Triangle rectangle

“ Si on pose le problème : construire un triangle tel qu’il puisse être partagé en deux triangles semblables entre eux ayant un côté commun, on arrive à une construction du triangle rectangle qui donne immédiatement le théorème dit de Pythagore (la somme des carrés des côtés est égale au carré de l’hypoténuse) et le théorème posant la hauteur du triangle rectangle comme moyenne proportionnelle entre les segments déterminés sur l’hypoténuse. Le théorème de l’inscription du triangle rectangle dans le cercle fournit la vertu du cercle pour la construction des moyennes proportionnelles. ”

“ Transportons le sommet C en D, de manière à obtenir un triangle rectangle ABD.
On doit avoir EG2 + EH2 = r2; donc AE = r.
Ainsi du point A comme centre, avec r pour rayon, il faut décrire une circonférence. Cette courbe rencontre BD aux points E, F.
Par le point E, menons une parallèle ENM à la base du triangle, puis abaissons les perpendiculaires MP et NQ.
On sait que MN = HE (n° 187) ; donc MN2 + MP2 = r2.
Fig. 113.
Exercice.
190. Problème. Dans un triangle donné ABC, inscrire un rectangle dont le périmètre égale une longueur donnée 21. ”

“ Supposant le plan vertical de projection relevé rectangulairement sur le plan horizontal, nous pouvons considérer un triangle rectangle formé 1° par la ligne qui joint le point A et le point P comme hypoténuse, 2° par la projection horizontale Ap de cette ligne, et 3° par la projetante Pp.
Nous pouvons rabattre ce triangle rectangle, soit
autour de son côté horizontal, sur le plan horizontal, soit sur le plan vertical autour de son côté vertical. ”

“ Vérification du triangle rectangle. On vérifiera l'angle droit à l'équerre : s'il est exact, le triangle rectangle est bien tracé.
18. — Ici, il faudra recommencer les fig. 8, 9,10 et 11, avec des longueurs déterminées en décimètres, centimètres, et millimètres. J'engage les maîtres à suivre exactement cette marche ; elle seule peut conduire promptement les élèves à une grande exactitude de coup d'œil.
19. — « On appelle quadrilatère l'espace renfermé entre quatre droites qui se coupent deux à deux. »
Tracer un quadrilatère. ”

“ Dans tout ce qui suit, les trois angles d’un triangle seront toujours désignés par A, B, C, et les côtés opposés par les minuscules semblables a, b, c. De plus, A désignera toujours l’angle droit quand le triangle sera rectangle. ”

“ Par un point donné dans l’intérieur d’un angle trièdre tri-rectangle, et également distant de ses trois faces, conduire un plan tellement dirigé que sa partie interceptée dans l’angle trièdre dont il s’agit soit un triangle semblable à un triangle donné ? ”

“ Sur le sujet des triangles rectangles (1) , voici mes fondements : I° Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple du quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés, et une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
20 Le même nombre et son quarré sont chacun une fois la somme de deux quarrés ; Son cube et son quarréquarré sont chacun deux fois la somme de deux quarrés ; Son carrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme de deux quarrés; Etc., à l'infini. ”

“ IE2 + IJ2 = R2 = MP2 + MQ2
donc le maximum a lieu quand les facteurs sont égaux (IIIe Principe, n° 345) .
Remarque. Le rectangle inscrit maximum est un carré, soit pour le triangle rectangle isocèle, soit pour le cercle.
Exercice.
349. Problème. Par le sommet M d'un parallélogramme APMQ,
Fig. 224.
mener une droite BMC de manière que le triangle BAC soit minimum.
Considérons deux sécantes: l'une quelconque DME, et l'autre BMC, dont le point M est le milieu; cette dernière donne le minimum.
En effet, menons CF parallèle à BD.
A cause de BM = MC, les deux triangles MBD, MCF sont égaux. ”

“ Dans le cas de la fig. 4, au contraire, on voit de suite que la solution est facile, et cela, quel que soit aussi le polygone proposé.
Je choisirai, comme application d'un autre genre,
une proposition fort simple et fort célèbre en géométrie; c'est celle qui démontre une propriété des côtés d'un triangle rectangle.
Soit abc (fig. 5) , ce triangle. Qu'après avoir construit les trois carrés, on prolonge toutes les lignes, ainsi que je l'ai fait, il en résulte une figure très-régulière, décomposable en surfaces toutes connues, dont la somme égale (3b+c) 2. ”

“ Montrer qu’on peut exécuter un pavage avec des triangles équilatéraux, ou avec des carrés, ou avec des hexagones réguliers, mais qu’on ne le peut avec des pentagones réguliers ou des polygones réguliers de plus de six côtés.
M. X... laisse à sa mort un pré carré dont on doit donner le quart aux pauvres, puis partager le reste entre les quatre enfants du défunt, en quatre parties de même surface et de même forme.
Trouver un triangle rectangle dont les côtés soient des nombres entiers et dont l’aire soit exprimée par le même nombre que le contour. ”

“ Il arrive souvent qu'on a besoin, ou de rassembler dans une même figure plusieurs figures qui lui soient semblables, ou de décomposer une figure en d'autres figures de même espèce ; ce qu'on peut faire en opérant d'abord sur les rectangles, puisque toutes les figures rectilignes ne sont que des assemblages de triangles, et que chaque triangle est la moitié d'un rectangle de même hauteur et de même base. ”

“ Le rectangle dont il faut étudier les variations a donc pour côté une parallèle EF à la base d'un triangle équilatéral ACB, et pour hauteur la parallèle IJ, située à la même distance du sommet C que EF l'est de la base.
Donc la somme pies côtés du rectangle est constante : elle égale deux fois la ligne MN qui joint les milieux des côtés; elle égale, en un mot, l'arête AB.
Le rectangle sera maximum lorsque les deux facteurs seront égaux entre eux. Ainsi le maximum est donné par la section équidistante des arêtes opposées. Cette section est un carré. ”

“ Lorsque la hauteur et la base d'un triangle sont égales entre elles, tout rectangle inscrit a un périmètre constant (n° 257) .
2. Le rectangle inscrit dans un carré, et dont les côtés sont parallèles aux diagonales du carré, a un périmètre constant (n° 19) .
3. La somme des distances d'un point quelconque de la base d'un triangle isocèle aux deux autres côtés est constante (n° 20) . ”

“ PROBLÈME VII. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée par la surface d’un triangle sphérique bi-rectangle quelconque sur le centre de la sphère ?
Solution. En supposant que les deux côtés égaux du triangle dont il s’agit sont deux méridiens formant entre eux un angle il ne s’agira, pour résoudre le présent problème, que de supposer dans les formules du précédent ; elles deviendront ainsi
On voit par là que tend sans cesse a devenir ou que tend sans cesse à devenir à peu près, à mesure que diminue. ”