Théodore Olivier

“ L'homme ne crée aucunes vérités géométriques, elles préexistent toutes.
Lorsque l'on engendre une surface par le mouvement d'une courbe, cette surface jouit immédiatement de certaines propriétés géométriques qui dérivent de la nature géométrique de la courbe génératrice et de la loi mécanique du mouvement imprimé à cette courbe génératrice (que cette courbe reste constante de forme, ou varie de forme à chaque instant de son mouvement, la loi des variations de la forme géométrique de cette courbe génératrice étant liée à la loi mécanique de son mouvement dans l'espace) . ”

“ Comme l'on ne peut pas ordinairement avoir une feuille de dessin assez grande pour représenter les corps dans leurs grandeurs naturelles, on réduit les dessins ou épures que l'on désigne aussi sous le nom de plans à une échelle déterminée qui doit être annexée au dessin et sur laquelle on compte les longueurs horizontales, les cotes sont toujours indiquées dans leurs grandeurs naturelles; il faudrait les réduire à la même échelle, si l'on voulait faire la projection verticale du corps sur un plan vertical de projection. ”

“ Remarquons que lorsqu'on avait une ellipse ou une hyperbole, on pouvait immédiatement construire les foyers ; car puisqu'il suffit d'employer une tangente quelconque à la courbe donnée pour obtenir le cercle 6, il suffit de connaître, à priori, une tangente autre que celle qui répond au sommet de la courbe, pour pouvoir résoudre le problème.
Or, pour l'ellipse, on sait que la tangente menée à l'extrémité du petit axe est parallèle au grand axe dé l'ellipse ; or pour l'hyperbole, on sait que l'asymptote est la tangente au point situé à l'infini sur la courbe. ”

“ Un point est déterminé dans l'espace, quand on connaît sa projection orthogonale sur le géométral, sa perspective, la base du tableau et le centre des projections ou point de vue. Mais on peut aussi définir la position d'un point dans l'espace par sa perspective, sa cote de hauteur au-dessus du géométral ”

“ Lorsqu'on imprime un mouvement quelconque à un plan ou à une surface, en général elle n'éprouve aucune altération dans aucune de ses parties. Les dispositions relatives des points et des lignes entre eux demeurent les mêmes à une époque quelconque du mouvement. Les angles que les lignes forment entre elles ne changent pas de grandeur, et les longueurs des lignes non indéfinies se conservent les mêmes. Si l'on fait tourner un plan autour de son intersection avec un autre plan, jusqu'à ce qu'il se confonde avec celui-ci, on dit qu'on rabat le premier plan sur le second. ”

“ Les mécaniciens doivent, de toute nécessité, savoir la géométrie descriptive; au reste c'est la pensée de M. PONCELET, qui a dit très-souvent qu'il préférait employer la géométrie, au lieu de l'analyse, dans les démonstrations des principes de la mécanique, parce qu'on était conduit tout naturellement à des tracés graphiques que l'on pouvait immédiatement utiliser dans la construction des machines ; car il est de toute évidence qu'on ne peut pas construire une machine sans en avoir fait l'épure. ”

“ Lorsqu'une droite est horizontale ses deux projections sont parallèles ; si la droite est verticale, la projection orthogonale se réduit à un point, mais la projection oblique est une droite passant par ce point et parallèle aux droites qui unissent les deux projections d'un même point ; si la droite était parallèle à la droite projetant obliquement un point, sa projection oblique se réduirait à un point, et sa projection orthogonale serait une droite passant par ce point et parallèle aux droites qui unissent les deux projections d'un même point. ”

“ Une seule objection peut être faite, c'est que si l'on ne considère pas les courbes comme des sections faites dans un cône, auquel cas on reconnaît que les sommets et les foyers ne peuvent pas être placés entre eux autrement que nous venons de le dire, mais si seulement on examine ces courbes comme tracées sur un plan, on pourrait avoir à considérer une position nouvelle, celle où l'un des foyers serait situé entre les sommets, l'autre foyer étant situé en dehors des sommets. ”

“ Dans la théorie des ombres, cette seconde projection est ce qu'on nomme l'ombre portée du point sur le plan de projection, qui est ordinairement le plan horizontal pour la partie du dessin (ou de l'épure) que l'on nomme le plan géométral et le plan vertical pour les coupes et les élévations.
Une droite est de la même manière définie par sa projection orthogonale et une projection oblique sur le même plan, et un plan par les deux mêmes projections de sa ligne de plus grande pente. Ce que l'on nomme perspective militaire n'est autre chose qu'une projection oblique ”

“ Nous pouvons aussi, en appliquant à l'hyperbole E les mêmes raisonnements que ci-dessus (voy. la note, page 56) , démontrer que le centre de courbure, de l'ellipse � pour son sommet, est précisément le point en lequel son grand axe est coupé par la directrice de l'hyperbole E, cette directrice étant relative au foyer F de cette hyperbole E, c'est-à-dire au foyer de la courbe E, qui est situé dans le plan de cette courbe E, etc.
Construction par points de l'ellipse.
Ce qui précède nous permet de construire par points une ellipse dont on connaît le grand axe et les foyers. ”

