Arc trigonométrique

“ La géométrie enseigne que, pour connaître le rapport qui existe entre un angle et son unité qui est l’angle droit, il suffit de déterminer le rapport qu’il y a entre l’arc intercepté entre les côtés de l’angle et décrit de son sommet pris pour centre, avec un rayon quelconque, et le quart de la circonférence à laquelle appartient cet arc. C’est ce qu’on exprime en disant : un angle au centre a pour mesure l’arc intercepté entre ses côtés. ”

“ Si l'angle A est aigu et que a soit plus grand que d on n'aura encore qu'une seule solution ; mais si le côté a est plus petit que le côté d, ainsi que dans la figure 31 , pl. 8 , le problème présente une double solution qui satisfait également à ses conditions.
En effet, si à l'extrémité A d'une droite AB , qu'on a faite égale à la mesure donnée d, on construit un angle BAC égal à l'angle donné A et, que du point B , comme centre et d'un rayon égal au côté donné a, on décrive un arc de cercle DC, il coupera le côté AC de l'angle BAC en deux points D et C ”

“ Ce sera le moyen de déterminer avec une plus grande précision les extrémités de la corde de l'arc qui sert de mesure aux angles. Si l'on a le soin de mesurer cette corde d'après deux arcs de rayons différens; si l'on calcule non seulement les trois angles de chaque triangle, mais encore tous ceux qui composent le tour d'horizon, on pourra, sans le concours d'instrumens, faire une triangulation qui ne laissera rien à désirer. ”

“ La hauteur d'un triangle se mesure par la perpendiculaire menée du sommet opposé sur le côté pris pour base.
307. Le rayon mené du centre au point où une ligne droite est tangente à la circonférence du cercle, est en même temps perpendiculaire à cette ligne droite. Or, pour mesurer la hauteur d'un triangle, plaçant la pointe d'un compas sur le sommet, et modifiant l'ouverture du compas de manière à la ramener au rayon d'un arc auquel la base du triangle serait tangente, on aura la longueur de la perpendiculaire menée du sommet du triangle à ce point, c'est-à-dire la hauteur du triangle. ”

“ Nous montrerons aussi comment on a pu les introduire dans la trigonométrie , lorsqu'on remarquera que la résolution d'un triangle rectiligne, en général, se ramène à la résolution d'un triangle rectangle. N'aurait-on pas pu former une table dans laquelle on eût les valeurs des.
angles aigus, des côtés qui comprennent l'angle droit du
triangle rectangle, en imaginant que, l'hypoténuse étant constante , l'on fasse croître l'angle c qu'elle comprend depuis un arc zéro jusqu'à ce que les droites aient pour valeur 100°, c'est-à-dire qu'elles soient parallèles? ”

“ Il est rare qu'on pousse l'exactitude des opérations d'arpentage jusqu'à relever les secondes. Des instrumens assez perfectionnés pour marquer ces subdivisions du degré ne s'emploient ordinairement que pour les calculs astronomiques ou pour des triangulations extrêmement développées, et je pense qu'il est superflu de s'en occuper dans un traité pratique qui doit être dégagé de toute complication inutile.
44. On conçoit que plus l'arc qui sert de mesure à un angle augmente, plus le sinus de cet angle augmente, jusqu'au point où, formant un angle droit, ce sinus devient égal au rayon. ”

“ Le périmètre égale 2 (m + l) ; car BF + CE = l. La surface égale pr = (m + l) r ; mais elle égale
Ih .p. Ih . . 2 rfm + f) , aussi -g-. Donc -g-= r ( m + f) ; h — -, 4° proportionnelle. Et le problème est ramené à construire un triangle, connaissant la base BC, l'angle au sommet A et la hauteur h.
En considérant la tangente mobile comme trouvée, on voit qu'elle est déterminée lorsqu'on connaît sa distance au sommet A; donc, pour , construire directement le n" (2) ; du sommet A, avec h pour rayon, décrivons un arc et menons une tangente commune BG à cet arc et au cercle-inscrit. ”

“ Il en résulte qu'un arc est mieux déterminé par sa tangente que par son sinus ou son cosinus, puisque la différence tabulaire des log tangentes est, comme on l'a vu, égale à la somme des différences tabulaires des log sinus et des log cosinus. On devra donc, dans les applications, rechercher autant que possible l'emploi des tangentes pour la détermination des arcs.
Lorsqu'il s'agit de petits arcs, ils sont sensiblement aussi bien déterminés par leurs sinus que par leurs tangentes. ”

“ Nous devons de plus observer comme une propriété, secondaire aujourd'hui, mais capitale à l'origine, du système trigonométrique adopté, la circonstance très-remarquable que la détermination des angles par leurs lignes trigonométriques ou réciproquement, est susceptible d'une solution arithmétique, la seule qui soit directement indispensable pour la destination propre de la trigonométrie, sans avoir préalablement résolu la question algébrique correspondante. ”

