Hippolyte-Guillaume Lemonnier

“ Les lignes de cotirbure de la surface seront ces génératrices et leurs trajectoires orthogonales. La ligne de contact sur la sphère est l'une de celles-ci, les autres du même système seront sur des sphères concentriques, parce que les portions de génératrices interceptées entre la première et chacune d'elles seront égales. On peut encore déduire le même fait de ce que la surface est le lieu d'une droite située dans un plan qui roule sur un cône
x ayant l'origine pour sommet, et n'est ainsi qu'un cas particulier de la surface obtenue dans le cas précédent. ”

“ Qu'on fasse rouler sur la surface polaire d'une ligne à double courbure un plan normal à cette ligne, si l'on considère dans une position particulière du plan une normale à la ligne, la droite, en se mouvant avec le plan, décrira une surface développable ayant son arête de rebroussement sur la surface polaire, et cette arête sera une développée de la ligne. ”

“ Quand la directrice du centre est une conique, on reconnait que les plans des intersections successives de la sphère passent par une même droite, si la première droite fixe est perpendiculaire à l'axe focal de la conique, et que le rapport du rayon de la sphère à la distance de son centre et de cette droite soit l'excentricité de la conique. Les lignes de courbure sont alors toutes des cercles; la surface est une surface cyclique. - ”

“ Celles du second étant les positions mêmes de la ligne mobile, il faut que la ligne soit ici un cercle, pour qu'elles soient sphériques. La surface est donc le lieu d'un cercle dont le plan roule sur un cylindre, c'est en conséquence une surface canal, enveloppe d'une sphère d'un rayon fixé, quand le centre parcourt une ligne plane quelconque.
Dans les équations (2) , 0 et p se présentent comme des fonctions arbitraires de α, tandis que l'intégration des équations (3) ne peut donner lieu qu'à une seule fonction arbitraire. Nous pouvons en conséquence disposer de 0. ”

“ Quand on a obtenu une racine de l'équation en K, et qu'on a résolu en facteurs du premier degré la valeur correspondante de l'expression u + KH, il n'y a plus que des équations du premier degré à résoudre pour déterminer tous les points et les axes d'inflexion.
Soient a, P, y les facteurs de M + KH, pour une valeur connue de K. Si m, n, p, q désignent des constantes convenables, on aura identiquement
par conséquent,
En égalant les coefficients des termes semblables en x et en y, on aura des équations du premier degré pour déterminer m2, n3, p3, hmnp, q. ”

“ Si les trois points d'inflexion l, l', I" situés sur l'axe A sont réels, les trois points I1, I'1, 1",, d'après les équations qui les déterminent, sont imaginaires, et les trois points I2, I'2, I"2 leur sont conjugués.
Le cas singulier qui nous occupe n'étant, après tout, qu'un cas limite du cas général, il s'y trouve au moins trois points d'inflexion réels. On vient de voir qu'il n'y en a pas davantage. Donc dans ce cas les points d'inflexion réels sont également au nombre de trois, et les points imaginaires conjugués deux à deux au nombre de six. ”

“ Il s'ensuivra
ce qui sera une identité; sans quoi, le lieu étant donné par cette nouvelle équation, la droite a = 0 n'en serait plus une tangente en un point d'inflexion. Il faut en conséquence que P soit le produit de a' par un autre facteur a" du premier degré. L'équation sera alors de la forme
de sorte que le point (a" = 0, (3 = 0) sera lui-même un point d'inflexion.
Donc la droite qui joint deux points d'inflexion d'une ligne du 3e degré passe par un troisième point d'inflexion.
Nous donnerons à une pareille droite le nom d'axe d'inflexion. ”

“ Si l'on mène par la droite H, qui sera alors fixée, un plan infiniment voisin du plan du premier cercle obtenu, et qu'on prenne le cône circonscrit à la sphère suivant ce cercle, l'intersection d'un plan tangent au cylindre donné parallèle à ce plan avec l'hélicoïde parallèle au cône passant par la ligne donnée, ayant ses génératrices normales à cette ligne, sera une seconde ligne de courbure du premier système, et le cercle correspondant sur la sphère sera connu. ”

