Angle trièdre

“ Fig. 209.
d'un même sommet, car il en faut au moins trois pour former le coin ou sommet. On obtient ainsi un angle trièdre formé de trois angles plans de 60 degrés. Pour fermer le volume, il n'y a qu'à placer une quatrième face qui est un triangle équilatéral comme les autres. Le polyèdre régu-
lier ainsi obtenu a quatre faces triangulaires ; c'est le tétraèdre 1 régu lier.
1. De tétra qui signifie quatie
Groupons maintenant quatre de ces triangles de manière à
-former un angle de quatre faces de 60°, c'est encore possible. ”

“ Remarque. De même que nous avons pris pour unité d’attraction des angles plans, celle qui est exercée par l’angle droit plan ; il paraît naturel de prendre, pour unité d’attraction des angles solides polyèdres, celle qui, est exercée par l’angle solide trièdre trirectangle ; on a ainsi
d’où C’est sous cette forme que nous emploirons à l’avenir la valeur de
PROBLÈME IX. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée par une calotte sphérique sur le centre de la sphère ? ”

“ Soient les centres de ces sphères et leurs rayons respectifs.
En désignant simplement les angles dièdres par leurs arêtes, l’angle trièdre donnera, par les formules connues,
Mais on a (Probl. I)
donc
ou, en développant et réduisant,
de là
Si l’on se rappelle que le volume d’un tétraèdre est les deux tiers du produit des aires de deux de ses faces multiplié par le sinus de leur inclinaison et divisé par l’arête qu’elles déterminent ; et si l’on fait attention (Prob. I) que
on trouvera facilement
fonction symétrique de comme on pouvait bien s’y attendre. ”

“ Dans tout triangle sphérique, à un plus grand côté est opposé
un plus grand angle, et réciproquement.
Considérons le trièdre central OABC. Si l'on a «>c, on a aussi la face BOG>BOA, et par suite (n" 1781) , le dièdre OA >> OC ou l'angle A>C.
Pareillement, donner l'angle A>G, c'est donner le dièdre OA>OG. On en conclut la face BOC>BOA,. d'où l'arc BG > BA...
Fig. 1249.
Donc, dans tout triangle sphérique...
1963 a. Note. Le théorème relatif à l'aire du triangle sphérique (G., n» 607) a été énoncé par ALBERT GIRARD, d'Amsterdam, en 1629; mais la démonstration n'est pas rigoureuse ”

“ On a d2 = r2 + t2 AC2 = h2 + d2 = h2 + r2 + t2
Application. Soient h — lm30; r — 0m40j t — 0in36 cc = lm407 Exercice 681
1823. Problème. Mener un plan qui coupe un trièdre trirectanyle S de manière que la section ABC soit égale à un triangle donné.
Fig. 1156. Fig. 1157.
Un trièdre trirectangle est un trièdre dont chaque face est un angle droit.
Recourons au problème contraire (n° 213) .
Sur la face M (fig. 1157) , menons SD perpendiculaire à BC, et dans le triangle ABC menons AD. En vertu du théorème des trois perpendiculaires, AD est perpendiculaire à BC. Ainsi AD est une ”

“ La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits.
La considération des lignes parallèles sert à établir une proposition remarquable commune à tous les triangles, et qui est d'un usage continuel dans la géométrie.
Si nous prolongeons le côté AC (fig. 23) du triangle ABC dans la direction CI, et si nous menons par le point C la ligne CD parallèle à AB, nous aurons l'angle DCI = BAC comme correspondans, et l'angle BCD = CBA comme alternes internes. Ainsi les trois angles formés autour du point C sont les trois angles du
triangle. ”

“ Ici l'exactitude du résultat obtenu dépend non-seulement du degré de précision avec lequel on a mesuré ou construit chacun des angles abc, bac, mais encore de la forme même du triangle abc. On comprend très-bien que, si ce triangle est très-allongé*, la moindre erreur commise sur la direction du côté bc influera sur la position du point c beaucoup plus que si, ce point restant le même, on le déterminait d'une station b' plus éloignée du point a que b. Pour que l'intersection soit bonne, il faut que l'angle c ne soit ni inférieur à 30° ni supérieur à 50°. ”

“ La rencontre des trois côtés d'un triangle donne lieu, par leur position respective, à deux sortes de triangles; savoir : le triangle rectangle, dont l'un des angles est droit, c'est-à-dire a pour mesure un arc de 90°; (1) et le triangle obliquangle dont aucun des trois angles n'est un angle droit.
14. La mesure d'un angle est la valeur de l'arc compris entre ses côtés et qui a son sommet pour centre. ”

