Théodore Olivier

“ Les mécaniciens doivent, de toute nécessité, savoir la géométrie descriptive; au reste c'est la pensée de M. PONCELET, qui a dit très-souvent qu'il préférait employer la géométrie, au lieu de l'analyse, dans les démonstrations des principes de la mécanique, parce qu'on était conduit tout naturellement à des tracés graphiques que l'on pouvait immédiatement utiliser dans la construction des machines ; car il est de toute évidence qu'on ne peut pas construire une machine sans en avoir fait l'épure. ”

“ Une seule objection peut être faite, c'est que si l'on ne considère pas les courbes comme des sections faites dans un cône, auquel cas on reconnaît que les sommets et les foyers ne peuvent pas être placés entre eux autrement que nous venons de le dire, mais si seulement on examine ces courbes comme tracées sur un plan, on pourrait avoir à considérer une position nouvelle, celle où l'un des foyers serait situé entre les sommets, l'autre foyer étant situé en dehors des sommets. ”

“ Nous pouvons aussi, en appliquant à l'hyperbole E les mêmes raisonnements que ci-dessus (voy. la note, page 56) , démontrer que le centre de courbure, de l'ellipse � pour son sommet, est précisément le point en lequel son grand axe est coupé par la directrice de l'hyperbole E, cette directrice étant relative au foyer F de cette hyperbole E, c'est-à-dire au foyer de la courbe E, qui est situé dans le plan de cette courbe E, etc.
Construction par points de l'ellipse.
Ce qui précède nous permet de construire par points une ellipse dont on connaît le grand axe et les foyers. ”

“ En nous servant, ainsi que nous venons de le faire, d'une surface simple ( une surface développable) pour démontrer l'existence d'un théorème pour une surface générale, nous avons employé une méthode très-familière à la géométrie descriptive et qui est très-féconde. ”

“ Si la courbe Ch ou ev a un nœud ou un point de rebroussement, la courbe C" ou Ch n'ayant ni nœud, ni point de rebroussement, nous pouvons affirmer que la courbe C est à double courbure.
(*) Je crois que l'on peut dire, sans être trop sévère , que M. Chasles n'a pas réfléchi en écrivant dans son discours d'ouverture la phrase suivante : la géométrie descriptive. ne saurait indiquer, mathématiquement parlant, si cette courbe (courbe intersection de deux surfaces ) est plane ou à double courbure. ”

“ On en trouve un exemple remarquable dans la construction par points de la courbe de contact d'un cône ou d'un cylindre avec une surface de révolution quelconque 2. Alors, pour chaque parallèle de la surface de révolution 2, on remplace cette surface de révolution 2 par un cône A (surface développable la plus simple) ou par une sphère S (surface de révolution la plus simple) , ces surfaces A ou S étant tangentes à cette surface de révolution 2 tout le long d'un parallèle. ”

“ Et dès lors comment des géomètres peuvent-ils se prononcer sur la géométrie descriptive, et sans craindre d'errer, lorsqu'ils en connaissent seulement les premiers éléments !
Une pratique constante peut seule nous faire découvrir toutes les ressources scientifiques que possède la géométrie descriptive. ”

“ Lorsque l'on coupe un cône de révolution 2 par un plan de manière à obtenir une section elliptique E, on ne peut couper ce cône 2 par un plan perpendiculaire à son axe de rotation suivant un cercle tangent à l'ellipse E que de deux manières différentes; les deux plans sécants (évidemment parallèles entre eux) passeront par les extrémités du grand axe de l'ellipse E ”

“ Mais, quoi qu'on en dise, on reviendra par la force de la vérité à reconnaître que l'analyse n'est qu'un outil de recherche ; mais bien plus, c'est une langue au moyen de laquelle l'idée que l'on conçoit devient saisissable par l'intelligence de ceux qui nous entourent, de telle manière qu'ils conçoivent l'idée d'autrui, comme s'ils l'avaient eux-mêmes conçue les premiers. ”

“ L'analyse peut aussi être considérée comme une méthode, mais elle n'est pas la seule méthode que l'homme puisse employer à la recherche des vérités géométriques ou mécaniques.
Comme tout ce qui vient de l'homme, Y analyse a ses bornes, ses limites, ses avantages, ses inconvénients; si elle a une grande puissance, elle a aussi sa part de faiblesse ; parfaite en certains points, elle est imparfaite en d'autres. ”

“ Sur le terrain, l'on doit fixer les points au moyen de jalonnements et de longueurs métriques portées, dans une direction rectiligne donnée, au moyen de la chaîne d'arpenteur.
Voyons donc comment nous pouvons nous dispenser de tracer sur le terrain le cercle g, -et tracer cependant la direction de sa tangente émanant du foyer f de l'ellipse à construire par points. ”

“ L'existence d'un foyer étant démontrée pour la parabole, nous pourrons: 1" (fig. 27) du foyer f comme centre et avec fa pour rayon décrire un cercle D; 20 couper le cylindre vertical 1 ayant la parabole A pour section droite par un plan P ayant la tangente 0, menée au sommet a de la courbe, pour trace horizontale HP; nous prendrons le plan vertical de projection parallèle à l'axe infini X de la parabole. ”

