Centre (géométrie)

“ Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si par une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents. ”

“ Les surfaces circonscrites à la surface A peuvent être infiniment aplaties, c'est-à-dire se réduire à des sections planes de cette surface. Alors la seconde partie du théorème exprime que les centres des coniques, perspectives des sections planes de la surface A, sont les perspectives des sommets des cônes circonscrits à A suivant ces sections.
De là résulte une troisième propriété de la projection stéréographique d'un cercle de la sphère, savoir : Le centre du cercle,
1828.
( 1) Annales de Mathématiques, t. XVIII, p. 326.—Der barycentrische Calcul, 3e section, c. 11. ”

“ Si l'on conçoit ensuite que le centre se meuve sur la surface courbe dans une direction quelconque , et parcoure l'arc infiniment petit d'une courbe, la surface de la nouvelle sphère coupera celle de la première dans la circonférence d'un cercle, dont le plan sera perpendiculaire à l'arc parcouru par le centre, et qui sera normal à la surface courbe. ”

“ Ainsi nous pouvons dire que : Trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point fixe, sont toujours, en direction, trois diamètres conjugués d'une autre sur face du second degré ayant son centre au point fixe. ”

“ Lieu du centre des cercles qui passent par un point fixe, et qui sont tangents à une droite donnée ou à une circonférence donnée.
Ce n'est qu'un cas particulier du lieu précédent : un cercle est réduit à son centre. D'ailleurs, suivant que le point donné est intérieur ou extérieur au cercle donné, on a une ellipse ou une hyperbole. ”

“ Ainsi : si d'un point fixe on mène un rayon à chaque point a d'une figure, et que, sur ce rayon, on prenne un point a' tel, que le rapport de ses distances au point fixe et à un plan fixe, soit au rayon dans une raison constante; ce point appartiendra à une seconde figure, homologique à la première.
Le centre d'homologie sera le point fixe; et le plan d'homologie sera parallèle au plan fixe. ”

“ Abaissez du centre D sur le plan sécant, la perpendiculaire DI, qui est la distance de ce plan au centre. Les triangles rectangles DIA, DIK, DIS, etc., sont égaux, parce qu'on a DA = DK = DS =, etc. Donc IA=IK = IS=, etc., et tous les points de l'intersection appartiennent à un cercle dont le centre est le point I.
Le rayon AI de ce petit cercle est moindre que l'oblique AD, qui est le rayon de la sphère. Il est facile de reconnaître que ce rayon est d'autant plus petit que la perpendiculaire DI
est plus grande. ”

“ L'angle pris pour unité est ordinairement l'angle droit, et on divisera en parties égales le quart de cercle BC (fig. 29) décrit de son sommet comme centre. Cela fait, pour mesurer un angle donné K-, on décrit de son sommet comme centre, et d'un rayon égal à celui du quadrant, un arc de cercle qui se termine en M et en N, aux côtés de l'angle K ”

“ Étant mené un plan tangent quelconque à une surface du second degré, et un plan tangent à l'une de ses coniques excentriques, parallèle au premier, la différence des carrés des distances de ces deux plans, au centre de la surface, sera constante. ”

“ Ces développements ont été construits par le principe
connu en géométrie descriptive. Ainsi, chaque point, en - tournant autour de l'axe commun des deux cônes, a été rabattu sur l'une des droites S'B ou S'D, puis, de là, sur la génératrice correspondante du développement (fig. 1) par un arc de cercle décrit du point S' comme centre. ”

“ Faire tourner un point, une droite, un plan autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical.
195. Déterminer par points la projection horizontale d'un cercle perpendiculaire au plan vertical, en le faisant tourner autour d'un axe perpendiculaire à ce plan et passant par son centre. SOLUTION : On amène le cercle à être parallèle au plan horizontal; on y marque des points dont on obtient aisément les projections par une rotation de même angle que la précédente, mais de sens inverse. ”

“ Chacune de ces équations, considérée seule, étant du premier degré par rapport aux quantités p et q qui expriment les coordonnées d'un point, représente (79) une ligne droite; et si on les construit successivement par rapport aux mêmes axes, le point d'intersection (61) de ces lignes sera le centre du cercle demandé.
Occupons-nous d'abord de l'équation (2) ; elle peut être mise sous la forme
Cela posé, soient M, M', M" (fig. 61) les points dont les coordonnées sont (x', y') , (x'', y'') , (x"', y") . ”

“ Donc (130) ce point est le CENTRE de la courbe; et l'on dit alors qu'elle est rapportée à son centre comme origine.
N.B. — Dans le cas de B2 — 4AC = o, les valeurs des coordonnées a et b de la nouvelle origine sont infinies; et le centre est alors situé à l'infini, résultat conforme à ce que l'on a établi au n° 144.
164. La première transformation, étant opérée, la seconde, qui a pour but de faire disparaître le terme en xy de l'équation (2) , et qui (154) est toujours possible, s'exécute de la manière indiquée dans ce numéro. ”

“ Or les trois distances a', b', c', perpendiculaires deux à deux, menées du centre 0 sur les trois plans rectangulaires, dont P est le point commun, sont les trois arêtes latérales d'un parallélépipède rectangle ayant PO pour diagonale; par suite, la somme des carrés de ces arêtes égale PO2 (G., n° 439) , et le théorème est démontré.
31. Remarque. La détermination de la valeur constante n'offre aucune difficulté. ”

