Diamètre conjugué

“ Pour décrire une ellipse dont les diametres ayent un rapport quelconque, & qui soit égale en surface à un quarré donné, supposons que le rapport requis du diametre transverse au diametre conjugué, soit égal au rapport de 2 à 1 ; divisez le côté du quarré donné en 11 parties égales ; alors comme 2 est 1, ainsi 11 × 14 = 154 est à un quatrieme nombre, dont le quarré est le diametre conjugué cherché : puis comme 1 est à 2, ainsi le diametre conjugué est au diametre transverse. ”

“ Dans toute ellipse le quarré de la demi-ordonnée à un diametre quelconque, est au quarré du demi-diametre conjugué, comme le rectangle fait sous les segmens du diametre est au quarré du diametre ; & par conséquent le rapport des demi-ordonnée, des diametres est le même que celui des ordonnées des axes ; le parametre d’un diametre quelconque est aussi une troisieme proportionnelle à ce diametre & à son conjugué. ”

“ Bans une courbe à centre et à diamètres reclitignes, mener une corde BG parallèle à une droite donnée xy, de manière que le quadrilatère ABCD ayaiit pour côtés opposés la corde BG et un diamètre DA
donné, ait une aire maxima.
Supposons le problème résolu. Menons un diamètre parallèle à la droite donnée ; projetons les sommets A et'D sur EF par des droites parallèles au diamètre LOL' conjugué de EF, ■ on aura OE = OF. Menons aussi les diamètres BOB', COC' ; les cordes BG et CB sont paralFig. ”

“ Il demeure donc établi par là que le système de diamètres conjugués dont les directions sont venant à varier d’une manière quelconque, de sorte cependant que l’un d’eux reste fixe, le plan coupera constamment, en un même point fixe, le diamètre de dont tous les conjugués sont dans le plan et, comme il est d’ailleurs connu qu’on peut toujours passer d’un système de diamètres conjugués à un autre quelconque, au moyen de trois transformations successives telles que, dans chacune d’elles, un des diamètres reste fixe [1] , il s’ensuit que le théorème est complètement démontré. ”

“ EN, MN étant les coordonnées d'un point quelconque de la courbe rapportée au système d'axes EL, EII; et, par suite, on est en mesure de construire complètement la courbe d'après le procédé du n° 292.
303. ELLIPSES. — Comme la courbe est (298) tangente en E, E' aux deux droites DG, D'G' (fig. 138) , il s'ensuit que EE' représente en grandeur et en direction un diamètre dont le point milieu 0 est le centre de la courbe.
Son conjugué a donc pour direction la droite indéfinie CR menée par ce point parallèlement à AY; et il ne reste plus qu'à en trouver la longueur. ”

“ Pour mesurer le diamètre à l'aide de l'étoile mobile, on place l'octogone sur le plateau en bois entaillé pour le recevoir, on mesure, à l'aide de l'étoile mobile qui a servi à la vérification de l'ame, la distance entre les deux pointes en acier qui ont passé à frottement sur le globe. On mesure ensuite de la même manière la longueur de l'axe de révolution, ou d'un diamètre très-rapproché de cet axe.
Si le globe n'est pas exactement sphérique c'est généralement ce dernier diamètre qui est le plus petit ou le plus grand. ”

“ La seule manière rationnelle de faire de telles évaluations, c'est d'exprimer la longueur de l'objet, son diamètre, etc., en degrés ou minutes de grand cercle ; et comme, en général, ce genre de mesure est difficile, si l'on n'a pas d'instrument, il est bon d'avoir recours à un procédé qui soit à la portée de tout le monde, c'est-à-dire de prendre pour unité une dimension céleste apparente que chacun connaît bien : le diamètre de la Lune ou celui du Soleil, par exemple. ”

“ Puisque le rapport d’une circonférence à son diamètre est modifié au voisinage de la matière, il est clair qu’en se déplaçant par exemple à la surface de la terre et par rapport au soleil et à la lune, on modifie, d’une manière faible, mais réelle et continue, le rapport d’un cercle réel à son diamètre. ”

“ On donne le nom de diamètre à toute corde qui passe par le centre. Tous les diamètres sont égaux, puisque chacun d'eux est le double du rayon.
THÉORÈME I.
Une droite ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points.
Car on ne peut mener du centre de la circonférence à la droite que deux obliques égales au rayon (6, II) .
THÉORÈME II.
10 Le diamètre est la plus grande corde du cercle. ”

“ Mais on appelle en général diametres conjugués ceux dont l’un est parallele à la tangente menée à l’extrémité de l’autre, & réciproquement, soit que leurs angles soient droits, ou non. Les deux axes se coupent toûjours à angles droits. Voyez Axe.
Les deux axes sont le plus grand & le moindre des diametres de l’ellipse ; mais l’ellipse a une infinité d’autres diametres différens. Voyez Diametre, &c. ”

