Intersection (géométrie)

“ Lorsque deux plans se rencontrent, leur intersection est constamment une ligne droite ; tous les solides ou volumes terminés par des faces planes en offrent à chaque instant la preuve ; on peut en outre s'assurer par le raisonnement qu'il en doit être ainsi, en remarquant que si l'on prend deux points sur la ligne d'intersection de deux plans, quelle qu'elle soit, et que si on les joint par une droite, cette droite se trouvera tout entière dans chacun des deux plans (2) et représentera conséquemment la ligne suivant laquelle ils se coupent. ”

“ On combinerait ensemble la première et la deuxième pour en trouver l'intersection , ainsi qu'on l'a fait dans le problème précédent; ensuite on opérerait semblablement sur la première et la troisième: on aurait de cette manière deux plans qui contiendraient les points cherchés; et lorsqu'on aurait construit dans l'un, la droite suivant laquelle ils se rencontrent, il ne s'agirait plus que de déterminer ses intersections avec le cercle qui est la rencontre de l'une des sphères et du plan sur lequel on a construit. ”

“ Nous savons comment on détermine i'intersection d'une droite avec un plan, lorsqu'on connaît les traces da plan et les projections de la droite.
Si l'on effectue celte opération pour les diverses arêtes du cylindre , chaque arête va donner un point d'intersection, qu'on projettera horizontalement et verticalement. L'ensemble de ces points forme une courbe horizontale et une courbe verticale ; ce sont les deux projections de l'intersection cherchée.
Dans les opérations des arts, il est très-ordinaire de tracer les intersections sur les surfaces mêmes, en les présentant l'une contre l'autre. ”

“ Or, cette intersection est une circonférence (336) . Par conséquent, les points colorés que vous apercevrez sur la nuée obscure, formeront un arc de cercle d'autant plus grand que la droite ST sera plus élevée au-dessus du sol ou que vous serez placé à une plus grande hauteur: il est même possible que l'arc-en-ciel ou l'Iris forme un cercle entier. ”

“ Dans chacun des plans auxiliaires les intersections des droites et des circonférences sont des points qui appartiennent au plan donné et à la surface de révolution : ce sont donc des points de l'intersection demandée.
Si l'axe de révolution est quelconque, les circonférences auxiliaires seront obtenues au moyen du centre et du rayon de chacune d'elles, et par les rabattements
on pourra achever chaque fois la détermination des points de rencontre de ces circonférences avec les droites auxiliaires situées dans les plans de ces circonférences. ”

“ Pour trouver les projections du point d'intersection d'une droite et d'un plan, la solution la plus générale consiste à mener par la droite un plan auxiliaire quelconque, qui coupe le plan donné suivant une droite dont l'intersection avec la droite donnée est le point cherché. ”

“ Mais de plus, leurs plans sont aussi imaginaires; car ils doivent passer par les deux points d'intersection des deux courbes de contact du cône et des deux surfaces ; et, si ces plans étaient réels, chacun d'eux couperait réellement les deux surfaces; ce qui n'est pas possible puisqu'elles n'ont point de courbe d'intersection réelle.
Ainsi, dans ce cas, il est démontré que les deux plans sont imaginaires : il n'y a de réel que leur droite d'intersection. ”

“ On doit donc regarder une tangente à la courbe comme une sécante dont deux des points d'intersection viennent à se réunir en un seul.
99. Il n'est pas toujours nécessaire que le mouvement de la droite se fasse autour de l'un des points d'intersection ; il peut souvent se faire autour d'un point quelconque. La droite peut même, dans certaines circonstances, se mouvoir parallélement à elle-même. ”

“ Une droite est, en général, déterminée par ses deux projections ; car en élevant par Dh un plan perpendiculaire au plan horizontal, et par Dv un plan perpendiculaire au plan vertical, la droite D doit se trouver à la fois sur ces deux plans, elle est donc leur intersection. ”

