Nombre positif

“ Quand le déterminant de la forme est négatif ou positif quarré, et qu’on a en même temps les représentations du nombre par la forme sont limitées, et parconséquent aussi les solutions de l’équation proposée, s’il en existe.
3o. Quand est positif non quarré, ou qu’il est quarré, et qu’on a en même temps si le nombre peut être représenté par la forme le nombre des représentations sera infini. ”

“ Désignons de nouveau par et des nombres quelconques impairs et premiers entre eux, par et le nombre de facteurs premiers de et , nombres dont et sont respectivement non-résidus. Soit enfin le nombre de facteurs de dont est non-résidu : quand sera négatif par lui-même, il est évident que indiquera un nombre positif. Distribuons maintenant les facteurs de en quatre classes.
(1) En facteurs de la forme , dont est résidu. (2) En facteurs de la forme , dont est résidu ; soit leur nombre . (3) En facteurs de la forme , dont est non-résidu ; soit leur nombre . ”

“ Les puissances à exposants impairs d’un nombre algébrique sont positives ou négatives suivant que ce nombre est lui-même positif ou négatif, et en particulier, le cube d’un nombre négatif est négatif. ”

“ Les quantités ne seraient-elles que des qualités différentes, et dix, cent, mille ne représenteraient-ils que ces qualités différentes et non une grandeur continue formée d’égalités réelles ?
En d’autres termes, le nombre est-il réellement le souvenir d’une répétition de sensations identiques, ou est-il le souvenir d’un changement qualitatif ?
La recherche est assez difficultueuse et de nombreux mathématiciens et psychologues, négligeant le fond même du problème, donnent une origine logique et rationnelle à la quantité. ”

“ L’esprit réaliste, sous l’influence des premières découvertes relatives aux rapports mathématiques des phénomènes, formule l’identité du concret et de l’abstrait, en réalisant le nombre. Les nombres sont pris pour les essences des choses, pour les choses mêmes qu’ils déterminent. Les nombres réunis forment le Multiple, qui doit son existence à l’Un, principe de la limite. La série des conditionnés remonte ainsi à l’Inconditionné sous l’aspect mathématique. Une opposition et une alliance s’établissent à la fois entre le Multiple sans terme, qui est l’Infini, et le Fini, qui est le Nombre. ”

“ C’est la mesure des grandeurs qui a été la première application de la notion de nombre et en est resté la plus importante. Mesurer une grandeur c’est exprimer au moyen d’un nombre, aussi exactement et aussi simplement que possible, le rapport de cette grandeur à la grandeur choisie comme unité. ”

“ C’est de cette mesure que procèdent les autres mesures ; car la mesure de la quantité, c’est ce qui fait connaître la quantité, et la quantité en tant que quantité se connaît ou par l’unité ou par le nombre. Or, tout nombre est connu au moyen de l’unité. Ce qui fait connaître toute quantité en tant que quantité, c’est par conséquent l’unité, et la mesure primitive par laquelle on connaît, est l’unité même ; d’où il suit que l’unité est le principe du nombre en tant que nombre. ”

“ Mais le nombre, considéré seul, n'est qu'une force, une quantité plus grande qu'une autre.—Précisément: une quantité supérieure de bien est un bien plus grand et un droit.—Mais par là 47 vous reconnaissez que ce qui donne du prix au nombre, c'est ce dont il est formé; ce qui rend la quantité précieuse, c'est la qualité de ses éléments. ”

“ La science des quantités abstraites nous donne les règles de calcul les plus savantes et les plus sûres, sans nous dire ni comment nous formons l’idée de nombre, ni pourquoi nous avons des idées abstraites, ni quelle est la cause première de la justesse d’une équation. ”

“ Si, pour se servir des mots humains, quelque chose qui soit démontrée ici-bas, vous semble infinie, soyez certain d’y entrevoir une des faces de Dieu. Poursuivons. Vous vous êtes approprié une place dans l’infini du Nombre, vous l’avez accommodée à votre taille en créant, si toutefois vous pouvez créer quelque chose, l’arithmétique, base sur laquelle repose tout, même vos sociétés. De même que le Nombre, la seule chose à laquelle ont cru vos soi-disant athées, organise les créations physiques ; de même l’arithmétique, emploi du Nombre, organise le monde moral. ”

“ Compter des tas, compter des sacs, compter des plants, compter des journées d’homme, cela est imposé par le métier même ; et savoir qu’un nombre dépend d’un autre, c’est savoir le nombre comme il faut. ”

