Corde (géométrie)

“ Lorsque le point est extérieur, il n'y a lieu de considérer que la plus grande corde. La sécante qui passe par le centre donne une corde égale au diamètre. A droite et à gauche de cette position, la sécante donne des cordes de plus en plus petites; la corde se réduit à un point lorsque la sécante devient tangente. Au delà de cette position, les droites menées par le point extérieur ne rencontrent pas la circonférence. ”

“ De plus je dis que le point O, où la perpendiculaire CH rencontre l'arc sous-tendu par la corde AB, est le milieu de cet arc ; car, la droite CH étant perpendiculaire sur le milieu de AB, si on tire les cordes AO et BO, elles seront égales (voy. n° 30) ; mais des cordes égales sous-tendent des arcs égaux (voy. n° 32, corollaire I) ”

“ On mène une corde DE parallèle au diamètre
fixe AC d'une demi-circonférence ABC, on joint le point B milieu de l'arc aux extrémités de la corde; de ces points D, E on abaisse des perpendiculaires DG, EF sur le diamètre. Pour quelle position de la corde le pentagone GDBEF est-il maximum ? ”

“ Sil'on fait tourner rapidement un corps attaché à l'une des extrémités d'une corde dont l'autre extrémité est fixe, la corde se tend de plus en plus à mesure que le mouvement devient plus rapide. Le corps, en tournant, agit sur la corde de la même manière que s'il était soumis à l'action d'une force qui tendrait à l'éloigner du centre de la circonférence qu'il parcourt dans son mouvement ”

“ Car par le 1 Lemme les sinus égaux sont moitiez de cordes égales. Or par le 2 Lemme ces cordes égales soûtiennent des arcs égaux qui font doubles des arcs qui ont pour finus ces sinus égaux. Donc les arcs doubles de ceux là estant égaux, ceux là le font aussi. La converse se prouve de la même forte, sans qu'il foit besoin de s'y arrester.
Et de même quand un sinus est plus grand que l'autre, la corde dont le plus grand est la moitié, est plus grande aussi que la corde dont le plus petit est la moitié. Donc cette plus grande corde soûtient un plus grand arc. ”

“ Nous allons démontrer que, dans les surfaces du second degré, toutes les surfaces diamétrales sont des plans.
En effet, toutes les cordes parallèles à la direction définie par les équations
vont concourir en un point situé à l'infini dans la direction de ces cordes, et le milieu de chaque corde est conjugué harmonique de ce point à l'infini. Donc : Toute surface diamétrale est un plan, qui est le plan polaire du point à l'infini dans la direction des cordes.
Les coordonnées de ce point à l'infini sont définies si l'on ajoute aux formules (2) l'équation t = o. ”

“ Nous avons dit qu'une corde tendue entre deux points présente une forme d'autant plus éloignée de la ligne droite qu'elle est plus pesante; toutefois si l'on se place convenablement, elle paraîtra droite : c'est ainsi que la corde d'une escarpolette peut paraître une simple corde pendante. En d'autres termes, la corde tendue peut être employée pour tracer des lignes qui paraissent droites dans un certain sens. Telles sont les lignes droites que. peut avoir à tracer un jardinier pour dessiner une allée : il se borne à tendre un cordeau entre deux piquets. ”

“ On démontre de même que, réciproquement, deux cordes égales sont également éloignées du centre, et qu'une corde est d'autant plus petite qu'elle en est plus distante.
42. Une droite ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points.
Toute droite qui coupe une circonférence en deux points est une sécante.
Toute droite qui ne rencontre une circonférence qu'en un seul point, qui ne fait ainsi que la toucher est une tangente.
43. Toute tangente est perpendiculaire au rayon mené au point de contact ( au point où la tangente touche la circonférence) . ”

“ Réciproquement, les cordes AB, DE, ng. 11, étant égales , si l'on pose la deuxième corde sur la première, les deux arcs AMB , DNE se confondront dans toute leur étendue, et seront égaux. Donc, si l'on parvient à tracer dans un
(1) Pour le démontrer, posons l'arc DJNE sur AMB, et le point D sur le pointA. Alprs les deux arcs, gardant le même centre , s'appliqueront exactement l'un sur l'autre : donc le point E tombera sur le point B. Donc la ligne droite ou corde DE se confondra avec la corde AB.
cercle, fig. ”

“ Tirez une droite AB (P. I, F. 56) ; portez-y trois fois une longueur quelconque, de A en C; décrivez du même point A et avec AC pour rayon, un arc CD dont la corde soit sensiblement plus grande qu'une des trois parties de AC; de C, avec une de ces parties, décrivez un second arc qui coupe le premier, et joignez l'intersection E au point A.
Il est tout aussi facile de se servir de l'angle de réduction BAE , que de le construire. Pour réduire au tiers, la droite FG, par exemple, vous la porterez de A en G', et de la même ouverture de compas, vous marquerez un point G" sur AE ”