“ L’équation (26) donnera les longueurs des demi-diamètres principaux ; les formules (27) en détermineront la direction ; et ensuite l’une des équations (25) , combinée avec l’équation (22) , fera connaître les sommets.
Parvenus à l’équation (26) , on pourra poursuivre la discussion, comme l’a fait M. Bérard à la page 106 du 3.me volume de ce recueil.
Dans le cas particulier où l’on aura la courbe, n’ayant point de centre, n’aura qu’un diamètre principal et conséquemment qu’un seul sommet que l’on pourra déterminer comme il suit. ”

“ Soient Oa, Ob, les deux demi-diamètres conjugués pris dans le plan diamétral , et 0γ la perpendiculaire élevée sur leur plan, laquelle est égale à l'aire du parallélogramme construit sur Oa et Ob. Concevons le demi-diamètre Oc qui forme, avec les deux premiers, un système de trois demi-diamètres conjugués; menons le plan tangent à la surface, au point c, et la perpendiculaire Op sur ce plan. ”

“ Le diamètre vertical renferme autant de minutes qu’il embrasse d’intervalles, seulement s’il ne se trouve aucun fil affleurant exactement le bord supérieur du disque, si ce bord vient se terminer entre deux des fils du treillis, il y aura une appréciation à faire. Le diamètre se composera du nombre de minutes égal au nombre d’intervalles entiers que le diamètre comprend, plus une fraction de minute qui sera un demi, un tiers, un quart, suivant l’évaluation arbitraire de l’astronome.
Quand on veut mesurer l’étendue angulaire du diamètre horizontal d’un astre, on procède de même. ”

“ Les deux diamètres (transv. et longit.) croissant en raison inverse l'un de l'autre, il arrive que, vers le sommet, ils finissent par devenir presque égaux, et que les dimensions, de rectangulaires quelles étaient, à la base, se rapprochent insensiblement de la forme carrée, à l'extrémité libre. Les derniers éléments, en raison de leurs deux extrémités courbes, qui finissent par se toucher, ont presque la forme arrondie, ou plutôt elliptique : le diamètre longitudinal l'emportant toujours un peu sur le diamètre transversal. ”

“ À la même distance les diamètres réels sont comme les angles sous-tendus, du moins lorsque ces angles n’ont pas une valeur exagérée ; ainsi, le diamètre réel de la Terre est au diamètre réel de la Lune comme 114 est à 32, ou, ce qui revient au même en nombres ronds, comme 4 est à 1. Ceci nous apprend que le diamètre de la Terre est environ quatre fois plus grand que celui de la Lune, égal seulement à 797 lieues. ”

“ Telle est donc l’équation qui donnera les directions des deux diamètres qui passent par les intersections de la courbe avec le cercle dont le centre coïncide avec le sien, et dont le rayon est
Si nous supposons ce rayon indéterminé, nous pourrons profiter de son indétermination pour faire coïncider les deux diamètres, lesquels auront alors pour direction commune celle de l’un des diamètres principaux ; et la valeur qui en résultera pour sera la moitié de la longueur de ce diamètre.
Il faut pour cela que l’équation (8) ait ses deux racines égales ”

“ Toute ligne comme ni parallele à l’axe, est appellée un diametre. Les lignes comme Hl terminées à deux points H, l de l’ellipse, & menées parallelement à la tangente au sommet d’un diametre, sont les ordonnées à ce diametre. Les parties iq sont les abscisses. Le quadruple de la distance du point i au point F, est le parametre du diametre in : d’où il suit que le quadruple de FT est le parametre de l’axe, qu’on appelle aussi le parametre de la parabole. ”

“ Soit en effet divisé le diamètre d’un cercle (fig. 7) en deux segmens, proportionnels à et en sorte que ces deux segmens soient
sur ces deux segmens comme diamètres soient décrits, de part et d’autre du diamètre total deux demi-circonférences dont les longueurs seront conséquemment
leur somme sera ainsi c’est-à-dire que, quel que soit le rapport de à la courbe continue formée par les deux demi-circonférences intérieures et se terminant aux deux extrémités du diamètre est constamment égale à la demi-circonférence extérieure. ”

“ Le rayon moyen de la terre, qui est de 6,366,669 mètres, soutend un arc de 3600 secondes, ce qui donne environ 1800 mètres par seconde. Pour qu'un objet soit visible, il faut qu'il soutende un rayon de 60". Avec un grossissement de 60 fois, on peut voir un espace de 2000 mètres de diamètre, étendue dont il est possible de se faire une idée en se rappelant que de l'Observatoire au palais du Luxembourg il y a un peu plus de 1000 mètres; avec un grossissement de 600 fois, on voit un cercle dont le rayon est de 100 mètres et le diamètre de 200 ”

