“ Dans le même cas, les vitesses effectives deviennent respectivement
si donc l’on veut supposer qu’elles sont égales, il suffira d’écrire ou ce qui donnera, pour les équations du mouvement apparent de
c’est-à-dire, en d’autres termes, que le point le croira immobile.
Et, comme ce que nous venons de dire du point peut être appliqué à tant d’autres points qu’on voudra, il s’ensuit généralement que, si tant de points qu’on voudra décrivent dans l’espace des droites parallèles, avec une vitesse commune et que l’un d’eux se croie fixe, tous les autres lui sembleront immobiles. ”

“ THÉORÈME I. Si deux variables constamment positives l’une et l’autre, sont liées entre elles par l’équation où et sont aussi des quantités positives, que l’on suppose inégales, et dans laquelle est un nombre positif quelconque plus grand que l’unité ; et si et ne pouvant varier qu’entre les limites et peuvent d’ailleurs recevoir, entre ces limites, toutes les valeurs compatibles avec l’équation qui les lie ; et seront maximums, lorsqu’un aura et minimums. ”

“ Il y a long-temps sans doute que le problème de la moyenne entre plusieurs résultats inégaux s’est présenté aux hommes ; et il y a long-temps aussi que, soit par une sorte d’instinct, soit dans la vue d’éviter des calculs trop pénibles, on est convenu d’adopter comme tel le quotient de la division de la somme de ces résultats par leur nombre. Cette pratique a même été constamment suivie, sans aucun scrupule, jusqu’à l’époque où la théorie des probabilités a commencé à être cultivée avec quelque soin et quelque suite. ”

“ On sait que, d’après quoi on doit avoir
ou donc
donc, lorsque le nombre des numéros est infini, la probabilité demandée est et, comme la série est extrêmement convergente, on en doit conclure que c’est aussi là, à très-peu près, la probabilité cherchée, toutes les fois que est un grand nombre quelconque.
Si, au lieu de supposer un seul numéro de chaque sorte, on en supposait un nombre on remarquerait qu’un numéro ne peut être à son rang que dans les premiers tirages ; que conséquemment on devra arrêter le développement à ses premiers termes. ”

“ Tout repose sur une proposition bien connue de tous ceux qui se sont occupés de la géométrie de la règle ; proposition rappelée et mise en œuvre en maints endroits des annales ; et dont la vérité se déduit d’ailleurs bien simplement de la considération de la perspective d’un tronc de pyramide triangulaire à bases non parallèles. Cette proposition consiste en ce que, si deux triangles tracés sur un même plan, sont tels que les trois droites concourent en un même point, les trois points de concours des côtés et et et appartiendront à une même ligne droite, et réciproquement. ”

“ Dans toute opération de calcul, on ne devrait jamais considérer plus de deux nombres donnés servant à en déterminer un troisième ; et c’est fort mal à propos qu’on définit l’addition l’art de trouver un nombre égal à la réunion de plusieurs autres. Quelle que soit la multitude des nombres à ajouter, on peut toujours parvenir à leur somme par une suite d’additions de deux nombres, tout comme on détermine le produit de la multiplication d’un nombre quelconque de facteurs par une suite de multiplications de deux facteurs. ”

“ Laissons donc là les langues vulgaires ; mais, puisque chaque jour voit introduire de nouveaux signes dans la langue des diverses sciences, examinons quelles sont les maximes qui doivent présider à l’institution de ces signes, et jusqu’à quel point les signes déjà institués s’approchent ou s’éloignent des conditions qui, un conséquence de ces mêmes maximes ; en auraient dû régler le choix.
I. Il est d’abord évident que plus un signe d’institution approchera d’être naturel et moins aussi l’esprit aura d’effort à faire pour en découvrir et pour en retenir la signification. ”

