte que la perspective de la figure dont il s’agit ici, soit une section conique à laquelle un parallélogramme est circonscrit, et à laquelle, de plus, est inscrit un quadrilatère dont les sommets sont les points de contact de ce parallélogramme avec la courbe. ”

“ Recherche de la surface qui en touche une infinité d’autres, dont
les équations ne diffèrent que par une constante. Soit
l’équation commune à une infinité de surfaces courbes, rapportées aux mêmes axes, et ne différant entre elles que par la constante ; et proposons-nous de déterminer l’équation de la surface à laquelle toutes celles-là sont tangentes.
Soit la surface cherchée [2] , c’est-à-dire, la surface enveloppe ; soit celle des surfaces enveloppées qui répond à la valeur et soit la courbe suivant laquelle elle touche ”

“ Il ne faudrait pas croire cependant que, par cela seul que les valeurs des inconnues sont fonction d’autant d’indéterminées ou même de plus d’indéterminées qu’il y a d’inconnues au-delà du nombre des équations, ces valeurs doivent être réputées complètes ; puisqu’il pourrait se faire, comme je l’ai déjà remarqué, que, par l’élimination de quelques-unes de ces indéterminées, les autres disparussent d’elles-mêmes, sans faire parvenir à toutes les équations du problème. ”

“ Lorsque l’équation aux échelles d’une équation linéaire d’un ordre supérieur est décomposable en facteurs du premier degré, chacun de ces facteurs, multiplié par la fonction détachée et égalé à zéro, fournit une équation linéaire du premier ordre, qu’on intègre par le procédé que nous venons d’exposer ; et la somme de ces intégrales particulières est l’intégrale complette de la proposée. Mais, lorsque l’échelle n’est pas décomposable en facteurs du premier degré, il faut avoir recours à la méthode d’approximation que nous allons exposer par un exemple. ”

“ De même que, le point (P) étant pris arbitrairement, on peut toujours assigner un plan (Q) qui ait avec lui la relation énoncée dans le théorème auquel nous venons de parvenir, il n’est réciproquement aucun plan (Q) , dans l’espace, auquel il ne réponde un certain point (P) lié avec lui par une semblable relation ; on voit même que, pour obtenir ce point, il ne s’agit que de considérer comme inconnues, dans l’équation du plan (Q) , les coordonnées et du point (P) , et de les déterminer en exprimant que cette équation est identique avec celle du plan donné. ”

“ Si l’équation (1) devient identique, et prend la forme
(11) l’une de ces fonctions, multipliée par l’échelle, peut être mise dans le second membre ; alors on peut laisser l’échelle non développée dans l’un des membres, et écrire son développement dans l’autre. Ainsi, toute équation dont le second membre est le développement du premier, peut être considérée comme une équation à échelles, qui, étant multipliée par une fonction quelconque de fournira une multitude de formules et de théorèmes que souvent on ne pourrait obtenir, par les voies ordinaires, que d’une manière longue et laborieuse. ”

“ L’onde de sang qui, à chaque battement, rentre dans le cœur, par le tronc du système veineux, est moindre alors que celle que le cœur chasse dans l’aorte. Le sang s’accumulera donc, dans le système artériel, en laissant entièrement vides les petits canaux du système veineux, et en se retirant en partie des grandes veines. L’évacuation du cœur, à chaque battement, ne sera qu’incomplette ; continuellement, mais faiblement irrité, il éprouvera des contractions petites, mais plus fréquentes que dans l’état naturel ”

“ Mais, pour que cette crise soit heureuse, il faut que cette force se maintienne, et qu’elle continue à balancer la somme des résistances augmentées par l’entrée du sang dans les petits vaisseaux artériels et veineux. Cela n’arrive pas toujours ; il est assez fréquent, au contraire, dans le cas sur-tout où le malade est dépourvu des secours de l’art, que la force vitale des artères succombe à la somme des résistances. ”

“ Mais, au lieu de combiner entre elles les équations (L) et (q) , on peut construire leurs lieux géométriques, qui détermineront, par leur intersection, le point de contact cherché ; or ; de ces deux lieux, le premier (L) se trouve tout construit ; puisque c’est la courbe donnée elle-même ; et, comme l’autre (q) est celui d’une ligne droite, il s’ensuit que c’est l’équation de la droite qui joint les points de contact qui, en effet, doivent être au nombre de deux, puisque leur détermination dépend de la combinaison d’une équation (L) du second degré avec une équation (q) du premier. ”

“ M. Lhuilier termine par observer que les trois sortes d’exceptions qu’il vient de considérer, et qui paraissent être les seules auxquelles le théorème d’Euler puisse être sujet, pouvant se trouver réunis dans un même polyèdre, et s’y trouver chacune indéfiniment ; il s’ensuit qu’il peut exister des polyèdres dans lesquels le nombre des faces augmenté du nombre des sommets surpasse le nombre des arêtes, ou soit surpassé par lui d’un nombre d’unités donné et quelconque. ”

“ Dans tout système de points matériels, il y a toujours un point, différent, en général, des points du système, dont la propriété caractéristique consiste en ce que le produit de la somme des masses du système par la distance de ce point à un plan quelconque, est égal à la somme des produits de ces masses par leurs distances respectives à ce même plan. ”

“ Il pourra à la vérité paraître humiliant à un esprit aussi supérieur que le sien, de s’abaisser à des détails d’application, dignes tout au plus des Euler, des Vandermonde et des Lagrange ; aussi sera-ce là l’épreuve unique que je réclamerai de sa complaisance ; mais encore faut-il bien qu’il justifie sa mission.
Que si, au contraire, M. Wronski persiste à s’envelopper de ténèbres, et à ne nous offrir que des promesses ; s’il se borne, ainsi qu’il l’a fait jusqu’ici, à expliquer des énigmes par d’autres énigmes ; si en un mot il néglige de légitimer ses assertions par des calculs rigoureux ”

“ Il ne serait pas difficile d’étendre cette théorie aux fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables ; mais comme, pour chaque nouvelle variable, il y aurait une condition (2) de plus ; il faudrait appliquer à chacune de ces conditions des raisonnemens analogues à ceux que nous avons faits sur la condition (2) . De plus, la condition (1) serait composée d’autant d’équations qu’il y aurait de variables indépendantes. ”

“ Il n’est aucun point, sur le plan d’une ligne du second ordre, auquel il ne réponde une pareille droite, ni aucune droite, sur le même plan, à laquelle il ne réponde un pareil point. On va voir, tout à l’heure, quelle est la relation remarquable qui les lie les uns aux autres. ”