“ La plus grande et la plus petite corde que l'on puisse mener par un point A donné dans un cercle, sont perpendiculaires l'une à l'autre, et l'une d'elles est un diamètre.
C'est le diamètre et la perpendiculaire à ce même diamètre, ménés par le point donné A.
Remarque. Lorsque le point est extérieur, il n'y a lieu de considérer que la plus grande corde. La sécante qui passe par le centre donné une corde égale au diamètre.
Théorème 102. ”

“ Mais si le cercle n'a que 1/4 de mètre de diamètre, comme notre théodolite , par exemple, la seconde ne vaudra plus que 5/10 millièmes de millimètre, quantité si petite qu'elle ne peut être indiquée sur le limbe de notre cercle, et que cependant nous sommes obligés d'évaluer parce que, dans les recherches astronomiques, elle répond à des valeurs numériques considérables, puisque nous venons de voir qu'un objet qui soutend un angle d'une seconde est à une distance de 206,000 fois son diamètre. ”

“ Si maintenant on suppose que désigne la longueur d’un demi-diamètre principal, alors les deux diamètres égaux qui répondront à cette hypothèse se confondront en un seul ; les valeurs correspondantes de devront donc être égales. ”

“ Nous ferons donc, quant au diamètre, une hypothèse défavorable à la visibilité de l'astre cherché, en admettant que sa densité soit égale à celle d'Uranus. Nous trouverons ainsi qu'au moment de l'opposition la nouvelle planète devra être aperçue sous un angle de 3" ,3. Ce diamètre est tout à fait de nature à être distingué, dans les bonnes lunettes, des diamètres factices, produits de diverses aberrations, si l'éclat du disque est suffisant. ”

“ La complexité du phénomène n’a pas permis de le représenter par une loi simple : mais, pour une plaque donnée, les diamètres sont une fonction régulièrement croissante de l’éclat, et la relation entre la magnitude et le diamètre, , peut être représentée par une courbe qu’il est facile de tracer si le cliché contient un certain nombre d’étoiles de magnitude connue. ”

“ Je profiterai de l’occasion pour citer une observation d’où il semble découler que la diminution d’intensité, entre les bords du croissant, est beaucoup plus rapide qu’on ne le suppose généralement. Lorsque dans la mesure du diamètre d’une planète, on fait usage d’un micromètre prismatique, le moment où les deux images sont superposées se reconnaît par une grande et subite augmentation d’intensité dans leurs parties communes. ”

“ Si l'on mène une droite perpendiculaire aux plans projetants, la projection orthogonale d'un diamètre, sur cette droite, sera égale à sa projection sur le diamètre fixe, multipliée par le cosinus de l'angle que ce diamètre fait avec la droite; on en conclut que : La somme des carrés des projections orthogonales de trois diamètres conjugués, sur une droite fixe, est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués. ”

“ En Astronomie, le diamètre apparent d'un astre est l'angle sous lequel on le voit, ou plus exactement l'angle d'ouverture du cône formé par les rayons visuels tangents à l'astre. — Quand le diamètre apparent d'un astre est assez petit, il varie en raison inverse de la distance de cet astre à l'observateur. ”

“ Il peut paraître extraordinaire aux personnes qui ne connaissent pas la géométrie qu'on n'ait pu trouver le rapport exact de la circonférence au diamètre; on pourrait croire qu'il suffit de mesurer le diamètre et la circonférence d'un cercle, le diamètre au moyen d'un mètre, la circonférence au moyen d'un fil qu'on développerait ensuite, et de diviser les deux longueurs obtenues l'une par l'autre pour avoir le nombre de fois qu'une circonférence quelconque contient son diamètre ”

“ Partant donc de cette limite, nous supposerons que toute image objective, au-dessus de 16 centimètres de foyer réel4, va en augmentant avec la distance focale c'est-à-dire, acquiert un diamètre de plus que l'objet observé à l'œil nu, par chaque quantité de 16 centimètres ajoutée à la longueur du foyer. Un objectif de 112 centimètres de foyer réel fournira une image de la lune contenant sept fois le diamètre de son disque perçu à la vue simple. ”

“ Remarque II. — On peut concevoir deux procédés pour la mensuration des diamètres : ou bien on fait les mesures sur les libres elles-mêmes, montées en préparation microscopique, à un grossissement d’environ 300 diamètres, ou bien l’on opère sur des coupes transversales pratiquées au niveau convenable dans les mèches prélevées.
Le premier procédé est plus rapide, mais il ne donne que la largeur de la libre ; or, celle-ci présente une section plus ou moins elliptique et par conséquent on y peut considérer un diamètre maximum ou largeur et un diamètre minimum ou épaisseur ”