“ Mais, entre toutes les courbes qui peuvent être tracées de cette manière, il en est une classe qui méritent plus particulièrement cette dénomination, et qui sont, sur la surface dont il s’agit, ce que sont sur le cylindre ordinaire les parallèles à son axe ; ce sont les courbes qui ont leurs tangentes en chaque point parallèles aux tangentes aux points carrespondans de la courbe à double courbure à laquelle la surface dont il s’agit est parallèle. ”

“ Il ne faut pas aller plus loin pour apercevoir que la fonction est périodique, et qu’on doit avoir conséquemment et ainsi de suite, et en général Mais puisque les résultats du premier exemple sont qui, quelque loin qu’on les pousse, ne peuvent jamais conduire à il faut en conclure que la périodicité est un caractère particulier à certaines fonctions ; ou, ce qui revient au même, que les fonctions ne sont pas toutes périodiques.
Nous disons donc qu’une fonction est périodique lorsqu’elle est de telle forme que l’on a étant un nombre entier positif ”

“ N’a-t-on pas lieu d’être surpris que, par exemple, tandis que nous avons des mots pour exprimer, soit la double ordonnée qui passe par le foyer d’une section conique, soit la droite menée du foyer à l’un quelconque des points de la courbe, soit encore la distance de ce foyer au centre, nous n’en ayons aucun pour désigner soit la perpendiculaire sur le milieu d’une droite, soit la droite qui divise un angle en deux parties égales ? et doit-on être surpris, d’après cela, que tant de théorèmes dont l’énoncé pourrait être très-court, ne puissent être exprimés qu’en beaucoup de mots ”

“ Dans l’une et l’autre, les centres des cercles demeurent sur une droite partageant l’angle correspondant en deux parties égales, tandis que les cordes de contact avec les côtés de cet angle se meuvent parallèlement à elles-mêmes et à la ligne des centres de l’autre série, c’est-à-dire, concourent avec elle en un point de la sécante à l’infini, commun, à la fois, à tous les cercles ”

“ Mais, outre qu’il serait assez difficile d’étendre cette règle à la formation des puissances et à l’extraction des racines, dont le nom m’est qu’une périphrase, il est désirable, pour la plus grande perfection de la langue du calcul, que le nom du résultat soit aussi déduit d’une manière uniforme du nom de l’opération ; et c’est ce qui n’arrive pas dans notre manière de nous exprimer, où les mots somme, reste, produit et quotient n’ont aucune analogie avec les mots addition, soustraction, multiplication et division. ”

“ Soient les coordonnées de la courbe donnée, celle de la courbe cherchée, et à la longueur commune des normales à la première terminées à la seconde. Soit un point de la première courbe ; et soit le point correspondant de la seconde ; l’équation de la normale à la première courbe, au point particulier que l’on considère sera, comme l’on sait,
puis donc que le point est sur cette normale, et à une distance de son point de départ, on doit avoir, à la fois,
ou, en supprimant les accens, désormais inutiles,
équations qui résolvent le problème. ”

“ Des gens plus sensés objecteront que les avantages réels que peut offrir l’emploi d’une langue mieux organisée, ne sauraient compenser le désagrément qu’on éprouve à renoncer à des habitudes anciennes et profondément invétérées ; et je l’accorderai volontiers lorsqu’il ne s’agira que de la langue vulgaire ; mais il n’en est pas de même de la langue des sciences ; ceux qui les étudient n’ont encore aucune habitude formée ; il leur importe assez peu que tel objet qu’on offre pour la première fois à leur attention soit nommé de telle manière plutôt que de telle autre ”

“ C’est précisément le cas des méthodes analitiques ; elles ne donnent, en général, qu’une seule tangente en chaque point d’une courbe, et, lorsqu’il doit y en avoir plusieurs, l’analise, qui ne peut errer, nous présente alors une réponse d’oracle, une réponse ambiguë, qui nous avertit que notre procédé général ne saurait s’appliquer à cette circonstance particulière, pour laquelle il est nécessaire de recourir à une méthode spéciale. ”