“ Par deux droites parallèles, ou qui se coupent, par une droite et un point, par trois points, on peut faire passer un plan et on ne peut en faire passer qu'un ; parmi les droites qui peuvent fixer la position d'un plan dans l'espace, on choisit celles en lesquelles il coupe les plans de projection et que l'on nomme les traces du plan. Il est évident que les deux traces d'un plan doivent rencontrer la ligne de terre au même point, qui est le point d'intersection de cette ligne et du plan. ”

“ Déterminer l'intersection de deux plans donnés chacun par deux droites qui se coupent, sans construire leurs traces. SOLUTION: On détermine l'intersection de chaque droite du premier plan avec le second. — On a vu un autre moyen Prob. ”

“ PQ est une droite connue de position quand on a son point de concours Q et son intersection P avec le plan horizontal, intersection qu'on peut appeler la trace ou le pied de la droite. Si la droite avait une inclinaison contraire, le point Q serait en - dessous de la ligne d'horizon. ”

“ Toute proposition relative à des points d’intersection dans le plan a nécessairement la forme suivante : On choisit d’abord un système de points et de droites arbitraires satisfaisant respectivement à la condition que certains points soient sur certaines droites. ”

“ La droite cherchée est l'intersection EF de deux plans dont l'un passe par le point P et la droite AB, et l'autre par le même point P et la droite CD. Le problème proposé n'est possible que si la droite EF rencontre à la fois les lignes AB et CD. Remarque. Ce problème peut être résolu d'une autre manière : je mène un plan par le point P et la droite AB; je détermine ensuite l'intersection F de ce plan et de la droite CD, et je joins cette intersection au point P par une ligne droite qui résoud la question. ”

“ Deux droites menées dans un même plan et suffisamment prolongées doivent en général se rencontrer; parfois il arrive que, prolongées aussi loin que l'on veut, elles ne se rencontrent pas. Ce sont alors deux droites parallèles.
Lorsque deux droites se coupent, on appelle angle leur écartement plus ou moins grand.
On l'énonce par trois lettres, en ayant soin de mettre au
Fig. 3.
milieu la lettre qui se trouve au point d'intersection : ainsi l'on dira l'angle BAC ou CAB ; le point A est appelé sommet, et les lignes AB, AC, côtés de l'angle. ”

“ On mesure cette inclinaison par l'angle BAC que forment deux perpendiculaires à l'intersection MP, et tracées, l'une dans le plan MN, l'autre dans le plan PQ, par un même point A pris à volonté sur l'intersection des deux plans; ainsi, les deux plans seraient perpendiculaires entre
eux si l'angle BAC était droit. -92. Une ligne droite est dite perpendiculaire à un plan quand elle fait des angles droits avec toutes celles qu'on pourrait tracer par son pied dans ce plan. ”

“ La méthode des lieux géométriques doit être abandonnée, lorsqu'elle conduit à l'emploi de lignes qui ne peuvent être tracées d'un mouvement continu, c'est-à-dire de lignes autres que la ligne droite et la circonférence, parce qu'il est impossible de déterminer exactement leurs points d'intersection. ”

“ On construit des génératrices rectilignes de la première surface, et l'on cherche la rencontre de chacune d'elles avec la seconde surface gauche, par les procédés indiqués dans le problème 1. Cela revient toujours à chercher l'intersection d'un plan et d'une surface gauche, et mieux encore, l'intersection d'une droite avec un plan, problème véritablement fondamental de la géométrie descriptive, comme nous l'avons fait remarquer dans plusieurs circonstances. ”

“ Nous observerons, en général, que l'intersection d'une surface courbe et d'un plan quelconque peut toujours se construire facilement, puisque, quel que soit le système des plans coupans, leurs rencontres avec le plan proposé seront toujours des lignes droites faciles à déterminer. ”

“ Il faut bien comprendre que, lorsque sur l'épure on trace une nouvelle ligne de terre L'T', elle est l'intersection du plan horizontal qui ne change pas et du nouveau plan vertical de projection, ou l'intersection du plan vertical qui ne change pas et du nouveau plan horizontal de projection, suivant que l'on veut effectuer un changement de plan vertical de projection ou un changement de plan horizontal de projection. ”

