Circumférence

“ Lorsqu'un angle est tracé sur le plan d'une circonférence et que ses côtés sont sécants ou tangents, on peut, pour le mesurer, ne pas décrire une circonférence de son sommet comme centre et faire usage de la première circonférence. ”

“ Quand le diamètre aura atteint la longueur voulue, la circonférence, aussi loin que nos regards pourront porter, se confondra pour nous avec la ligne droite, et voilà pourquoi la rondeur de la terre échappe à notre vue. ”

“ Il résulte de la définition des surfaces de révolution que tout point de la génératrice décrit une circonférence, dont le rayon est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe, et dont le plan est conséquemment perpendiculaire a cet axe ; en d'autres termes toute section plane perpendiculaire.
à l'axe d'un solide de révolution est un cercle. Ces sections circulaires, dont les rayons sont généralement différens, prennent le nom de parallèles, et l'on donne celui de méridiens aux sections planes passant par l'axe, et qui sont toutes égales. ”

“ Limites d'un corps — En géométrie, quand on dit la surface d'un triangle ou d'un cercle, on entend l'étendue, comparée au mètre carré, de la portion du plan comprise dans le triangle ou dans le cercle. ”

“ Remarque. Il est aisé de voir que, quelle que soit la situation des points , d’un même côté de la droite indéfinie, , il y aura toujours, sur cette droite, un point qui jouira de la propriété qui vient d’être exposée.
3. LEMME II. Si, sur une circonférence donnée, il y a un point duquel menant des droites à deux points donnés hors de cette circonférence, ces droites, sans couper le cercle, fassent des angles égaux avec le rayon mené au même point ; ce point sera celui de la circonférence dont la somme des distances aux deux points donnés sera la plus petite. ”

“ Espace circonscrit & limité, lequel borne & environne un espace plus petit ou un corps. Circumscriptio. C’est une des propriété inséparables des corps, d’être bornés à un certain lieu, & de n’occuper qu’un certain espace déterminé. Cependant Osiander D. Luthérien, a soûtenu que la circonscription n’étoit pas de l’essence des corps.
☞ Circonscription, en Géométrie, est l’action de circonscrire un cercle à un polygone ou un polygone à un cercle ou à toute autre figure courbe. Voyez Circonscrire. ”

“ Lorsque M est un point quelconque d’un plan , l’ensemble de tous les points A, tels que les segments MA soient tous congruents entre eux, est dit une circonférence ; le point M est dit le centre de la circonférence. ”

“ Si une droite tourne dans un plan en passant par un point fixe et rencontrant une circonférence, les deux distances du point fixe aux intersections simultanées sont deux variables réciproquement proportionnelles. ”

“ Théorème.
223. L'inverse d'une circonférence, lorsque le centre d'inversion est sur cette courbe, est une droite perpendiculaire au diamètre qui passe par l'origine donnée. (G., nu 825.)
224. Réciproquement : L'inverse d'une droite donnée est une circonférence qui passe par l'origine; le diamètre mené par ce point est perpendiculaire à la droite donnée. (G., n° 827.) 225. L' inverse d'une circonférence, lorsque le centre d'inversion n'est pas sur la courbe donnée, est une circonférence homothétique de la première, par rapport à l'origine donnée (G., n° 828.) . ”

“ « Ceux qui ont vu les règles de trois, la règle d'intérêt, la règle de société, etc. reconnaîtront aisément que le principe précédent les renferme toutes. »
APPLICATIONS : Bien que la division de la circonférence en degrés ou en grades soit de pure convention, elle est d'un grand secours dans plusieurs arts et même dans les sciences.
APPL. (a) : La plupart des instrumens qu'on emploie pour lever les plans, ont un cercle évidé nommé limbe, sur lequel sont marqués les degrés ou les grades, et c'est l'usage de ce cercle qui rend l'opération facile, prompte et suffisamment exacte. ”

“ Les siècles à venir développeront ces grandes inégalités qui produiront, un jour, des variations au moins égales, au quarantième de la circonférence, dans le mouvement séculaire de la lune, et au douzième de la circonférence dans celui de son périgée. ”

“ Degré, en termes de Géométrie & d’Astronomie, est la division qu’on fait sur les cercles pour servir de mesures. Tout cercle se divise en 360. degrés, & chaque degré en 60. parties égales, qui sont les minutes. Quand on veut déterminer la grandeur d’un angle, on compte les degrés. Par exemple, quand on dit un angle de 90. degrés, on entend un angle droit, parce qu’il comprend la quatrième partie de la circonférence d’un cercle. Cet astre est élevé de tant de degrés sur l’horison, il décline de l’Equateur de tant de degrés. ”