“ Il en est de même pour ce qui regarde les points I,, I2, et toutes celles qui se rapportent aux axes d'inflexion imaginaires. Parmi les 108 droites du premier genre, il y en a donc 9 + 3 X 3 = 18 qui sont réelles ; il en reste 90 à être imaginaires.
Dans les 81 droites du second genre, les axes harmoniques relatifs aux points I, I1, 12 sont réels, les six autres axes harmoniques sont imaginaires. Les points S qui correspondent à l'axe II1I2 ne donnent lieu qu'à des droites réelles au nombre de 18, en ne comptant pas les axes harmoniques. ”

“ Voyons s'il est possible qu'un seul point d'inflexion 1 soit réel. S'il en est ainsi, l'axe de deux points imaginaires conjugués étant réel, il y aura quatre axes réels provenant des quatre couples de points conjugués; chacun d'eux contenant un troisième point réel, ils concourront en I, ils seront les quatre axes partant de ce point, à savoir HT, II, I2, II2'I2", II2'I1". Quant aux autres axes, ils seront tous imaginaires ”

“ L'équation A3 + B3 + C3 — 3 ABC=0 d'un second système sera réelle, elle proviendra d'une seconde valeur de K réelle. Mais cette équation se subdivise en les trois équations
qui sont ici réelles. La valeur de K dont il s'agit donne lieu en conséquence à trois facteurs réels.
Les équations des deux autres systèmes
sont imaginaires et conjuguées l'une de l'autre. ”

“ Si l'on fait
la surface est déterminée par les équations
Comme la première est celle d'un plan, ce plan est le plan tangent au point (α, , V dV Od 1 Les deux équations V = 0, — 0, déterminent la tangente à une ligne du premier système ; l'élimination de p entre ces équations donnera celle du cylindre circonscrit à la surface suivant une ligne du second système.
Les deux équations V = 0, = 0, déterminent la tangente à une ligne du
second système ”

“ Sur ces trois points d'inflexion, l'un au moins, 1 par exemple, est réel, de sorte que A et y sont à considérer comme des fonctions réelles. Pour que l'équation u = 0 soit réelle, il faut donc que B'le soit, ce qui donne soitB réel, soit B = B, √B-1, B étant réel. ”

“ Soit donné l'axe oz, lieu des centres des sphères. Soit connu sur cet axe le point 0, sommet des cônes qu'enveloppent les plans des lignes de courbure planes; et soit donné le cône, ainsi qu'une ligne dans l'un de ses plans tangents comme première ligne de courbure plane. Soit d'ailleurs assignée la constante m. 1 Considérons une sphère de rayon r, prenons sur une parallèle à oz menée par son centre un point dont la distance à ce centre soit — mr, et imaginons un cône homothétique au cône donné qui ait ce point pour sommet. ”

“ ZD Soient a=0, β = 0 les équations de deux droites distinctes qui se coupent, réelles ou imaginaires. Les coordonnées x et y pourront s'estimer en fonction de a et de β, et toute fonction u entière en x et en y pourra se transformer en une fonction entière du même degré de a et de P. Soit considérée sous cette forme l'équation d'une courbe algébrique d'ordre quelconque; on aura
Si le point (a = 0, β = 0) appartient à la courbe, le terme a, sera nu) , et la tangente en ce point sera donnée par
quand bo et b, ne seront pas nuls à la fois. ”

“ GÉNÉRALISATION DU LEMME QUI PRÉCÈDE. — Si p + 2 systèmes d'équations du premier degré an + p inconnues présentent n équations communes et p équations différentes ayant chacune une solution et une seule, les valeurs des inconnues pour l'un de ces systèmes seront chacune la somme des valeurs des inconnues correspondantes relatives aux autres systèmes respectivement multipliées par les mêmes constantes, pourvu que les derniers systèmes ne soient pas eux-mêmes tels que les inconnues relatives a l'un puissent s'exprimer d'une façon analogue par les inconnues relatives aux p autres systèmes. ”

“ Dans son traité des courbes planes, page 182, § 196 et 197, Salmon donne les valeurs des coefficients de H en fonction des coefficients de u; elles en sont des fonctions du 3" degré. Les équations de condition dont il s'agit, qui s'en-
suivent, sont réductibles à trois. ”

“ Le premier membre est donc la différentielle complète d'une fonction de a et de z.
Cette fonction est
Il est aisé de le vérifier.
On trouve d'ailleurs pour l'intégrale du second terme du second membre
De là pour l'intégrale de l'équation différentielle (6) ,
(7)
supposé m2 < 1, K désignant une fonction de y.
44. L'expression de V, s'obtient assez péniblement en procédant par les voies
régulières. Le procédé suivant est, je crois, des plus simples. ”