“ Assurons-nous d'abord que chaque côté est moindre que la somme des deux autres ; car il n'y a pas de solution possible, s'il en est autrement, attendu que deux côtés quelconques d'un triangle forment toujours une ligne brisée plus longue que le troisième. Tirons ensuite une droite DE = C, par exemple; avec A pour rayon, décrivons un arc qui ait son centre en D; du point E, décrivons un second arc dont B soit le rayon ; joignons à D , E, l'intersection F de ces deux arcs ; le polygone DEF sera le triangle demandé. ”

“ Il suffira d'ailleurs de s'arrêter à l'arc de 90°, car on sait qu'un arc quelconque peut toujours être ramené au premier quadrant.
33. Théorème I. Tout arc compris entre 0 et 90° est plus grand que son sinus et plus petit que sa tangente.
̃ Fig. t9.
Soit (fig. 19) AM = a un arc compris entre et 90°.
Construisons son sinus MP et sa tan- gente AT, puis joignons MA. Nous avons triangle OMA < secteur OMA '< triangle OAT ou
MPxioA < arc.MA x-OA < AT x-OA donc
sin a < a < tg a Ce qu'il fallait démontrer. ”

“ Il y a aussi le sinus du complément d'un arc ou d'un angle, la tangente du complément, et la sécante du complément , parce que par complément à l'égard d'un arc ou d'un angle, on entend le reste de cet arc ou de cet angle à 90 degrés, quand il est moindre qu'un quart de cercle, ou
ce dont surpasse 90 degrés, quand il est plus grand qu'un quart de cercle. ”

“ Lorsque du point E, par exemple, le point s'avance vers la droite, le rayon de l'arc dont CD est la rorde diminue constamment jusqu'au point O, puis il augmente ; donc l'angle augmente. Au point 0 a lieu le maximum; puis l'angle diminue. Au point G il est nul, ensuite il augmente jusqu'en O', nouveau maximum, et diminue indéfiniment. On a encore OG 2 = CG x DG.
Pour calculer l'angle COD, on résout les triangles OGC, OGD, dans
lesquels on connaît deux côtés et l'angle G qu'ils comprennent, puis le triangle COD, dont les trois côtés sont alors connus. ”

“ Plus le rayon de l'arc, c'est-à-dire plus la distance du sommet de l'angle aux extrémités de la corde, sera développé, plus les subdivisions du degré seront appréciables sur le terrain ; et pour compléter la démonstration de l'exactitude que l'on peut obtenir au moyen d'un procédé appuyé sur l'appréciation
de la valeur des cordes des arcs, je place ici un petit tableau qui indique la grandeur du rayon des diverses circonférences sur lesquelles une longueur de 1 millimètre correspond à une graduation en degrés, minutes ou secondes, exprimée par un nombre simple. ”

“ Si, maintenant, je fais tourner le plan MNM'N' autour de la droite MN jusqu'à ce que la génératrice M'NI se confonde avec MN, les sécantes MM', NNI deviennent simultanément tangentes la première à l'hélice et la seconde à la circonférence de la base du cylindre. En même temps l'arc de cercle NN' et sa corde décroissent jusqu'à zéro. Or, on démontre en trigonométrie que le rapport du sinus à l'arc tend vers l'unité lorsque l'arc diminue jusqu'à zéro ; donc on a aussi :
et par suite lim. ”

“ CHAPITRE VII
une base de triangle. L’opération géodésique qu’allait entreprendre la commission était, on le sait, un travail de triangulation ayant pour but la mesure d’un arc de méridien. Or, la mesure d’un ou de plusieurs degrés, directement, au moyen de règles métalliques posées bout à bout, serait un travail absolument impraticable, au point de vue de l’exactitude mathématique. Aucun terrain, d’ailleurs, en aucun point du globe, ne serait assez uni sur un espace de plusieurs centaines de lieues, pour se prêter efficacement à l’exécution d’une opération aussi délicate. ”

“ Même question, mais le point donné est sur le prolongement du diamètre.
Quand le point donné G, par exemple, est extérieur au cercle, il faut couper la circonférence donnée par un arc décrit du point G avec OG pour rayon (fig. 547) .
En effet, angle G = GOI, puisque le triangle GIO est isocèle par construction ; l'angle G, comme son égal GOI, a pour mesure CI.
Or G a aussi pour mesure
d'où arc AJ = 3 arc CI.
Problème 232. — II.
913. Sur une cévicnne AD d'un triangle BAC, déterminer un point 0, d'où les segments BIJ, CI) soient vus sous des angles égaux. ”

“ Pour l'angle HOV, le point T est le milieu de l'arc et de la tangente
VTS. Pour un arc AE plus grand que le premier, le point U, milieu de l'arc, donne une tangente telle que UH; or le triangle UOH est équivalent au rectangle MUXY. En effet, le rectangle est la moitié du triangle HOZ (n° 352) , et il en est de même du triangle UOII.
Or UOII est > TOS ; donc le maximum augmente quand l'angle au centre augmente. Généralement on s'arrête au demi-cercle, et on le considère comme donnant lieu au plus grand maximum ”