“ On sait le calcul différentiel lorsque l'on sait différentier toutes les fonctions connues; on a ensuite les applications du calcul différentiel à telles ou telles questions. De même l'élève sait la géométrie descriptive, lorsque tout ce qui dans cette science est relatif au point, à la droite et au plan lui est connu ; le reste n'est plus que l'application des méthodes de la géométrie descriptive à la solution de telles ou telles questions. ”

“ L'analyse peut aussi être considérée comme une méthode, mais elle n'est pas la seule méthode que l'homme puisse employer à la recherche des vérités géométriques ou mécaniques.
Comme tout ce qui vient de l'homme, Y analyse a ses bornes, ses limites, ses avantages, ses inconvénients; si elle a une grande puissance, elle a aussi sa part de faiblesse ; parfaite en certains points, elle est imparfaite en d'autres. ”

“ Si l'on projette un point de l'espace orthogonalement et obliquement sur un plan, la droite qui unit les deux projections est évidemment la projection orthogonale de la droite qui projette obliquement le point. ”

“ Un système situé sur un plan, ou, comme on le dit, un système plan, peut être regardé comme la projection sur son plan de divers systèmes situés dans l'espace, étant tous du même genre comme étant tous soumis à une certaine et même loi de formation. ”

“ Quand il s'agit : 1° de l'angle de deux plans, ou 2° de l'angle d'une droite et d'un pian, il est souvent préférable de chercher dans le premier problème l'angle de deux normales aux plans donnés, et dans le second problème l'angle de la droite donnée et d'une perpendiculaire au plan donné ; mais ne donner que ce seul mode de solution ne me paraît pas être une bonne chose dans l'enseignement. ”

“ De tout ce qui précède nous pouvons conclure qu'un plan est toujours déterminé par une droite et par un point, tandis que ses traces ne sont pas suffisantes dans un cas particulier, celui où il passe par la ligne de terre. ”

“ Si l'on suppose que le rayon de lumière est incliné à 45° sur le plan horizontal, la projection orthogonale sur ce plan et l'ombre portée sur ce même plan d'un polyèdre situé dans l'espace, suffisent pour fixer la position de ce corps ; et l'on peut très-facilement trouver au moyen de ces deux projections sur un même plan, la hauteur de chacun des sommets du polyèdre au-dessus de ce plan de projection, puisque cette hauteur sera égale à la distance de la projection orthogonale d'un sommet à sa projection oblique. ”

“ Lacroix et Monge ont toujours considéré l'un et l'autre la géométrie descriptive, comme une science dont la méthode fondamentale, celle des projections, était un nouveau moyen d'accroître nos connaissances géométriques, et de plus il l'ont regardée comme un procédé graphique, apte à écrire les propriétés géométriques d'un système à trois dimensions. ”

“ On sait par la Géométrie élémentaire que les angles A, B, C ne peuvent être les trois angles plans d'un angle trièdre qu'autant que leur somme est moindre que quatre angles droits, et que chacun d'eux est plus petit que la somme des deux autres. ”

“ En Angleterre on n'étudie pas la géométrie descriptive comme science ; on ne l'enseigne que dans un petit nombre d'écoles et encore n'y enseigne t-on que les éléments ; c'est une science ignorée de la plupart des ingénieurs et mal connue de ceux qui s'en servent, car, pour eux, elle n'est
pas encore autre chose que l'art des projections. TH. 0.
(**) . Le système de projection, connu sous le nom de Perspective isométrique, a été proposé par M. William Farish, nommé, en 1813, professeur à l'Université de Cambridge (mort en 1837) . ”

“ Une droite indéfiniment prolongée peut n'être pas toute entière contenue dans un seul des angles dièdres formés par les plans de projection ; alors la portion
située dans l'angle dièdre est vue, mais tout ce qui se trouve derrière le plan vertical ou au-dessous du plan horizontal est caché par l'un de ces plans; on exprime cela sur la figure par la manière d'écrire les projections de ces portions de la droite. ”

“ Il existe toujours, pour une machine donnée en position, un plan vertical qui est parallèle à un grand nombre de pièces horizontales et verticales, et c'est ce plan que l'on peut prendre dans la projection militaire pour plan (Z, X) de projection.
La plupart des roues dentées qui existent dans une machine ont ordinairement leur plan soit horizontal, soit vertical, et pour les unes et les autres, perpendiculaire au plan (Z, X) . ”

“ PROBLÈME 37. Trouver la plus courte distance d'un point à un plan. 1° Cette distance est mesurée par une perpendiculaire N, abaissée du point donné m sur le plan donné P ; or, les projections Nh et Nv sont respectivement perpendiculaires à IIP et à Vp (n° 81) ; elles sont donc connues. Cherchant l'intersection x de la normale N et du plan P (n° 119) , la portion mx de cette droite exprimera la distance demandée. On exécutera facilement la figure. ”