Arc (géométrie)

“ Supplément d’un arc, en termes de Géométrie ou de Trigonométrie, est le nombre de degrés qui manquent à un arc pour faire le demi-cercle entier, ou 180 degrés, ainsi que complément est ce qui manque à un arc pour faire un quart de cercle. ”

“ Ces arcs se rencontreront sur la sphère sous des angles assez aigus, comme on le voit mieux sur le plan vertical, pour H'I' et I'K'J'; et pour tracer ce dernier arc, on observera que son sommet (K, K') devant se trouver à la même hauteur que (H, H') , ce sera l'horizontale H'K' qui déterminera le rayon cherché C'K'. Lorsqu'on arrivera à une division F' pour laquelle le carré FL. MN. se trouvera interrompu par les fermerets, on composera l'arête de douelle avec l'arc de cercle (F'L', FL) , la droite horizontale. ”

“ REMARQUE. L'arc AMB est, dans la partie du plan située audessus de AB, le lieu des points d'où l'on voit la droite AB sous l'angle donné. Car, lorsque son sommet est situé à l'intérieur
du segment, l'angle, ayant, pour mesure la moitié de l'arc ANB, plus la moitié de l'arc intercepté par le prolongement de ses côtés (21) , est plus grand que l'angle donné. D'autre part, lorsque le sommet est hors du cercle, l'angle, ayant alors pour mesure la moitié de l'arc ANB, moins la moitié du second arc intercepté par ses côtés (22) , est plus petit que l'angle donné. ”

“ PROBL. (d) : Tracer d'un mouvement continu, un arc dont trois points A, B, C sont donnés (P. IV, F. 13) .
Placez deux règles selon AB, BC ; liez-les l'une à l'autre, de manière à rendre invariable leur angle ABC ; puis , faites-les glisser contre deux pointes plantées en A, C. Un crayon tenu en B, concours des arêtes qui toucheront les pointes, décrira l'arc demandé ; car il est visible (98) que tous les angles égaux qui comprennent une droite AC, sont inscrits à un même arc dont cette droite est la corde. ”

“ ARC, En géométrie, c'est une portion de cercle, dont la base s'appelle Corde, & la perpendiculaire élevée fur le milieu de cette base, Flêche. Mais en Coupe des Pierres, un arc est toute couverture ceintrée de baye, porte ou croisée.
— Bombé. Arc formé d'un seul centre, & qui fait angle, à fa naissance, avec le piédroit. Voy. l'arc A. B. C. D. Pl. 46.fig. 6.
Doubleau. Arc de peu de largeur, qui excéde le nud, fur l'intrados d'une voûte.
— Plein-ceintre. Arc formé par un demi-cercle. Voy. l'arc A. D. F. Pl. I. fig. 3. ”

“ Tirez une droite AB (P. I, F. 56) ; portez-y trois fois une longueur quelconque, de A en C; décrivez du même point A et avec AC pour rayon, un arc CD dont la corde soit sensiblement plus grande qu'une des trois parties de AC; de C, avec une de ces parties, décrivez un second arc qui coupe le premier, et joignez l'intersection E au point A.
Il est tout aussi facile de se servir de l'angle de réduction BAE , que de le construire. Pour réduire au tiers, la droite FG, par exemple, vous la porterez de A en G', et de la même ouverture de compas, vous marquerez un point G" sur AE ”

“ Il y a aussi le sinus du complément d'un arc ou d'un angle, la tangente du complément, et la sécante du complément , parce que par complément à l'égard d'un arc ou d'un angle, on entend le reste de cet arc ou de cet angle à 90 degrés, quand il est moindre qu'un quart de cercle, ou
ce dont surpasse 90 degrés, quand il est plus grand qu'un quart de cercle. ”

“ Les globes de verre pour lampes sont terminés par deux petits cercles parallèles.
Deux points pris sur la surface d'une sphère peuvent être unis par des arcs de longueurs très-différentes appartenant à des petits cercles de rayons différents ; mais lorsque l'arc est un arc de grand cercle, il
Fig. 215.
répond au plus grand rayon et à la moindre courbure. Il est sur la sphère ce que la ligne droite est sur un plan ; c'est le plus court chemin d'un point à un autre. On mesure donc la distance de deux points sur la surface de la sphère par l'arc de grand cercle qui les unit. ”

“ De plus je dis que le point O, où la perpendiculaire CH rencontre l'arc sous-tendu par la corde AB, est le milieu de cet arc ; car, la droite CH étant perpendiculaire sur le milieu de AB, si on tire les cordes AO et BO, elles seront égales (voy. n° 30) ; mais des cordes égales sous-tendent des arcs égaux (voy. n° 32, corollaire I) ”

“ X X I. Tous les angles inscrits dans le même segment, ou ap- puyez sur le même arc, ou sur des arcs égaux, font égaux.
Car ils ont la moitié du même arc ou de deux arcs égaux pour mesure. Donc ils font égaux par le premier Lemme.
Et il est clair aussi (par le premier & le deuxiéme Corollaire) que des angles inscrits font égaux quand les arcs que soûtiennent les deux costez de l'un pris ensemble font égaux aux arcs que soûtiennent les deux côtez de l'autre, & qu'ils ne peuvent estre égaux que cela ne soit. ”