“ Il suit de là que les fils ou les brins d'une corde, peuvent supporter d'autant plus de poids, qu'ils sont plus près d'être parallèles, ou qu'il y a moins de torsion dans la corde. Les cordes molles sont donc préférables, pour la force, aux cordes dures et serrées; elles sont aussi plus flexibles, plus maniables, et moins sujettes à faire des coques ”

“ Exercice 100
608. Théorème. Par deux points pris sur une corde et équidistants du point milieu de celle corde, on élève deux perpendiculaires limitées au même arc de cercle; prouver que ces perpendiculaires sont égales.
Soit CD = CE. Il faut prouver que DF = EG.
Menons le diamètre parallèle à la base donnée AB.
La droite OC, qui joint le centre au milieu de la corde, est perpendiculaire à cette corde (G., n° 122) , et perpendiculaire à sa parallèle. ”

“ Si la corde OS (fig. 55) est un diamètre, tout angle ORS, inscrit dans la demi-circonférence, est un angle droit ; car il a pour mesure la moitié de la demi-circonférence OIS, ou le quart du cercle.
52,
Tout angle formé par une tangente et par une corde a pour mesure la moitié de l'arc intercepté entre la tangente et la corde.
L'angle obtus ABI (fig. 56) , formé par la tangente BI et la corde AB, a pour mesure la moitié de l'arc AOB compris entre la tangente et la corde. Car, si on mène le diamètre BS, qui sera perpendiculaire à BI, l'angle aigu ABS aura pour mesure la moitié de l'arc AS ”

“ Soit AB (fig, 46) la corde dont on connaît la longueur. Abaissons du centre C la ligne CD perpendiculaire sur AB, et prolongeons-la jusqu à la rencontre du cercle au point O. La corde qu'il faut calculer est AO. On calculera d'abord CD ; pour cela on ôtera du carré de AC le carré de la ligne AD qui est la moitié de la ligne déjà mesurée AB. On aura ainsi le carré du nombre qui exprime CD, et on connaîtra CD en prenant la racine de ce-carré. Retranchant CD du rayon CO, on connaîtra la lon-
gueur de DO ”

“ Je prends ensuite la corde de EF, et du point B, avec cette corde pour rayon, je décris un tout petit arc qui coupe BG quelque part, en H. Cette dernière opération revient à porter la corde de DE sur FG; mais il est préférable de marquer le point H par 1 intersection* d'un petit arc: on ne court pas le risque de percer le papier, si l'on dessine, ou de mal placer le point, si l'on opère sur le terrain. ”

“ En outre, si l'on imagine une sphère dont le centre tombe en O, et dont la section par le plan de la figure soit le cercle déjà décrit, la corde m0m pourra être regardée comme l'intersection du plan de la figure avec un plan perpendiculaire qui retranche de la surface de la sphère une calotte sphérique, et de son volume un segment sphérique. Les centres de gravité de la calotte et du segment se trouveront encore dans le plan de la figure, sur la bissectrice Oμ. ”

“ Le maçon, pour se guider dans la construction d'un mur droit, tend aussi une corde à l'aide de deux tiges enfoncées dans le mur. Lorsque le charpentier veut équarrir une pièce de bois, il tend d'un bout de la pièce à l'autre un cordeau blanchi, et, soulevant verticalement le cordeau par son milieu, il le laisse retomber : le cordeau laisse une empreinte qui guide son travail. Du reste, dans les travaux qui ne demandent pas une grande précision, la corde légère, assez courte et bien tendue, représente une droite avec une exactitude suffisante. ”

“ Tracez un dessin en joignant par des cordes des points marqués sur une circonférence donnée, à égale distance ,es uns des autres Montrez les cordes, les arcs, les angles formés par les cordes ?
XIX. Tracé des arcs, diamètres, rayons.
Il n'est pas besoin de vous indiquer comment vous pouvez tracer un arc, puisqu'un arc n'est autre chose qu'une partie d'un cercle qu'on n'achève pas, ou dont on marque les extrémités sur un cercle déjà tracé. Pour tracer une corde dans un cercle, il suffit de tirer une ligne droite qui coupe le cercle, en allant d'un des points marqués à l'autre. ”

“ Le problème de la recherche du point brillant d'une sphère lorsqu'on donne la position du point lumineux et celle de l'œil du spectateur peut être ramené à la question précédente ( page 236) .
Exercice.
318. Problème. Un segment parabolique ABC est limité par une
corde BC perpendiculaire à l'axe de la courbe; mener une tangente FEG, telle que le point de contact E soit le milieu du segment FG, limité à la corde prolongée et à la droite CG, menée parallèlement à l'axe par l'extrémité C de la corde donnée. ”