“ Par une droite AB donnée hors d'un plan P, mener un plan qui fasse avec lui un angle donné a (fig. 124) . SOLUTION : Soit Q le plan cherché, B le point de rencontre de la droite et du plan P, et B x l'intersection de P et Q. Soit C le pied de la perpendiculaire AC au plan P. Soit CD perpendiculaire sur Bx. L'angle ADC = α. On peut donc connaître A C, et le rayon CD du cercle auquel Bx est langent. Dès lors, on rabat sur le plan horizontal les points B et C du plan P; on décrit le cercle CD; on mène la tangente BD dont on détermine les projections. ”

“ Il s’agit de déterminer en quels lieux il faut établir ces deux ponts, et de quelle manière on doit diriger les branches de la route, pour que la longueur totale de celle-ci soit la moindre possible ? [1]
Théorème de Géométrie. Dans tout quadrilatère, la droite qui joint les milieux des deux diagonales passe par l’intersection des deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés. ”

“ L'angle NAL' est le supplément de NAL ainsi à l'angle maximum correspond l'angle minimum.
Droites et Circonférences sécantes.
931. Droite et circonférence. On sait que l'angle d'une circonférence et d'une sécante est l'angle formé par la droite donnée et la tangente à la circonférence au point d'intersection (n° C10) .
Lorsque deux circonférences sont concentriques et qu'on mène des tangentes à la circonférence intérieure:
1° Les cordes interceptées par la circonférence extérieure sont égales entre elles ”

“ Expression de la distance entre deux points, dans le cas d'axes rectangulaires. 414 370.373. Moyen de déterminer la position d'une droite dans l'espace; ce qu'on entend par les équations d'une droite 415 374.375. Trouver les équations d'une droite assujettie à remplir certaines conditions 4,7 376. Condition pour que deux droites dans l'espace se rencontrent; trouver les coordonnées de leur point d'intersection. 419 377.379. Trouver l'angle de deux droites dans l'espace, et ceux qu'une droite forme avec les axes coordonnés. ”

“ Prolongeons de même ,les côtés opposés ad, bc jusqu'à leur rencontre en w et joignons os~, ce sera la projection horizontale Jh de l'intersection des plans des deux faces sab, sbc. Enfin la droite ow sera la trace horizontale du plan (I, J) ou X. Cela posé, le plan sécant P
devant couper les faces opposées suivant des droites parallèles entre elles et par conséquent parallèles à leur intersection, doit être lui-même parallèle à la fois aux deux droites 1 et J et par conséquent à leur plan, donc Hp doit être parallèle à HX ”

“ Cas où l'intersection de deux cônes a des branches infinies. 150 Détermination du point le plus haut et du point le plus bas de l'intersection.,. 152 XIII. Tangente en un point de l'intersection d'une sphère et d'un cône. 153 XIV. Par un point donné sur une surface de révolution, mener un plan tangent a cette surface (fig. 41) . ”

“ ApPL. (d) : Le même problème est utile aussi pour le dessin géométrique, quand il s'agit de tracer par un point donné A, une droite qui passe par l'intersection 0 de deux autres droites BC, DE, et que cette intersection se trouve hors du tableau. Dans ce cas, il faut tirer une transversale quelconque AH, et une seconde transversale IIK; joindre les intersections F, 1 et G, K; mener
HL et An. ”

“ Là, ayant établi l’endroit de l’intersection par une ligne perpendiculaire, comme disent les mathématiciens, je forme intersection avec toutes les lignes qu’elle rencontre.
Une ligne perpendiculaire est celle qui, coupant une autre ligne droite, ne forme partout autour d’elle que des ailles droits. En effet, cette ligne perpendiculaire, par les intersections qu’elle détermine, me donnera les limites de toute la distance qui doit exister entre les lignes transversales du sol parallèles entre elles. ”