“ Le nombre est à votre esprit ce qu'il est à la matière, un agent incompréhensible. En ferez-vous un Dieu ? Est-ce un être, est-ce un souffle émané de Dieu pour organiser l'univers matériel où rien n'obtient sa forme que par la divisibilité qui est un effet du nombre? Les plus petites comme les plus immenses créations ne se distinguent-elles pas entre elles par leurs quantités, par leurs qualités, par leurs dimensions, par leurs forces, tous attributs enfantés par le nombre? L'infini des nombres est un fait prouvé pour votre esprit, dont aucune preuve ne peut être donnée matériellement. ”

“ On appelle nombre le résultat que l'on obtient en mesurant ou en comptant une grandeur. Or, lorsqu'on mesure une grandeur, il peut arriver : 1 ° qu'elle contienne son unité un nombre exact de fois; 2° qu'elle ne soit qu'une ou plusieurs parties de son unité; 3° qu'elle contienne son unité une ou plusieurs fois avec un reste. De là trois espèces de nombre : le nombre entier, la fraction et le nombre fractionnaire. ”

“ Si nous y revenons, c’est pour constater à leur égard comme pour les autres écoles, quels principes ils posent, et comment ces principes tombent sous notre classification. Or, ils paraissent penser que le nombre est principe des êtres sous le point de vue de la matière, en y comprenant les attributs et les manières d’être ; que les éléments du nombre sont le pair et l’impair ; que l’impair est fini, le pair infini ; que l’unité tient de ces deux éléments, car elle est à la fois pair et impair, et que le nombre vient de l’unité ; enfin que les nombres sont tout le ciel. ”

“ Toutes les fois qu’il se représente un nombre comme nombre, il se le représente nécessairement avec une vertu et une valeur mystiques qui appartiennent à ce nombre-là, et à lui seul, en vertu de participations également mystiques. ”

“ Par exemple, si dix est considéré comme le grand nombre, et deux comme le petit, six sera le nombre moyen, par rapport à la chose, puisqu’il surpasse le petit, et qu’il est surpassé par le grand d’une quantité égale. ”

“ En résumant ce qui précède, nous dirons, que l'unité est une quantité fournie par la nature, ou choisie arbitrairement pour étaluer d'autres quantités de même espèce et les comparer entre elles, et qu'un nombre est le rapport qui existe entre une quantité et l'unité employée pour l'évaluer. ”

“ D'après cela : cinq plus sept et 5 +7, par exemple, sont des expressions non vulgaires, l'une verbale, l'autre en chiffres, du même - nombre, dont douze est l'expression vulgaire verbale, et 12 l'expression vulgaire en chiffres.
XIV. Le nombre 1, le premier ou le plus petit de tous les nombres, celui dont tous les autres se composent, est le seul qui n'ait pas d'expression en chiffres, ce qui devait être a cause de sa simplicité ; aussi l'homme qui, le premier, dans les temps les plus reculés, éleva le doigt, dont il est l'image, pour manifester le nombre 1, commença la science des nombres. ”

“ La notion de nombre réel, fournie par la médiation entre un nombre quelconque et l’unité, était matière à des démonstrations aussi rigoureuses, aussi évidentes que celles de l’arithmétique, et en même temps incompréhensibles par l’imagination. Cette notion force l’intelligence à saisir avec certitude des rapports qu’elle est incapable de se représenter. ”

“ Nous nous en tiendrons à ces quelques mots sur l’arithmétique technique pour nous arrêter un peu devant l’élément fondamental de cette science, le « nombre entier. »
Bien fatalement un mathématicien est amené à réfléchir sur les origines de cette notion et sur sa valeur philosophique. De même l’on imaginerait difficilement un physicien qui n’aurait pas cherché à se faire une idée de ce que le vulgaire nomme la matière, le temps, la force... Les savans-philosophes et les philosophes-scientifiques ont beaucoup écrit sur le nombre entier. ”

“ Tant que l’on prêche les dix préceptes dans les quatre parties du monde, ce qui par la multiplication nous donne le nombre quarante, nous devons nous priver des plaisirs mondains, et si au nombre quarante on ajoute le dernier au nombre dix, nous obtenons cinquante, image de la récompense. ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ En effet un nombre, c’est ce qui est nombrable ou ce qui est déjà nombre ; dans le cas même où un nombre est seulement quelque chose de nombrable, puisque ce nombrable peut, par définition, être nombre, le nombre n’est pas infini. ”

“ Le nombre qui se manifeste dans les objets extérieurs et se rapporte à celui qui est en toi est un acte des nombres essentiels ou selon les nombres essentiels, parce qu’en nombrant tu produis un nombre, et que par cet acte tu engendres la quantité, comme en marchant tu engendres le mouvement. ”