“ D’après ce qui vient d’être dit sur le lieu des centres des sections coniques assujetties à passer par deux points et à toucher deux droites données, on pourrait penser que le lieu des centres des sections coniques assujetties à passer par trois points et à toucher une droite donnée, qui se présente, comme le premier, sous la forme d’une courbe du quatrième degré, doit aussi être le système de deux sections coniques, et que conséquemment le premier membre de l’équation du quatrième degré qui exprime ce lieu doit être décomposable en deux facteurs du second degré ”

“ Ainsi, tandis que le problème de la recherche des diamètres conjugués égaux est déterminé pour l’ellipse, ce problème est indéterminé pour l’ellipsoïde.
Rien n’est plus facile, que d’obtenir les deux équations de la courbe dont il vient d’être question. ”

“ Après ces réflexions générales, revenons, en particulier, à la recherche de la moyenne entre les résultats de plusieurs expériences, supposés aussi différens les uns des autres qu’on le voudra ; et remarquons d’abord que, excepté certains cas, tels par exemple que ceux des erreurs d’un nombre rond de dizaines ou de centaines en comptant, on peut raisonnablement admettre qu’une erreur grave est généralement plus difficile à commettre qu’une erreur moins considérable, et qu’il est d’autant moins aisé de se garantir d’une erreur que cette erreur est plus petite. ”

“ La méthode que nous venons de faire connaître pour la résolution des équations fonctionnelles suppose essentiellement que les diverses quantités sous le signe sont susceptibles d’être déduites les unes des autres et de par une suite de semblables opérations qui, suffisamment répétées, conduisent de nouveau à cette même quantité elle suppose de plus qu’en substituant dans l’équation proposée, à autant de fois consécutivement que le comporte l’ordre de périodicité de la fonction les équations qu’on obtient sont essentiellement différentes les unes des autres. ”

“ Nous avons en outre obtenu, chemin faisant, l’équation de condition qui doit avoir lieu, dans chaque cas, lorsque le nombre des équations surpasse d’une unité celui des inconnues, pour que le problème soit possible. ”

“ Si les forces accélératrices étaient égales et de mêmes signes, on aurait et conséquemment l’équation du mouvement apparent serait
c’est-à-dire que ce dernier mouvement serait uniforme ; c’est le cas d’un homme et d’une pierre tombant de différens points d’une même verticale à des époques différentes. ”

“ Si l’on développe sur un plan la surface enveloppe des plans normaux, notre courbe à double courbure et ses deux parallèles deviendront évidemment une courbe plane et ses deux parallèles à la distance tout ce que nous avons dit des parallèles aux courbes planes a donc lieu ici, pourvu qu’on entende par l’angle des normales extrêmes l’angle que feraient ces normales si la face enveloppe des plans normaux était étendue sur un plan. ”

“ On sent même qu’il doit y avoir de l’avantage à choisir de préférence une puissance paire qui, étant toujours positive, quel que soit le signe de la différence, ne changera jamais le signe des données qu’elle multipliera. Afin donc de réunir la rigueur à la plus grande simplicité possible, nous admettrons constamment que le degré de confiance que chaque donnée mérite, dans une approximation quelconque, est, en raison inverse du quarré de sa distance à la moyenne obtenue par l’approximation précédente. ”

“ THÉORÈME III. Il y a toujours une infinité de triangles, soit inscrits, soit circonscrits à une même ellipse, tous équivalens entre eux, tels que le centre de gravité de leur surface coïncide avec le centre de l’ellipse. Les inscrits sont maximums et les circonscrits minimums, entre tous les triangles inscrits et circonscrits à cette même ellipse. ”

“ Comme la caractéristique est entièrement arbitraire, il faudra la choisir de telle sorte que non seulement on sache trouver la dérivée inverse quelle que soit la composition de en variables indépendantes, mais en outre de manière que la série (3) soit convergente.
Dans tout ce qui précède, nous avons tacitement supposé que, dans les fonctions affectées des diverses caractéristiques, toutes les variables étaient considérées comme telles ; mais on conçoit que l’on peut fort bien ne faire porter la dérivation que sur une ou plusieurs d’entre elles, en considérant les autres comme constantes. ”