“ Lorsqu'un triangle curviligne ayant une base donnée est tel que la somme des angles à la base, diminuée de l'angle au sommet, est une quantité constante, le lieu de ce sommet est un arc de cercle qui passe par les extrémités de la base. ”

“ Donc l'angle f g qui leur est égal, a pour sa mesure les moitiez de ces deux mêmes arcs : ce qu'il falloit demonstrer.
COROLLAIRE.
QUAND deux cordes égales moindres que des diametres se coupent, elles divisent la circonference en quatre arcs, dont il y en a deux opposez qui font égaux, & deux autres inégaux; &: alors les angles qui font appuyez sur chacun de ces arcs égaux ont pour mesure cet arc entier.
Car les opposez estant égaux,un entier est la même cho- se que la moitié de l'un plus la moitié de l'autre. ”

“ Un cercle ou un arc étant donné, en trouver le
-centire. -Prenez trois points -quelconques A,B,G, sur l'arc. ou la circonférence; menez les cordes AB et BC, il ne s'agit plus que de mener deux perpendiculaires, l'une à AB et l'autre à BC, passant chacune par le milieu de la corde à lacpielle elle est perpendiculaire. Ces lignes devant passer toutes deux par
Fig. 5D.
le centre, le centre n'est autre que leur point de rencontre 0. ”

“ Prenons pour plan horizontal celui de la face connue A adjacente à l'angle p, menons I/T" perpendiculaire à Hy, l'on connaîtra VIIQ; et prenons aussi L'T' perpendiculairé à H". Si l'on conçoit que le plan P tourne autour de HP pour prendre la position qu'il doit occuper dans l'espace, un point quelconque b' de l' se mouvra dans le plan vertical L'T' en décrivant un arc de cercle C', et viendra au point où cet arc est coupé par le plan Q, point que nous obtiendrons en cherchant V" (n° 47 ) ”

“ Des points A et D comme centre, et d'un même rayon ou ouverture de compas, pris à volonté, décrire deux arcs de cercle B C, EH; prendre la grandeur de l'arc B G et la reporter bien juste de E en H, joindre les points D A, et l'angle E D H est égal à l'angle BAC.
Du preneur d'angle. — Un des objets les plus utiles à se procurer, est un preneur d'angle (appelé je ne sais pourquoi par les ouvriers, fausse équerre, quoique le titre véritable que l'on doit lui donner est preneur d'angle, puisqu'il sert spécialement à prendre les angles) ”

“ On en conclut une quatrième construction de la courbe du troisième ordre passant par neuf points; ainsi qu'une construction de la surface du second ordre déterminée aussi par neuf points (2) : construction qui s'applique à plusieurs cas particuliers, notamment au cas où la surface doit être osculatrice en trois points à une courbe gauche donnée quelconque. On résout aussi cette question : Inscrire dans un arc de section conique trois cordes consécutives, saus-tendant des segments égaux; ce qui est une généralisation du problème de la trisection de l'angle. ”

“ Élevons sur le milieu de notre ligne donnée une verticale indéfinie qui se prolongera au-dessus de l'arc de cercle, et sur la partie supérieure de cette verticale, du point supérieur d'intersection de cet arc avec notre verticale, traçons comme centre une série de six cercles concentriques qui viendront couper la verticale en six points. Au premier point de rencontre du plus petit cercle avec la verticale, on placera la pointe sèche du compas jusqu'à la rencontre de l'une ou de l'autre des extrémités de la droite donnée, et on décrira une circonférence. ”

“ Propriétés des perpendiculaires et des obliques. — Intersection de la ligne droite avec le cercle. — Propriétés des cordes, des sécantes et des tangentes. — Élever et abaisser une perpendiculaire au moyen de la règle et du compas. — Partager une droite, un arc de cercle ou un angle en deux parties égales.
28.
Par un point donné, on ne peut abaisser qu'une seule perpendiculaire sur une droite déterminée de position. La perpendiculaire est plus courte que toute oblique. ”

“ Ne répétez point ce qui est écrit dans presque tous les livres de géométrie, que l'arc exprimé en degrés est la mesure de l'angle.
Cette locution est fausse et donne de fausses idées; un arc ne peut pas plus mesurer un angle, que le mètre linéaire ne peut mesurer un champ. L'arc indique la grandeur de l'angle, sans équivaloir à cette grandeur, à peu près comme une monnaie de papier indiquerait la valeur des choses, sans avoir cette valeur.
50. Toute circonférence, pouvant être divisée en 560 parties égales, renferme 560 degrés. Le degré a 60 parties égales nommées minutes ”

“ Et de là il s'enfuit, que dans ces fortes d'angles, aussy bien que dans ceux qui font au centre du cercle, deux angles font égaux quand ils ont pour mesure des arcs égaux, ou absolument quand ce font des arcs du même cercle, ou de cercles égaux ; ou proportionellement quand ce font des arcs de cercles inégaux : l'arc du petit ayant la même raison à sa circonference, que l'arc du grand à la sienne: comme si l'un & l'autre estoit la dixiême partie de sa circonférence, c'estadire de 36. degrez. ”