“ On peut multiplier, diviser, élever aux puissances, etc., sans rien apprendre de nouveau sur la nature du nombre. Et pourtant, si l’on tient à penser clairement, on veut savoir ce que c’est que le nombre. ”

“ Si le nombre présente des entiers suivis de fractions, comme deux livres, huit sous ; cinq toises, trois pieds, quatre pouces, etc., il s'appelle nombre complexe. Dans le cas contraire, comme deux livres; cinq toises, etc., il est incomplexe.
On dit enfin qu'un nombre est abstrait, lorsqu'il ne désigne aucune espèce d'unités en particulier, comme deux, vingt, mille, etc. Dans le cas contraire, il est concret.
3. La science des nombres s'appelle arithmétique. ”

“ Mon but est ainsi nettement délimité ; je n'aborderai donc pas les questions, plus philosophiques que mathématiques, que pose la conception de la suite des entiers. Cette notion est considérée par moi comme acquise et parfaitement claire.
ne donne jamais qu'un nombre'fini de notations. Ce nombre pourra être grand; cela dépendra du nombre des symboles, de leur choix plus ou moins heureux, de l'ingéniosité des lois de combinaisons prévues; mais il sera toujours fini. Toute numération s'appliquant à un ensemble infini de nombres est, à certains égards, fictive. ”

“ D’autres facteurs que le nombre interviennent donc, assez puissans, assez efficaces pour rétablir l’équilibre entre des chiffres aussi disproportionnés, pour compenser une aussi formidable infériorité du facteur que l’on tient pour le premier de tous. Ces autres facteurs, chacun les connaît ; on les a vus à l’œuvre, l’histoire nous les montre à chaque page, forces vives d’une nation, incessamment actives dans leurs combinaisons infiniment variées. A l’opposé du nombre, elles sont insaisissables et impondérables. ”

“ Le rapport d'une grandeur à une autre de même nature, est le nombre qui servirait de mesure à la première si la seconde était prise pour unité.
Nous ne nous occuperons, dans ce chapitre, que des rapports entre les grandeurs qui ont une commune mesure contenue un nombre entier de fois dans chacune d'elles. De pareils rapports se nomment commensurables.
206. THÉORÈME. Tout rapport commensurable est égal à une fraction à termes entiers. ”

“ L'évaluation consiste si bien dans une simple transformation, que lorsque l'expression primitive du nombre se trouve elle-même conforme à la numération régulière, il n'y a plus, à proprement parler, d'évaluation, ou plutôt on répond à la question par la question même. ”

“ Le nombre des observations étant plus grand que celui des équations de condition, outre le système des corrections les plus plausibles, on peut en trouver un nombre infini qui rendent les équations de condition exactement satisfaites. ”

“ Système de numération. 1. On appelle unité un objet quelconque.
2. Dans un assemblage d'unités, le nombre indique combien il y a de ces unités. Lorsque, par exemple, on dit qu'il y a vingt arbres dans une allée, le nombre est vingt.
Le nombre est une chose essentiellement abstraite plus tard nous en donnerons une définition générale.
5. L'Arithmétique est la science des nombres
4. ”

“ Le nombre qui détermine le mode de groupement s'appelle base du système de numération ; un nombre quelconque peut servir de base ; le système dont la base est dix est devenu d'un usage universel parmi les hommes ”

“ Les nombres commensurables sont proprement les seuls & vrais nombres. En effet tout nombre enferme l’idée d’un rapport, voyez Nombre ; & tout rapport réel entre deux quantités suppose une partie aliquote qui leur soit commune ; c’est ce qui sera plus détaillé à l’art. ”

“ Nombre collectif, qui renferme cent unités. Centum, centenarius, centenus numerus. Une centaine d’années. Une centaine d’écus. Une centaine d’hommes. Nombre, dixaine centaine, mille, &c, C’est l’ordre des nombres en Arithmétique. ”

“ Troisième solution. Pour fixer les idées, supposons que les numéros soient au nombre de six seulement, et qu’on demande quel est alors le nombre des cas favorables. Supposons qu’il s’agisse de former les arrangemens auxquels ces cas répondent, et soient les nombres respectifs de cas favorables pour numéros. ”

“ Toujours fidèles au grand principe pythagoricien, que le nombre est le signe et le moyen de l'harmonie, que dans le nombre se puisent la mesure, la valeur et la sanction des rapports, ils avaient divisé la vie humaine en périodes de sept années, périodes qui amènent des révolutions organiques, quelquefois heureuses, et souvent fatales *dans l'économie ”