“ Ce que nous venons de dire de la tangente à une courbe plane, en l’un de ses points, s’applique littéralement à la recherche de son centre de courbure ; elle n’en a généralement qu’un seul en chaque point, et les procédés généraux, soit graphiques, soit analitiques, n’en doivent pas donner davantage. Il peut cependant arriver que plusieurs branches d’une même courbe se touchent au même point, auquel cas la courbe a, pour ce point, plusieurs centres de courbure ”

“ L’usage de la langue écrite paraît être exclusif à l’homme ; tandis qu’il partage avec tous les autres animaux, mais dans un degré évident de supériorité, l’usage de la langue parlée.
Les signes de l’une et de l’autre langue peuvent être ou naturels ou conventionnels ; ceux de cette dernière sorte sont aussi appelés signes d’institution. Les premiers jouissent du privilège de l’universalité, mais le nombre en est nécessairement peu étendu ; les derniers peuvent être, au contraire, indéfiniment multipliés par le jeu des combinaisons ”

“ Je pourrais observer que, sans l’heureuse témérité de quelques hommes et la docile complaisance de tous les autres, nous n’aurions encore aujourd’hui ni notre écriture alphabétique, ni nos notations musicales, ni notre système arithmétique, ni notre calcul algébrique ; inventions qui toutes, à leur origine, ont dû rencontrer un très-grand nombre d’opposans et des résistances plus ou moins vives. Je pourrais observer enfin que souvent il faut montrer bien des fois aux hommes la nécessité de certaines réformes, avant de les déterminer à les adopter ”

“ Je ne pense pas que beaucoup de personnes soient disposées aujourd’hui, ni même à quelque époque que ce soit, à refaire de toutes pièces la langue d’aucune science ; mais je pense en même temps qu’en toutes choses, sans se flatter de parvenir jamais à la perfection absolue, il faut néanmoins l’avoir toujours devant les yeux, comme une limite vers laquelle on doit tendre sans cesse. ”

“ Il me paraît donc incontestablement prouvé par là que le développement de l’intégrale analitique acquiert toujours une valeur imaginaire, lorsque est plus grand que l’unité ; et, par la nature même du développement des fonctions, on doit en conclure que cette propriété est inhérente à la fonction même supposée exprimée explicitement sous forme finie. ”

“ M. Legendre, en suivant le mode de décomposition indiqué par Euclide, est parvenu directement, d’une manière fort élégante, à l’expression du volume du tétraèdre, de laquelle il a pu conclure ensuite que les tétraèdres de même base ou seulement de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalens ; mais comme, dans la géométrie plane, on s’occupe de la comparaison des surfaces avant de chercher à en déterminer l’étendue ”

“ En outre, comme chaque opération a son inverse, on pourrait désirer encore que le langage fît sentir que la soustraction est l’inverse de l’addition, la division l’inverse de la multiplication, et l’extraction des racines l’inverse de la formation des puissances.
Un homme qui, avec tout ce qu’il fallait pour se faire un nom dans les sciences exactes, n’a finalement acquis qu’une honteuse célébrité, avait proposé les mots sommation, réproduction, graduation pour désigner les opérations qui composent les nombres ”

“ Dans l’ancien système, en effet, les noms des mesures de chaque série avaient des dénominations propres et indépendantes les unes des autres, qui ne laissaient pas même soupçonner leur rapport de grandeur ; de telle sorte que chaque dénomination ne s’appliquait à son objet qu’en vertu d’une convention expresse ; et, cette convention connue pour les dénominations des mesures d’une série, on n’en était pas plus avancé pour celles des mesures de toute autre série. ”

“ Qui sait ce que la pratique de ce système pourrait exercer d’influence sur l’art, toujours parait-il assez probable qu’on s’accoutumerait à juger à la simple vue de la beauté d’une mélodie, et à reconnaître le même trait de chant partout où il se rencontrerait, par la seule courbe que formerait sur la portée la série des notes qui le caractériserait ”