“ On voit qu'elle prend des signes opposés pour deux valeurs très-grandes dey, l'une positive, l'autre négative.
Considérons de même l'équation x2-\- y' -+- ixy cosQ + Ax + By + C = o, qui représente un cercle si 0 désigne l'angle des axes ; en mettant en évidence les coordonnnées a, b du centre et le rayon R du cercle, le premier membre de cette équation peut s'écrire (x - a) 2 + (y - by -+- i (X - a) (y - b) cosS - R2; il représente, pour un point quelconque du plan, le .carré de la distance au centre, moins le carré du rayon. ”

“ Donc le lieu des points N est une circonférence
/li' décrite du point B comme centre avec BN ou AM. pour rayon.
66. Remarques. 1° Quand le point 0 est entre M et N, la similitude est inverse; elle est directe dans le cas contraire.
2° Le théorème s'applique à une figure quelconque ; le lieu des points N est une figure semblable à la première.
Exercice.
67. Problème. Par un point donné 0, l'on mène une sécante quelconque; elle rencontre une droite donnée AB en un point N, et l'on
Fig. 31.
prend sur la sécante une longueur OM telle que le produit OM. ON ait une valeur constante k2. ”

“ Sur les intersections des lignes et des surfaces ; par M. Lamé.
Recherche du cercle qui en touche trois autres sur un plan ; par M. Gergonne.
Recherche du triangle inscrit à une section conique, dont les côtés passent par trois points donnés, et du triangle circonscrit, dont les sommets sont sur trois droites données ; par M. Gergonne.
Recherche du plan sur lequel les perspectives de deux sections coniques tracées sur un autre plan sont deux cercles ; par un Abonné.
GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
Recherche du plan osculateur et du centre de courbure d’une ligne courbe, en un point donné ”

“ Si les trois plans se coupent en un point, la surface a un centre, lequel n’est autre que leur intersection ; s’ils se coupent tous trois, suivant une même droite, la surface a une infinité de centres situés sur cette droite ; s’ils se confondent, elle a une infinité de centres situés sur l’un d’eux ; enfin s’ils sont parallèles, ou si seulement leurs intersections deux à deux sont parallèles, la surface est dépourvue de centre ou, en d’autres termes, elle a son centre situé à une distance infinie. ”

“ De même qu’un cercle étant donné sur un plan, on sait trouver son centre et son rayon ; on sait aussi, lorsqu’une section conique est donnée, trouver son centre, si elle en a un, ses sommets, ses foyers ”

“ Nous avons déjà vu que la position d'une droite ou d'un cercle est fixée sur un plan par le moyen d'une équation entre les coordonnées x et y de chacun de ses points et un certain nombre de constantes dont la connaissance suffit pour déterminer cette position géométriquement. ”

“ Quand les coefficients de trois coordonnées, dans l'équation d'un plan mobile, sont variables et ont entre eux une relation du premier degré, ce plan passe constamment par un point fixe ; Si ces coefficients ont entre eux une relation du second degré, le plan enveloppe une sur face du second degré ; Et, en général, si ces coefficients ont entre eux une relation du degré m, le plan enveloppe une surface géométrique, à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite. ”

“ Des centres, axes et plans de similitude. 32. Deux sphères, extérieures l’une à l’autre, étant données dans l’espace, on peut toujours concevoir deux cônes qui soient à la fois circonscrits à l’un et à l’autre. L’axe commun de ces deux cônes passera par les centres des deux sphères ; mais, tandis que le sommet de l’un sera sur la droite même qui joint ces deux centres, l’axe de l’autre sera sur le prolongement de cette droite, au-delà du centre de la plus petite. ”

“ Ces trois théories sont maintenant connues de tous les géomètres; nous rappellerons seulement ici les caractères distinctifs qu'elles ont permis de donner aux recherches de la Géométrie moderne, et qui consistent en ce que, dans toutes les relations de segments ou d'angles, la règle des signes s'observe, comme dans les résultats de la Géométrie analytique; et que les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans les racines d'une équation du second degré, n'offrent aucune difficulté dans leur interprétation. ”

“ Chacun des théorèmes contenus dans le paragraphe précédent peut servir de principe à un système de coordonnées analogue au système en usage, et dans lequel les trois variables qui détermineront chaque point de l'espace, s'élèveront, dans l'équation d'une surface, au degré même marqué par l'ordre de cette surface, c'est-à-dire par le nombre de points (réels ou imaginaires) où la surface sera rencontrée par une ligne droite quelconque. ”

“ Soit le rayon inconnu du cercle et soient les coordonnées inconnues de son centre. Soient enfin les coordonnées inconnues du point où touche ce qui donnera une première équation
(1) Supposons, pour fixer les idées, que tous les contacts doivent être extérieurs ; il faudra pour cela que la distance du centre de au centre de chacun des cercles soit égale à la somme de leurs rayons, ce qui donnera
et telles sont les équations qui résoudraient le problème ; si nous voulions prendre pour inconnues les coordonnées du centre et le rayon du cercle cherché. ”

“ Nous nous servirons toutefois, dans nos constructions géométriques , de ces points , dont le peintre ne fait ordinairement aucun usage, et qui correspondent aux traces des droites derrière le plan vertical, dans la Géométrie descriptive. Nous dirons, lorsqu'une droite aura ainsi son pied en-dessus de la ligne d'horizon , qu'elle rencontre le plan horizontal derrière le fond du tableau; expression qui, par son inexactitude même, rappellera le cas qui nous occupe. ”