Hippolyte-Guillaume Lemonnier

“ Ainsi se trouvent établis avec plus de simplicité et de précision qu'on ne l'a fait jusqu'ici, et toute généralité les deux théorèmes qui sont le point de départ de toute théorie relative aux lignes et aux surfaces algébriques. ”

“ Sur les 108 droites qui portent chacune un point d'inflexion et deux points Steiner, il en passe par chacun de ces derniers points un nombre égal à
ce qu'on peut trouver autrement. Car si le point S provient du point!, et qu'on considère l'axe 1 Il I2, il passe en S deux droites aboutissant en J1 et en I, ; et comme il y a quatre axes d'inflexion partant du point I, il s'ensuit 2x4 = 8 droites contenant le point S, un autre point Steiner et un point d'inflexion. ”

“ A chacun des autres points d'inflexion l', I" il ne correspond de même qu'un seul point Steiner. Si ces points 11, I" sont réels, les deux points correspondants le seront aussi. Si l' et 1" sont imaginaires, leurs axes harmoniques doivent être imaginaires conjugués, concourant en 0, et les deux points S correspondants également imaginaires et conjugués. Ce sont des faits faciles à vérifier.
L'axe harmonique relatif au point l' a pour équation
il est imaginaire si B est réel, c'est-à-dire si l' n'est pas réel; il est réel dans le cas contraire. ”

“ Il passe en S deux droites contenant chacune l'un des points S' et l'un des points S". Comme les points S'et S" que porte chacune ne sont pas conjugués, ces droites seront imaginaires,et elles seront conjuguées. Il en sera de même des droites relatives à l'axe d'inflexion qui nous occupe passant en S' et en S2.
Soit considéré maintenant l'un des axes imaginaires qui passent en 1, par exemple l'axe I I׳1,Iʺ2 ayant pour équation
Le point 1'1 est donné parB=0,C + A j= 0, le point I"2 par C = 0, B + Aj = 0 ”

“ Si les trois points d'inflexion réels sont I, 1,, I2, les droites A, B, C, ainsi que la droite A+B+C sont réelles, et ces quatre axes d'inflexion sont les seulsqui soient réels. Il en résulte que les points Q,, Q,, Q3 du premier système sont réels, ainsi que le point Q\ du second ”

“ Soient a=0, β = 0 les équations de deux droites distinctes qui se coupent, réelles ou imaginaires. Les coordonnées x et y pourront s'estimer en fonction de a et de P, et toute fonction u entière en x et en y pourra se transformer en une fonction entière du même degré de a et de P. Soit considérée sous cette forme l'équation d'une courbe algébrique d'ordre quelconque; on aura
Si le point (a = 0, (β = 0) appartient à la courbe, le terme ao sera nul, et la tangente en ce point sera donnée par
quand bo et b, ne seront pas nuls à la fois. ”

“ Il en est de même pour ce qui regarde les points I,, I2, et toutes celles qui se rapportent aux axes d'inflexion imaginaires. Parmi les 108 droites du premier genre, il y en a donc 9 + 3 X 3 = 18 qui sont réelles ; il en reste 90 à être imaginaires. ”

“ Des valeurs déterminées en résulteront pour ces quantités, à la condition d'avoir,
ce qui revient à n'avoir pas à la fois
j' variant de 1 à p, et
Cette condition remplie, on aura donc
pour toutes valeurs de m depuis i jusqu'à n + Pt et les constantes seront telles qu'on aura
La condition requise est, d'après cela, que les p + i premiers systèmes d'équations ne soient pas eux-mêmes tels que les valeurs des inconnues pour l'un d'eux s'obtiennent en ajoutant les produits par des constantes des valeurs des inconnues correspondantes dans les autres. ”

“ Les points S, S', S2 sont donc donnés par
donc par
l'axe harmonique de I' étant
on a pour les points S', S", S'2,
Pour le point 1", l'axe harmonique ayant pour équation ap — = 0, on a les points S", Sʺ1, S"2 par
On voit par là que les points I, If, l" étant réels, il ne correspond à chacun d'eux qu'un point Steiner réel.
Sur les 27 points Steiner, il s'en trouve donc 3 de réels, et 24 d'imaginaires.
Remarquons que les 3 droites
contiennent : la 1" les points S' et S", la 2e les points S" et S"1, la 3e les points S'2 et S"2 et passent en 1; la première est seule réelle. ”