“ Lorsqu'on emploie l'analyse à la recherche des propriétés géométriques, on ne fait pas autre chose pour mettre le problème en équation que d'écrire les équations des lignes qui sont les projections sur trois plans des lignes situées dans l'espace. ”

“ Et en effet : en unissant les points a et d par une droite et faisant glisser le cône D parallèlement à lui-même jusqu'en la position D', position en laquelle le sommet d sera venu se superposer sur le sommet a, ce cône D' sera coupé par le plan du cercle C, suivant un cercle C'; et il est évident que l'on pourra toujours choisir sur la conique E , le point d de telle manière que les deux cercles C et Cne se coupent pas ou ne se touchent pas, en un mot n'aient entre eux aucun point commun ; et l'on sait que dans ce cas les deux cônes A et D se coupent toujours suivant une ellipse. ”

“ Sans doute alors nous pouvons dire qu'en nous servant de l'analyse, il n'y aura pas de problèmes que nous ne puissions un jour parvenir à résoudre ; mais pour être dans la vérité, il faut ajouter qu'aujourd'hui l'analyse est encore trop imparfaite pour résoudre tous les problèmes. ”

“ Et lorsque je dis : les algébristes et les géomètres qui ne sont pas mécaniciens, j'entends parler des savants qui s'occupent de mécanique générale et de mécanique céleste ou d'astronomie, désignant par mécaniciens ceux qui s'occupent de la théorie des machines. Ces derniers ne peuvent ignorer la construction et les formes géométriques des diverses parties des machines dont ils s'occupent ; ils ne peuvent ignorer la nature et la résistance des matériaux employés ; ils ne peuvent être étrangers aux ateliers et aux outils; en un mot', ils doivent être ingénieurs. ”

“ Si par le point y et la droite xx' ou D'on fait passer un plan Q', il coupera la sphère S suivant un petit cercle A, qui sera le cercle de contact d'un cône 2 et de la sphère S, et ce cône 2 aura son sommet situé en un point m de la droite D (ainsi que nous l'apprend le corollaire ci-dessus) . De plus, il est évident que la génératrice ny sera tangente en y au cercle A ; et comme le cône 2 est de révolution , il s'ensuit que la génératrice ny du cône il sera perpendiculaire à la génératrice my du cône 2. ”

“ Si l'on trace le cercle à en entier, on pourra mener par le point a une corde qui fasse avec ad, mais en dessous, le même angle ce que la corde aa' fait avec ad, mais en dessus., et il est évident que l'on trouvera deux points 80 et s0' qui seront situés par rapport à la droite ad ou xy en ordre inverse, mais symétriquement par rapport à cette droite xy avec les points s et s'; la courbe lieu des points s et s'est donc symétrique par rapport à la droite ad ou xy; elle passe par les foyers F et F' de l'ellipse ”

“ Chaque plan X, coupe la surface 2
suivant une courbe 6 et la surface 2' suivant une courbe S'. Les projections èh et G", de ces courbes se coupent en des points x\ qui appartiennent à la projection CI de la courbe cherchée C.
On voit donc que cela revient à donner à z dans les équations (1 ) et (2) , une certaine valeur y ; alors les équations :
et
(3) (4)
seront respectivement les équations des courbes 6' et g'\ et ces deux équations (3) et (4) nous conduiront à déterminer les coordonnées x et y de chacun des points Xh, intersection des courbes 6* et glh. ”

“ Ainsi, ces courbes C et E étant deux hyperboles, ou deux paraboles, ou une hyperbole et une parabole, ne pourront pas être placées sur un cône, si les sommets des branches en contact par le point m ont leurs sommets situés l'un à droite et l'autre à gauche du plan normal mené à la tangente 0 par le point m, comme l'indiquent lesfigùres IVI,%V et VI.
Car l'on sait à priori qu'il est impossible de couper un cône par deux plans de manière à avoir des coniques ainsi disposées l'une par rapport à l'autre ”

“ On voit donc que la géométrie l'emporte, pour la solution d'un tel problème , sur l'ancilyse, puisque la géométrie descriptive peut le résoudre, quelles que soient les courbes CAet Cu, et que l'analyse est encore imparfaite, à ce point que nous concevons que pour certaines fonctions Z et cp l'élimination ne pourrait s'effectuer dans l'état actuel de nos connaissances algébriques.
Sans doute nous comprenons que la langue analytique ira toujours en se perfectionnant et qu'elle est susceptible d'un perfectionnement indéfini. ”

“ Reprenons l'ancienne fig. 10 ou 12; nous construirons la fig. 34, dans laquelle l'ellipse donnée E, située sur un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection , sera projetée horizontalement en l'ellipse A ou E71 ; en sorte que la courbe A sera la projection orthogonale de la courbe E.
Nous pouvons déterminer les foyers/ etf' de la courbe A et construire dès lors les cônes de révolution S et S' qui enveloppent la courbe E avec les cercles D et C' (nous n'avons représenté sur la fig. 34 que le cône S) . ”