“ Par un point donné M, mener une sécante telle que l'angle inscrit LFG, qui correspond à la corde interceptée GL, soit égal à un angle donné AHB.
Tous les angles inscrits égaux correspondent à des arcs égaux, et par suite à des cordes égales. Il suffit donc de faire un angle inscrit C égal à H ; de mener une circonférence concentrique à la première et tangente à la corde DE, puis par le point M de mener à cette deuxième circonférence une tangente MGL. Tout angle inscrit tel que F égalera H.
Résumé.
54. La synthèse permet à celui qui sait d'exposer ce qu'il connaît ”

“ Angles au sommet
de 0 à 4 droits.
Angles vers la base
de 2n à (2n — 4) droits.
Problème 680.
1821. Une salle a une hauteur représentée par h; on attache au plafond une corde de 1 mètres de longueur; 1 étant plus grand que h, on trace un cercle sur le plancher en tenant la corde tendue. On demande la surface de ce cercle.
Le cordon tendu forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle qui a pour côlés de l'angle droit h et r ; donc r2 = l2 — h 1. ”

“ Si l'on trace le cercle à en entier, on pourra mener par le point a une corde qui fasse avec ad, mais en dessous, le même angle ce que la corde aa' fait avec ad, mais en dessus., et il est évident que l'on trouvera deux points 80 et s0' qui seront situés par rapport à la droite ad ou xy en ordre inverse, mais symétriquement par rapport à cette droite xy avec les points s et s'; la courbe lieu des points s et s'est donc symétrique par rapport à la droite ad ou xy; elle passe par les foyers F et F' de l'ellipse ”

“ Or, si je conçois deux rayons visuels, l'un parallèle à A'B', l'autre à R'P, ces rayons, qui iraient percer le tableau évidemment en F' et P, deviendront DF' et DP quand je les rabattrai autour de PZ; et alors F'L sera le rabattement d'une corde qui, dans l'espace, se trouverait bien parallèle aux cordes précédentes ; donc, en tirant DF" parallèle à F'L, le point F" sera le point de fuite cherché. D'après cela, A' Fil représente la corde de l'arc décrit par le point A', et cette droite me fait connaître le rabattement A" du point A' ”

“ Problème 610. — I.
1702. On donna une droite xy, une circonférence et un diamètre fixe.
Fig. 1099.
AB. On mena une corde CD parallèle a xy, et on élève des perpendiculaires CE, DF à la corde. Quel est le trapèze maximum déterminé par la corde et les deux perpendiculaires limitées au diamètre fixe ?
Soit ECDF le trapèze maximum.
1er Moyen. En prolongeant CE, DF, on obtient un rectangle double de la surface considérée.
Le rectangle est maximum lorsqu'il est carré.
Alors
2e Moyen. ”

“ Soient a, b, c, d, e, f les distances de M aux côtés de l'hexagone inscrit, et g, h, i, j, k, l les distances de M aux côtés de l'hexagone circonscrit, a étant la perpendiculaire abaissée sur la corde qui correspond aux tangentes dont g, h sont les distances au point M.
On sait que la distance d'un point M à une corde quelconque, est moyenne proportionnelle entre les distances du même point aux deux tangentes correspondantes (n° 25) ; donc a'l — gh; b2 — hi ”

“ Supposons maintenant que l’on cherche, par l’analise, les points d’intersection, non plus d’un diamètre, mais d’une droite quelconque avec une courbe du second degré, et la distance de ces deux points, ou, en d’autres termes, la corde qui les unit ; lorsque la droite ne rencontrera plus la courbe, la distance donnée par l’analise deviendra imaginaire, et sera de la forme tandis que le point milieu de la corde conservera des coordonnées réelles. Il devient alors utile de substituer à la corde imaginaire ”

“ Bans une courbe à centre et à diamètres reclitignes, mener une corde BG parallèle à une droite donnée xy, de manière que le quadrilatère ABCD ayaiit pour côtés opposés la corde BG et un diamètre DA
donné, ait une aire maxima.
Supposons le problème résolu. Menons un diamètre parallèle à la droite donnée ; projetons les sommets A et'D sur EF par des droites parallèles au diamètre LOL' conjugué de EF, ■ on aura OE = OF. Menons aussi les diamètres BOB', COC' ; les cordes BG et CB sont paralFig. ”

“ Or, comme la première est la corde elle-même, il suffira de construire l’autre, que l’on voit être également une droite, laquelle coupera conséquemment la corde au point cherché ; ce qui prouve, en premier lieu, que jamais l’enveloppe ne saurait toucher une corde en plusieurs points. ”

“ Ajoutons que, si l’on projette deux sections coniques, situées dans un même plan sur un nouveau plan, parallèle à une corde idéale qui leur soit commune, la projection de cette corde sera elle-même une corde idéale commune aux projections des deux sections coniques. Par suite, si les deux courbes proposées étaient dissemblables entre elles ; auquel cas elles avaient nécessairement plusieurs cordes réelles ou idéales communes ; pour rendre leurs projections semblables et semblablement placées, il faudra faire en sorte qu’une des cordes communes s’éloigne à l’infini. ”