“ La surface d'un secteur est à celle du cercle entier comme la longueur de l'arc qui lui sert de base est à la longueur entière de la circonférence ; et puisque le cercle entier a pour mesure le produit de son contour par la moitié du rayon , on conclut aisément de cette proportion que le secteur a pour mesure le produit de l'arc qui en est la base par la moitié du rayon. ”

“ COROLLAIRE II. —Pour déterminer les centres de similitude de deux circonférences extérieures, il suffit de tracer deux rayons parallèles et de même sens, et deux autres rayons parallèles et de sens contraires ; la droite qui unit les extrémités des premiers rencontre la ligne des centres, au point qui est le centre de similitude directe ; et celle qui unit les extrémités des seconds, au point qui est le centre de similitude inverse. ”

“ Calculer, à moins d'un kilomètre, le rayon de la circonférence de la terre.
3. Calculer, à moins d'une seconde, le nombre de degrés d'un arc égal à son rayon.
4. Lorsqu'on divise une circonférence en -n parties égales, par les points A, B, C, etc., et qu'à partir de A on joint ces points de 2 en 2, de 3 en 3., et, en général, de h en h, par des lignes droites, on forme un polygone régulier de n côtés, si les nombres n et h sont premiers entre eux. ”

“ Actuellement, si nous considérons la circonférence
comme un polygone régulier d'un nombre infini de côtés infiniment petits, nous pourrons dire que sa surface est équivalente à celle d'un rectangle qui aurait pour base une droite d'une longueur égale à la circonférence et pour hauteur la moitié du rayon. ”

“ Le tracé d'une circonférence réclame un exercice tout
particulier de la main : ce n'est qu'avec le temps qu'on parviendra à donner à la courbe son exactitude géométrique.
74. — « Nous allons construire de nouveau quelques polygones réguliers avec le secours des circonférences : c'est le seul moyen de les dessiner exactement. »
Diviser une circonférence en huit parties, et y tracer un octogone régulier, fig. 54. L'élève tracera une circonférence, qui sera vérifiée au compas ou à la corde, et rectifiée, s'il y a lieu ”

“ Si l’on prend pour inconnue la distance du point d’où la droite doit partir au point de la circonférence qu’elle rencontrera d’abord, le calcul donne deux valeurs : l’une, positive, correspond au premier point d’intersection de la droite cherchée et du cercle ”

“ C'est donc par son rapport à une circonférence qu'un angle quelconque se mesure, et, comme
la grandeur d'un angle peut varier autant qu'on peut imaginer de points dans une demi-circonférence, la grandeur d'un angle se désigne par celle de l'arc d'une circonférence décrite d'un rayon arbitraire, le sommet de l'angle étant pris pour centre. ”

“ Un cercle ou un arc étant donné, en trouver le
-centire. -Prenez trois points -quelconques A,B,G, sur l'arc. ou la circonférence; menez les cordes AB et BC, il ne s'agit plus que de mener deux perpendiculaires, l'une à AB et l'autre à BC, passant chacune par le milieu de la corde à lacpielle elle est perpendiculaire. Ces lignes devant passer toutes deux par
Fig. 5D.
le centre, le centre n'est autre que leur point de rencontre 0. ”

“ Point où l'on place la pointe sèche du compas pour décrire avec l'autre pointe un arc ou une circonférence.
6. - CEBCLE : Surface entourée par une circonférence. — En géographie on donne le nom de cercles aux circonférences que l'on suppose tracées à la surface de la terre.
7. — CIRCONFÉRENCE: Ligne courbe dont les deux extrémités se confondent, et dont tous les points sont à égale distance d'un point intérieur nommé centre. — Les circonférences se décrivent au compas. 8. ”

“ L'art du NIVELLEMENT a pour objet de comparer entre elles les hauteurs de deux ou d'un plus grand nombre de points, c'est-à- dire de mesurer de combien les uns sont plus ou moins élevés que les autres.
2. Pour déterminer la différence de hauteur de deux points a, b, nous concevons que par chacun l'on ait mené un plan horizontal. La longueur aa' = bb', que les deux plans ab', ba1 interceptent sur la verticale, est la différence demandée. ”

“ A la vérité, toutes les erreurs pourraient être en plus : vous auriez pu trouver, par exemple, 4m ,359 la 1 er fois, 4m ,3586 la 2e fois, 4m ,3585 la 5° fois, et dans ce cas, la longueur moyenne 4m,3587 serait plus inexacte que les deux dernières ; mais elle le serait moins que la première ; et dans l'ignorance où vous êtes de la vraie longueur d'une droite que vous mesurez, il est possible que vous regardiez comme le meilleur, le mesurage le plus mauvais. ”

