Courbe algébrique

“ Réciproquement, toute méthode pour calculer numériquement, par des approximations successives, les racines d'une équation algébrique eny, dont l'un des coefficients x serait censé passer successivement par plusieurs états de grandeur, équivaut à un développement en série; constitue comme le développement en série une définition transcendante de y en tant que fonction de x ; et peut, à titre de définition transcendante, offrir des solutions de continuité par le passage d'une branche à l'autre, sur la courbe algébrique qui aurait x pour abscisse et y pour ordonnée. ”

“ C’est cette méthode de soumettre partout l’infini au calcul algébrique, que l’on appelle calcul différentiel ou des fluxions et calcul intégral. C’est l’art de nombrer et de mesurer avec exactitude ce dont on ne peut pas même concevoir l’existence.
En effet, ne croiriez-vous pas qu’on veut se moquer de vous, quand on vous dit qu’il y a des lignes infiniment grandes qui forment un angle infiniment petit ?
Qu’une droite qui est droite tant qu’elle est finie, changeant infiniment peu de direction, devient courbe infinie : qu’une courbe peut devenir infiniment moins courbe ? ”

“ Il permet de saisir immédiatement, dans une intuition sensible, des faits auxquels l'esprit n'atteindrait qu'avec effort, s'il les envisageait, sans le secours du signe, dans toute leur généralité et leur abstraction ; et l'allure d'une courbe fait souvent voir d'un coup d'œil ce qu'on ne mettrait que péniblement en évidence par la discussion algébrique de l'équation que la courbe représente et dont elle est le lieu géométrique. ”

“ Étant donnée une courbe algébrique, une sécante quelconque la coupe en m points au plus, et si l'on cherche, par exemple, les abscisses des points d'intersection, l'équation aux abscisses est en général du degré ln; quand la sécante devient tangente, deux des points venant coïncider, l'équation aux abscisses ou aux ordonnées a deux racines qui deviennent égales. Ainsi, pour qu'une droite devienne tangente à la courbe, il faut que l'équation aux abscisses ou aux ordonnées des points communs à la courbe et à la droite ait une racine double. ”

“ Il voulait donner l'expression de l'ordonnée d'une courbe au moyen d'une série algébrique infinie dont chaque terme pouvait s'intégrer par la règle de Wallis ; il avait communiqué dès 1669, les résultats auxquels il était arrivé à Barrow, à Collins et à d'autres. ”

“ Gauthier-Villars, in-4° , 1867. — Lettre à M. Chasles sur une question en litige, par M. E. de Jonquières ; Artus-Bertrand,
1867, in-,4°.
(2) Journal de Crelle, t. LIX, 1861; p. 313-334.
332 RAPPORT SUR LES PROGRÈS
enveloppe d'une transversale qui coupe une courbe algébrique plane Cm, du degré m, de telle sorte qu'une fonction déterminée (F) des dislances mutuelles de n points d'intersection de la transversale et de la courbe ail une valeur donnée (F) étant une fonction algébrique entière et rationnelle. ”

“ Note de M. Chasles 460 — Note sur les courbes qui ont les mêmes normales principales ; par M. Niewenglowski 394 — Intégrales des développantes obliques d’un ordre quelconque ; Note de M. l’abbé Aoust 609 — Nouveau mode de représentation plane de classes de surfaces réglées ; Notes de M. A. Mannheim 788, 847 et 941 — Sur l’ordre (ou la classe) d’une courbe plane algébrique dont chaque point (ou chaque tangente) dépend d’un point correspondant d’une autre courbe plane, et de la tangente en ce point. Extension aux surfaces ”

“ Toutes les courbes qui ont des branches infinies, ont toûjours l’une ou l’autre de ces asymptotes ; & quelquefois toutes les deux ; l’asymptote est droite, quand la branche infinie est hyperbolique ; l’asymptote est courbe, lorsque la branche infinie est parabolique, & alors l’asymptote courbe est une parabole d’un degré plus ou moins élevé. Ainsi la théorie des asymptotes des courbes dépend de celle de leurs branches infinies. Voyez Branche.
Une courbe géométrique ne peut avoir plus d’asymptotes droites qu’il n’y a d’unités dans l’exposant de son ordre. ”

“ Quand le troisième invariant est nul, l'équation représente deux droites ; quand le second s'annule, elle représente une parabole ; il est facile de démontrer que, si le premier est nul, la courbe est une hyperbole équilatère. ”

“ La détermination d'une courbe du second degré, d'après certaines conditions, est, en général, un problème assez difficile à résoudre par l'analyse, à cause de l'embarras que l'on éprouve souvent dans le choix des axes. ”

