Joseph Diez Gergonne

“ Presque tous ont supposé que l’on connaissait déjà les conditions de l’équilibre entre des puissances situées dans un même plan : conditions qu’ils ont au reste, pour la plupart, déterminées d’une manière assez laborieuse. ”

“ Je dois ajouter enfin que, parmi les méthodes employées jusqu’ici pour parvenir aux conditions de l’équilibre, plusieurs ne font que masquer la difficulté qui naît de l’existence possible des puissances égales et parallèles, agissant en sens contraire, sans être directement opposées, et que d’autres se bornent presque uniquement à montrer que les conditions auxquelles elles conduisent assurent l’équilibre, ou sont une suite de son existence, sans faire voir nettement que ces conditions sont à la fois nécessaires et suffisantes ”

“ Je dis, enfin, qu’aucun des facteurs binômes de l’une ou de l’autre série ne peut être affecté d’un exposant entier et positif, différent de l’unité. On peut remarquer, en effet, que chacune de ces séries est, au signe près, la fonction dérivée de l’autre ; si donc un des facteurs binômes de l’une d’elles s’y trouvait élevé à une puissance entière. et positive , plus grande que l’unité, on en conclurait, par la théorie connue des racines égales, que ce même facteur devrait aussi se trouver dans l’autre, et s’y trouver à la puissance ”

“ Loin qu’il soit évident de soi-même que deux puissances égales et parallèles, agissant dans le même sens, ne sont pas équivalentes, et ne peuvent conséquemment être substituées l’une à l’autre, il serait, au contraire, facile de prouver, par un raisonnement très-spécieux, qu’une puissance peut être transportée en un point quelconque parallèlement à elle-même. ”

“ Elle ne repose d’ailleurs que sur cet unique axiome de Statique, savoir : que, pour qu’un système soit en équilibre, il est nécessaire et suffisant qu’en y introduisant des puissances arbitraires de nature à avoir à elles seules une résultante effective, le système ainsi modifié ait aussi une résultante effective qui soit identique avec celle des puissances arbitrairement introduites. ”

“ On ne saurait même douter qu’il n’en dût être ainsi, pour une force unique appliquée à un corps dépouillé de masse, du moines tant que ce corps serait parfaitement libre, mais non point pour plusieurs forces ; puisqu’alors l’effet que chacune d’elles tendait à produire se trouverait contrarié par l’action des autres ; et, s’il n’en est pas ainsi, dans la nature, pour une force unique, appliquée à un corps parfaitement libre, c’est seulement parce que la masse de ce corps donne naissance à une force d’inertie qui contrarie l’action de celle qui lui est appliquée. ”

“ On peut donc dire, d’après cela que, pour qu’il y ait équilibre, dans un système de forme invariable, absolument libre dans l’espace, il est nécessaire et suffisant que les deux puissances auxquelles il peut toujours être réduit, soient égales et directement opposées. ”

“ On intègre ordinairement cette équation, en rendant ses deux membres, par des transformations, des différentielles exactes ; on obtient ainsi pour l’équation primitive de la courbe :
[1] . Cette équation, bien qu’assez simple, est d’une forme assez peu symétrique, tandis que, par une autre voie que je vais indiquer, on peut en obtenir une qui me paraît beaucoup plus élégante, et qui, pour cette raison, serait peut-être plus propre à mettre en évidence la nature et les propriétés de la courbe funiculaire. ”

“ L’analise offre pour cela divers moyens dont les principaux et les plus parfaits sont : 1.o les séries dont les termes, alternativement positifs et négatifs, convergent de telle manière que chacun d’eux est, à lui seul ; plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent ; 2.o les fractions continues dont les fractions intégrantes, toutes positives, sont moindres que l’unité, 3.o enfin les produits indéfinis dont les facteurs alternativement plus grands et plus petits que l’unité, tendent sans cesse vers cette limite commune. ”

“ Quoique le procédé que nous venons d’employer, pour parvenir au but, ne laisse rien à désirer du côté de la brièveté, on pourrait lui reprocher d’être basé sur la considération des quantités infiniment petites ; mais on peut le présenter sous une forme analogue à celle que l’illustre auteur de la Théorie des fonctions analitiques [2] a indiquée pour le changement de la variable indépendante, dans les fonctions d’une seule variable ; ne reposant alors que sur la série de Tailor, il pourra être traduit dans toutes les notations. ”

“ II. Soit décomposé chaque force, au point où elle rencontre ce plan, en deux autres, dont l’une y soit contenue et dont l’autre lui soit perpendiculaire. Par ce procédé, tout le système se trouvera réduit à deux groupes de forces dont les unes seront dans un même plan, tandis que les autres seront perpendiculaires à ce plan, et conséquemment parallèles entre elles,
III. Les puissances de cette dernière sorte pourront toujours, comme l’on sait, être réduites à deux au plus lesquelles, étant parallèles entre elles et aux composantes, seront dans un même plan perpendiculaire au premier. ”

“ À plus forte raison la chose cesse-t-elle d’être claire d’elle-même, si l’on admet de plus grands facteurs et en plus grand nombre, et elle le devient encore moins, si l’on prend des facteurs fractionnaires ou irrationnels. ”

“ Il est une vérité d’un ordre plus élevé, qui a beaucoup d’analogie avec celle-là, et qui peut être démontrée par le même tour de raisonnement ; je veux parler de l’identité entre les résultats auxquels on parvient, dans la différentiation des fonctions de plusieurs variables, en intervertissant d’une manière quelconque l’ordre des différentiations successives : identité qui, pendant long-temps, a aussi été admise sans être prouvée ”

“ S’il est impossible de traiter de ces divers instrumens d’approximation, dans les ouvrages consacrés à l’enseignement élémentaire, avec toute l’étendue que peuvent comporter leur nature et leur importance, il semble du moins convenable et utile de donner, dans ces sortes d’ouvrages, quelques notions sur chacun d’eux et sur le parti qu’on peut en obtenir. ”

“ Quelques géomètres, pour parvenir au but, ont eu recours à des figures sur lesquelles ils ont exécuté des constructions ; mais, outre que cette manière de procéder rend les méthodes compliquées, embarrassantes à suivre et difficiles à retenir, les résultats auxquels elles conduisent ne sauraient pleinement satisfaire l’esprit, parce qu’ils semblent toujours dépendre de l’hypothèse particulière de laquelle on les a déduits. ”

“ Il n’est pas exact, en général, d’appliquer des formules à un cas pour lequel elles n’ont pas été construites, et le problème, si connu, des deux lumières, montre qu’une pareille application peut souvent conduire à des conséquences absurdes. ”

“ En considérant d’abord comme fonction de et , les équations et donneront
considérant ensuite comme fonctions de et on déduira des équations et
Alors, si entre les dix équations
, on élimine et et en outre cinq des neuf fonctions
les quatre autres disparaîtront d’elles-mêmes, et les valeurs de tirées des trois équations finales seront les mêmes que ci-dessus.
Le cas le plus simple que puisse présenter le problème général que nous venons de résoudre, est celui où l’on veut passer de l’hypothèse où est fonction de et à celle où, par exemple, est fonction de et ”

“ Soit, en second lieu, un parallélipipède rectangle dont on ait divisé les trois arêtes d’un même angle en plusieurs parties ; que l’on conçoive, par les points de division de chacune, des plans parallèles à la face qui contient les deux autres, ces plans diviseront le parallélipipède total en parallélipipèdes partiels dont le nombre sera le produit du nombre de ceux qui reposeront sur la base ou, ce qui revient au même, du nombre des rectangles compris dans cette base, par le nombre des divisions de la hauteur ”