“ Si la force est inclinée à un plan donné de position, en prenant sur sa direction, à partir du point où elle rencontre le plan, une ligne pour la représenter, la perpendiculaire abaissée de l’extrémité de cette ligne sur le plan sera la force primitive décomposée perpendiculairement à ce plan. ”

“ Toutes les fois que deux points d'une circonférence font également distans de l'une ou l'autre des extremitez de son diametre, qui passe par les deux centres, ils font au if y également distans de l'autre circonference. ”

“ THÉODORE. — Une circonférence est tout le tour d'un objet rond, la circonférence est donc tout le tour de la cuve, et le diamètre est la largeur d'un rond; or, comme la cuve est ronde, si vous prenez la largeur de ce rond vous aurez le diamètre.
Supposons un rond tel qu'on le voit ici:
Le tour de ce rond sera ce qu'on appelle la circon férence, les lignes qui le traversent ne ont autre chose que la largeur ou le diamètre ”

“ Fig. 435.
a un angle constant, le côté opposé est tangent à une circonférence concentrique à la première.
Sôit A l'angle constant; il a pour mesure la moitié de l'arc B ( (G., n° 147.) Donc si A' = A, on a arc BC = arc B'C' d'où la corde BC = BC (G.,n°118.) Or ces cordes égales sont également éloignées
du centre, donc les cordes BC, B'C' sont tangentes à une même circonférence décrite du point 0 comme centre.
652. Théorème. Lorsqu'un triangle circonscrit à une circonférence a deux angles dont la somme est constante, le troisième sommet est sur une circonférence concentrique à la première. ”

“ Un polygone est dit circonscrit à un cercle, lorsque tous ses côtés lui sont tangens.
culer les contours, en supposant connue la longueur du rayon ou du diamètre; ainsi le diamètre étant égal a l'unité, le contour du carré circonscrit sera représenté par quatre unités, et celui du carré inscrit par 2XV/â"= 2,8284. Or la longueur développée de la circonférence est comprise entre les longueurs des contours des deux carrés, c'est-à-dire qu'elle est moindre que: le contour du carré circonscrit et plus grande que le contour du carré inscrit ”

“ Or vous savez qu'un même corps, sous différentes figures, positions ou volumes, peut occuper plus ou moins de cette circonférence et, s'il y a cause pour laquelle un même corps doive moins peser proche du centre qu'étant plus éloigné, celle-ci en est peut-être une, étant clair que, quoiqu'il fût toujours de même figure, position et volume, néanmoins, étant plus proche du centre, il occupera une plus grande portion de la circonférence susdite qu'étant plus éloigné. ”

“ Le courant aura marqué sur la circonférence une série de réflexions ou d'échos ; et chacun d-'eux aura pour mesure la distance parcourue ainsi, depuis le point de départ, relativement au pourtour entier du cercle.
Mais le polygone ne confère el, ne peut conférer à ses angles qu'une importance inverse du nombre de ceux-ci. Plus il tend à s'effacer dans la circonférence, plus les échos qui le consti- tuent deviennent indirects et perdent d'énergie dans le con- traste. Moins alors la nature et l'art en feront usage. ”

“ La longueur de la circonférence d'un cercle est la limite du périmètre d'un polygone convexe inscrit dans le cercle, dont le nombre de côtés croît indéfiniment, tandis que chacun d'eux décroît indéfiniment. ”

“ Nous avons pris, de part et d’autre du point sur la circonférence deux directions opposées, affectées l’une aux angles positifs, l’autre aux angles négatifs ; or, si nous appliquons aux angles les mêmes considérations qu’aux lignes, nous serons conduits à prendre les angles imaginaires dans une direction perpendiculaire à celle qui appartient aux angles réels. ”

“ En un mot, dans l'Univers les circonférences réelles tracées autour des masses gravitantes, autour des astres, ont par rapport à leur diamètre, une longueur plus petite que dans la géométrie euclidienne. ”

“ Je n’aurais plus qu’à multiplier celui-ci par trois pour avoir la circonférence, qui, du reste, ne m’était pas nécessaire, l’un ou l’autre de ces deux termes ayant absolument les mêmes propriétés arithmétiques : divisez l’un, ou multipliez l’autre par trois, et vous aurez toujours le même chiffre. ”

“ Tracé de la circonférence par trois points. — Tangente. — Conditions pour que deux circonférences soient l'une extérieure ou intérieure à l'autre, pour qu'elles se touchent ou se coupent; propriété de la corde commune et de la ligne des centres.
Détermination du nombre de degrés d'un angle par celui des arcs que ses côtés déterminent sur une circonférence qu'ils rencontrent ou touchent. ”