“ Soient les coordonnées de la courbe donnée, celle de la courbe cherchée, et à la longueur commune des normales à la première terminées à la seconde. Soit un point de la première courbe ; et soit le point correspondant de la seconde ; l’équation de la normale à la première courbe, au point particulier que l’on considère sera, comme l’on sait,
puis donc que le point est sur cette normale, et à une distance de son point de départ, on doit avoir, à la fois,
ou, en supprimant les accens, désormais inutiles,
équations qui résolvent le problème. ”

“ Par analogie, on peut demander l’équation d’une courbe telle que les rayons de courbure, infiniment proches et également inclinés entre eux, forment une progression géométrique.
Soient et les coordonnées d’un point quelconque de la courbe, le rayon vecteur de ce point et la longueur de l’arc comptée depuis un certain point fixe ; on voit que l’angle formé par l’axe des avec la normale est le logarithme du rayon de courbure ; c’est-à-dire, qu’on a
étant une constante. ”

“ Il n’y a aucune surface courbe qui ne puisse être regardée comme engendrée par le mouvement d’une ligne courbe, ou constante de forme lorsqu’elle change de position, ou variable en même temps et de forme et de position dans l’espace. ”

“ Combinant cette équation avec celle du globe, savoir : on pourra en tirer celles des trois projections de la courbe demandée, faites sur les trois plans principaux, et dont la forme, très-compliquée, nous annoncera d’abord une courbe à double courbure. ”

“ Déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui jouissent de cette propriété, savoir : que toutes celles de leurs cordes dont la direction passe par un certain point de leur plan sont d’une longueur donnée et constante ?
Construction. Soit, le point donné, et la longueur constante de toutes les cordes dont la direction passe par ce point. Soit tracé à volonté une courbe continue ou discontinue que nous désignerons par ; soit mené par le point, une suite de droites coupant en une suite de points ”

“ J'ai donc démontré qu'une courbe quelconque, plane ou à double courbure, a une infinité de développées , toutes à double courbure , à l'exception d'une seule pour chaque courbe plane, et j'ai donné la manière de trouver les équations de toutes ces développées , d'après celles de la développante, ce que je m'étois d'abord proposé dans ce Mémoire ; ainsi il n'y a point de courbe que l'on ne puisse engendrer par le développement d'une infinité d'autres. ”

“ Enfin la découverte de l’application de l’Algebre à la Géométrie est de la troisieme espece ; car cette application a pour fondement principal la méthode de représenter les courbes par des équations à deux variables. Or quel raisonnement a-t-il fallu faire pour trouver cette maniere de représenter les courbes ? Le voici : une courbe, a-t-on dit, suivant l’idée qu’on en a toûjours eûe, est le lieu d’une infinité de points qui satisfont à un même problème. Voyez Courbe. Or un problème qui a une infinité de solutions est un problème indéterminé ”

“ Comme rien n'empêche de porter la distance b de D en M', au lieu de la porter de D en M, il résulte évidemment de la définition précédente, que la courbe cherchée se compose de deux branches distinctes qui s'étendent indéfiniment à droite et à gauche de la perpendiculaire AK abaissée du point A sur LL', et ont pour asymptote commune la droite LL'. ”

“ Si la courbe était une hyperbole, le centre de l'arc de cercle serait en B (135) , et OF serait le rayon de cet arc.
Dans le-SECOND CAS, c'est-à-dire lorsque les trois points G, H, K (fig. 160 ) sont en ligne droite, cette ligne KHGY représente le second axe de la courbe, qui est alors une parabole ; et pour avoir le premier axe, il suffit d'abaisser AFX perpendiculaire sur KY. Le quadruplé de AF représente d'ailleurs (273) le paramètre; ainsi la courbe peut être construite facilement. ”

“ On montre très facilement, d'une façon expérimentale, qu'une courbe quelconque est graphiquement déterminée quand on connaît la distance de plusieurs de ses points à deux axes fixes, perpendiculaires l'un à l'autre. ”

“ Si, dans cette idée, on écarte tout rapport avec deux dimensions, on a l’idée de la ligne droite ; car, quoiqu’une ligne courbe n’ait qu’une dimension, cependant l’idée de courbure suppose nécessairement la considération de deux dimensions. ”

“ PROBLÈME I. Déterminer les intersections d’une droite donnée avec une section conique dont on connaît seulement les élémens, sans construire cette dernière.
Solution I.er Cas. La courbe est une Hyperbole. Nous supposerons l’hyperbole donnée par ses asymptotes et par son premier axe.
Soient et les deux asymptotes se coupant au centre de la courbe (fig. 1) ; et soit l’un de ses sommets ; de manière que soit la direction de son premier axe ou axe transverse. Soit de plus la droite donnée, dont il s’agit de déterminer les intersections avec la courbe, sans construire cette dernière. ”