“ Je me contenterai d'indiquer comment on partage le cercle en dix parties égalés. La démonstration repose sur des principes qu ne seront exposés que plus loin. Il faut mener un rayon quelconque, élever à son extrémité une perpendiculaire égale à la moitié du rayon, joindre au centre l'extrémité de cette perpendiculaire par une ligne droite, dont on retranchera ensuite la moitié du rayon. La ligne qui restera sera la corde d'un arc compris dix fois dans la circonférence. ”

“ La demi-circonférence ne peut être employée dans ce cas; aussi est-ce une espèce d'anse de panier, nommée arc rampant qui forme alors le cintre.
Tracer un arc rampant composé de deux arcs de cercle.
- Tirez une droite AB égale à la largeur que doit avoir l'arcade (P. I, F. 45) ; élevez au milieu une perpendiculaire CD ; par les extrémités A, B, menez des parallèles à ,CD ; portez sur l'une, de A en E, la distance du sol à l'extrémité la plus élevée de l'arc, et sur l'autre, de B en F, la distance du sol il l'extrémité la moins
élevée. ”

“ Tracez un dessin en joignant par des cordes des points marqués sur une circonférence donnée, à égale distance ,es uns des autres Montrez les cordes, les arcs, les angles formés par les cordes ?
XIX. Tracé des arcs, diamètres, rayons.
Il n'est pas besoin de vous indiquer comment vous pouvez tracer un arc, puisqu'un arc n'est autre chose qu'une partie d'un cercle qu'on n'achève pas, ou dont on marque les extrémités sur un cercle déjà tracé. Pour tracer une corde dans un cercle, il suffit de tirer une ligne droite qui coupe le cercle, en allant d'un des points marqués à l'autre. ”

“ Donc chaque lieu est un arc de segment capable d'un angle connu.
Remarque. Lorsque les cordes AB, DC se coupent, il faut les considérer comme étant les diagonales du quadrilatère.
Lieu 193. — I.
817 a. Soient ABC un triangle, A', B', G' les points milieux des côtés a, b, c ; par la sommet A, l'on mène une droite quelconque et l'on abaisse sur celle droite les perpendiculaires BP, CQ ; puis l'on mène les droites PG'M, Qll'M. Quel est le lieu dupoint M? (Voir Géométrie analytique de PRÉVOST, p. 553.) ”

“ Fig: 27.
des pointes du compas à l'una de ses extrémités et on amène l'autre pointe à l'autre extrémité; si alors on applique les deux pointes du compas sur une circonférence de même rayon, elles com prennent un arc égal au premier.
C'est ainsi que procède le tailleur de pierres pour dessiner, sur une face ou pare-
ment d'une pierre, un arc de grandeur déterminée appartenant
à un cercle de rayon donné ”

“ PROBL. Cb) : Tracer par trois points donnés A, B, C, un arc , de cercle, sans employer le centre (P. IV, F. I3) .
Il arrive parfois qu'on ne peut se servir du procédé décrit p. III , probl. (c) , pour faire passer un arc de cercle par trois points donnés : un obstacle empêche de marquer le centre, ou bien le rayon est tellement grand qu'on ne saurait songer à employer ni perche, ni cordeau. Voici comment il faut opérer dans un tel cas.
Tirez une droite quelconque AD, au-dessous de AB, par exempie ”

“ Voici un exemple pris dans les cas que l'on rencontre le plus fréquemment : Exemple. Evaluer la surface de maçonnerie de la section droite d'un ponceau à plein cintre, d'après les cotes données au croquis ci-contre.
Fig. 1383.
L'intrados a pour section une demi-circonférence de 1 mètre de rayon, et la hauteur des pieds droits est de 1m20; l'extrados n'est point parallèle à l'intrados (G., n° 1006) ; sa section est un arc dont on calculera le rayon et la longueur. En appelant x la partie du diamètre qui est au-dessous de la corde MN; on a : x. IC = IN2
Log. ”

“ Du point 5 avec 5K pour rayon, on décrit un arc qui se termine en L sur la droite 5, 6, et on continue toujours ainsi. La volute sera terminée lorsqu'on aura décrit du point 12 un arc avec 12R pour rayon.
On voit que. les arcs qui composent la volute sont deux à deux tangents intérieurement.
132. Des moulures. — Les moulures sont des parties saillantes qui servent d'ornement à l'architecture, aux meubles et à une foule de produits de l'industrie. ”

“ Déjà vous connaissez ceux qui sent relatifs au triangle équilatéral et au carré (p. 188 et 209) . Nous allons exposer les autres , et nous enseignerons en même temps, comment on inscrit dans un cercle donné, les polygones usités; pour plusieurs , l'opération dépend des principes suivans.
219. La corde d'un arc de 60° égale le rayon.
Soit DE la corde d'un arc de 60" (P. VIII, F. 18) . En menant les rayons OD, OE, nous formerons un triangle symétrique DOE dont l'angle 0 sera de 60°. Il restera donc 180°— 6o°— 120°, pour la somme des indications des deux autres angles D, E (107) . ”