“ Dans tout ce qui suit, les trois angles d’un triangle seront toujours désignés par A, B, C, et les côtés opposés par les minuscules semblables a, b, c. De plus, A désignera toujours l’angle droit quand le triangle sera rectangle. ”

“ Lorsqu’on a déterminé les angles et on a déterminé les rapports des dimensions du triangle à projeter et de sa projection ; partant aussi on a déterminé le rapport des surfaces de ce triangle et de sa projection. Or, ce rapport est celui du sinus total au cosinus de l’inclinaison de leurs plans entre eux ; partant cette inclinaison est connue.
§. 6. Le problème qui fait l’objet du Lemme premier est un cas particulier d’un problème plus général, dans lequel l’angle au lieu d’être droit est un angle quelconque. ”

“ L’art de mesurer les triangles ou de parvenir à connoître les angles & les côtés inconnus d’un triangle, lorsqu’on y connoît déja ou les trois côtés, ou bien deux côtés & un angle, ou bien enfin un côté & deux angles, s’appelle Trigonométrie. ”

“ Or, d’après un principe de géométrie, un triangle quelconque est entièrement « connu », quand on connaît un de ses côtés et deux de ses angles, car on peut conclure immédiatement la valeur du troisième angle et la longueur des deux autres côtés. Donc, en prenant pour base d’un nouveau triangle un côté des triangles déjà formés, et en mesurant les angles adjacents à cette base, on établira ainsi de nouveaux triangles qui seront successivement menés jusqu’à la limite de l’arc à mesurer. ”

“ Dans le cas où l'angle A serait droit ou obtus , le côté opposé a devrait être plus grand que le côté d, par la raison que dans tout triangle les plus grands côtés sont opposés aux plus grands angles. ”

“ Un angle se mesurant par l'arc de circonférence compris entre ses côtés, et décrit de son sommet pris pour centre, ne peut être rigoureusement exprimé sur un plan qu'a l'aide du rayon avec lequel il doit être décrit et de la corde qui le sous-tend; le rayon pouvant être d'une longueur arbitraire, il n'existe donc réellement de difficulté que pour la détermination de la corde, car aussitôt celle-ci connue, il ne s'agira plus que de construire un triangle isoscèle ayant pour base la corde elle-même, et pour côtés le rayon. ”

“ Décrire un triangle qui ait deux de ses côtés égaux respectivement à deux lignes données, et dans lequel l'angle opposé à un de ces côtés soit égal à un angle donné.
Tracez une droite indéfinie AI (fig. 98 ) , et menez par le point A une ligne qui fasse avec la première un angle BAI égal à l'angle donné. Prenez AB égale à celle des deux lignes données, qui doit être un côté de cet angle, et décrivez du point B comme centre, avec un rayon égal à la seconde ligne , un arc de cercle qui coupera la ligne AI au point C ; le triangle ABC est le triangle demandé. ”

“ En effet, plaçons le triangle A'B'C' sur le triangle ABC, en mettant le point A' au point A et le point B' au point B, ce qui
est possible, puisque A'B' = AB. Or, l'angle A' étant égal à l'angle A, le côté A'C' prend alors la direction de AC, et comme A'C' = AC, le point C' tombe en C. Par conséquent les périmètres des deux triangles coïncident et les triangles sont égaux.
250. SCOLIE. — On doit remarquer dans ce cas d'égalité, que les côtés égaux sont opposés à des angles égaux. ”

“ La figure mobile ici est le triangle; et les deux droites forment la figure fixe. Il faudra donc, d'après notre principe, faire mouvoir ces deux droites de manière qu'elles passent constamment par les deux sommets du triangle qui glissaient sur ces droites. On conclut de là ce théorème : Quand les côtés d'un angle de forme invariable glissent sur deux points fixes,un stylet fixe, placé en un point quelconque, trace, sur le plan mobile de l'angle en mouvement, une ellipse. ”

“ Copier le prisme triangulaire droit de la fig. 21. L'élève tracera un triangle ; à chaque angle il élèvera une verticale ; les trois verticales doivent être de même hauteur : il ne s'agira plus que d'unir les extrémités par des droites, et le prisme sera construit.
Vérification du prisme triangulaire droit. On examinera à l'équerre si les verticales sont exactes, et l'on vérifiera les triangles opposés, qui doivent être égaux.
55. — « On appelle prisme triangulaire oblique un prisme triangulaire dont les arêtes sont obliques à la base. » ”