“ Ainsi, aux deux sommets de la courbe parabolique on a, à peu près,
on a de plus pour d’où l’on voit que la courbe parabolique a l’un de ses sommets dans l’angle des négatifs et des positifs, et l’autre dans l’angle des positifs et des négatifs ; et que l’arc de courbe qui va de l’un à l’autre coupe l’axe des au-dessus de l’origine, et conséquemment l’axe des à droite de cette même origine. Si l’on joint à cela les indications que nous avons données (II) , on en pourra conclure affirmativement que la proposée a ses trois racines réelles, dont deux positives et une négative. ”

“ On ne saurait avoir trop de moyens différents de décrire une même courbe, parce que chacun exprime une propriété caractéristique de la courbe, d'où dérivent naturellement plusieurs autres propriétés, qui n'apparaissent pas aussi aisément dans les autres modes de description. ”

“ « j’appelle courbes du 3e ordre les courbes définies par les équations polynomales du 3e degré en x et y, courbes du 4e ordre les courbes définies par les équations polynomales du 4e degré en x et y, ... ; et des équations de ces courbes je vais déduire leurs propriétés, ainsi que je l’ai fait pour les sections coniques. » Ainsi, par le simple jeu du mécanisme algébrique, nous faisons surgir un monde géométrique illimité que ne nous eût jamais révélé l’intuition directe de la figure. ”

“ Pour cela, on construira la courbe déterminée par l'équation ï (*i/) = <>• Cette courbe partagera le plan en plusieurs régions, et il n'y aura plus qu'à chercher celles pour lesquelles la fonction w (x, y) est positive. C'est dans ces régions que devra se trouver le point (x, y) .
Appliquons ces propositions à quelques exemples simples. L'équation A x -t- B y -+- C = o représente une droite. Cette droite sépare le plan en deux régions. Dans l'une de ces régions, la fonction Ax + By + C sera positive ; dans l'autre, elle sera négative. ”

“ Une courbe étant ordinairement regardée comme un polygone d'une infinité de côtés infiniment petits que l'on nomme LES ÉLÉMENTS de la courbe, ou comme la trace d'un point qui change à chaque instant de direction, on peut encore dire que la tangente à une courbe est un des élé- ments de cette courbe, prolongé indéfiniment. ”

“ On voit, premièrement, qu'à une même valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes coutraires; secondement, que, quelque valeur positive ou négative que l'on donne à x, on a toujours pour y des valeurs réelles. Ainsi l'on est déjà certain que la ligne demandée, qui est encore ici une courbe, s'étend indéfiniment au-dessus et au-dessous de l'axe des x, à droite et à gauche de l'axe des y.
Faisons quelques hypothèses : Soit d'abord x = o ; on tire de l'équation proposée, y V4 = ±2.
Prenons sur AY deux distances AB, AC, égales à 2 ; les points B et C appartiennent à la courbe. ”

“ Lorsqu’en effet une courbe est donnée, sa développée l’est aussi ; et, en supposant un fil qui la développe, l’un des points de ce fil décrira la courbe proposée, et la direction de ce même fil sera normale à cette courbe dans tout le mouvement. Que, si l’on considère sur ce fil un second point éloigné du premier de la quantité il est clair, suivant les définitions que nous avons adoptées, que ce point décrira une courbe parallèle à la première. ”

“ Si l'on donne d'abord à x des valeurs comprises depuis 0 jusqu'à — 1 et croissant numériquement, x + 1 se rapprochera de plus en plus de 0 f donc t ? en restant positif, deviendra de plus en plus grand et se rapprochera continuellement de l'infini (fig. 149) ; il en sera de même de y, et lorsqu'on supposera x = — i,
la valeur de y deviendra infinie; ce qui prouve qu'une seconde branche de la courbe, partant du point A, va en se rapprochant sans cesse de la droite CC' qu'elle ne peut rencontrer qu'à l'infini. ”

“ Caustique, s. f. dans la Géométrie transcendante, est le nom que l’on donne à la courbe que touchent les rayons réflechis ou réfractés par quelqu’autre courbe. Voyez Courbe. Si une infinité de rayons de lumiere infiniment proches tombent sur toute l’étendue d’une surface courbe, & que ces rayons soient supposés réfléchis ou rompus suivant les lois de la réflexion & de la réfraction, la suite des points de concours des rayons réflechis ou rompus infiniment proches, formera un polygone d’une infinité de côtés ou une courbe qu’on appelle caustique ”