“ Pour savoir combien de fois un arc est renfermé dans un second arc décrit du même rayon, il ne sera pas nécessaire de transporter le plus petit arc sur le second ; on cherchera seulement, à l'aide du compas, combien de fois la corde qui sous-tend le plus petit arc peut être inscrite dans le plus grand arc. ”

“ On prendra sur l'échelle une mesure de 236 mètres et, plaçant en N la pointe du compas, on décrira vers n un arc de cercle. Avec une autre mesure de 223 mètres et, du point A, comme centre, on décrira vers n un second arc de cercle. Son intersection avec le premier déterminera la position du point n. ”

“ La déclinaison sera additive pour tous les angles mesurés dans l'arc compris entre le nord et l'ouest, entre l'est et le sud; et elle sera soustractive au contraire pour tous les angles mesurés dans les deux autres quarts du cercle. Ayant obtenu l'angle d'azimut en A, on mesurera à la chaîne la longueur de A en b, ayant déjà la direction de la ligne A b. On cotera le résultat de ce mesurage sur le croquis , ainsi que les données pour obtenir par des perpendiculaires menées de V et de a sur Ab la position des points V et a et pour pouvoir déterminer les côtés Va et ab. ”

“ Ne répétez point ce qui est écrit dans presque tous les livres de géométrie, que l'arc exprimé en degrés est la mesure de l'angle.
Cette locution est fausse et donne de fausses idées; un arc ne peut pas plus mesurer un angle, que le mètre linéaire ne peut mesurer un champ. L'arc indique la grandeur de l'angle, sans équivaloir à cette grandeur, à peu près comme une monnaie de papier indiquerait la valeur des choses, sans avoir cette valeur.
50. Toute circonférence, pouvant être divisée en 560 parties égales, renferme 560 degrés. Le degré a 60 parties égales nommées minutes ”

“ Note. Le problème de la trisection d'un angle quelconque ne peut être résolu en n'employant que la règle et le compas (voir n° 501) .
La moitié de l'angle CAD est le tiers do l'angle de 45°.
Problème 232.
911. Par un point B donné sur un diamètre AC, mener une corde
DBE, telle que l'arc CE soit triple de l'arc AD.
Supposons le problème résolu. Menons le diamètre DOF.
L'arc CF = AD = 1/3 CE =1/2 FE.
Or l'angle D a pour mesure '/2 FE, et l'angle BOD =COF, qui a pour mesure arc CF = 1⁄2 FE ; donc l'angle BOD = BDO.
Fig. 547.
Ainsi le triangle BOD est isocèle ”

“ Il est facile de trouver le logarithme d’une ligne trigonométrique lorsque l’angle ne contient que des degrés et des minutes. Par exemple, pour avoir on cherche la page en haut de laquelle on lit 21°. On descend ensuite dans la colonne des minutes à gauche de la page jusqu’au nombre , et on prend le nombre placé sur la même ligne horizontale que dans la colonne qui porte en tête le mot sinus. En diminuant ce nombre de 10 on a
. Si l’on veut la tangente de 68° 14′, on cherche la page au bas de laquelle on voit . On monte ensuite dans la colonne des minutes à droite de la page jusqu’au nombre . ”

“ Le triangle DOE est donc équilatéral (161) , et DE = DO.
220. La corde d'un arc de 36° est la plus grande partie du rayon divisé en moyenne et extrême raison (p. 136) .
Soit AB cette corde (P. VIII, F. 19) . Elle forme avec les rayons AO, BO, un triangle symétrique dont l'angle 0 est de 36°. Par conséquent (160 et 157) , les deux autres angles sont égaux ; leur i44° somme A -i- B = 1800 — 36°— 144°, et chacun est de -==72°.
Maintenant, menons BK bisectrice de l'angle B. L'angle ABK est de 36°, comme l'angle 0 ”

“ A chaque position que prendra le sommet mobile A sur l'arc du segment décrit sur BC et capable de la valeur angulaire donnée, le point de concours M des médianes occupera une position différente sur le plan du triangle ; l'ensemble de ces positions est le lieu demandé ; mais, dans bien des cas, l'étude du lieu peut exiger des connaissances plus étendues que celles que donnent les Eléments de Géométrie.
Dans l'exemple relatif à un triangle ABC :
Le point de concours des médianes donne un arc de cercle (livre III) ”

“ La ligne de foi de cette seconde alidade doit se confondre avec celle de la première lorsque l'instrument est fermé et, à la distance de 5 grandes divisions de l'échelle, sont marqués sur l'une et l'autre ligne de foi les points qui doivent indiquer les extrémités de l'arc que décrit la seconde alidade dans son mouvement sur le limbe du demi-cercle. Le trigonomètre est pourvu de pinnules ou , pour opérer sur un plus grand développement, d'une longue-vue placée sur l'axe de la ligne de foi de la principale alidade. Facile à transporter et à manier , simple dans. ”