Hippolyte-Guillaume Lemonnier

“ DU NOMBRE DES AXES D'INFLEXION ET DE LEUR DISPOSITION.
2. Les points d'inflexion étant au nombre de 9, trois par trois sur un axe, on aura les axes qui passent par chacun d'eux, en les joignant à chacun des huit autres, et tous les axes en opérant ainsi sur tous les points tour à tour. Mais en joignant un point aux huit autres on tracera deux fois les axes qui y passent ; donc, les axes qui rayonnent de chaque point sont au nombre de quatre. En
considérant tour à tour les axes qui émanent des neuf points, on aura 36 droites, - mais chacune reproduite trois fois. ”

“ Qu'on fasse rouler sur la surface polaire d'une ligne à double courbure un plan normal à cette ligne, si l'on considère dans une position particulière du plan une normale à la ligne, la droite, en se mouvant avec le plan, décrira une surface développable ayant son arête de rebroussement sur la surface polaire, et cette arête sera une développée de la ligne. ”

“ Les lignes de cotirbure de la surface seront ces génératrices et leurs trajectoires orthogonales. La ligne de contact sur la sphère est l'une de celles-ci, les autres du même système seront sur des sphères concentriques, parce que les portions de génératrices interceptées entre la première et chacune d'elles seront égales. On peut encore déduire le même fait de ce que la surface est le lieu d'une droite située dans un plan qui roule sur un cône
x ayant l'origine pour sommet, et n'est ainsi qu'un cas particulier de la surface obtenue dans le cas précédent. ”

“ Les deux autres valeurs de K ne pourront être qu'imaginaires, et comme elles seront conjuguées, les facteurs répondant à l'une seront conjugués des facteurs qui correspondent à l'autre.
Il est donc établi que sur les douze axes d'inflexion, il n'y en a pas plus de quatre qui soient réels, si ceux d'un même système peuvent être réels à la fois. Nous pouvons en conclure qu'il y a au moins six points d'inflexion imaginaires. ”

“ Quand la directrice du centre est une conique, on reconnait que les plans des intersections successives de la sphère passent par une même droite, si la première droite fixe est perpendiculaire à l'axe focal de la conique, et que le rapport du rayon de la sphère à la distance de son centre et de cette droite soit l'excentricité de la conique. Les lignes de courbure sont alors toutes des cercles; la surface est une surface cyclique. - ”

“ Quand on a obtenu une racine de l'équation en K, et qu'on a résolu en facteurs du premier degré la valeur correspondante de l'expression u + KH, il n'y a plus que des équations du premier degré à résoudre pour déterminer tous les points et les axes d'inflexion.
Soient a, P, y les facteurs de M + KH, pour une valeur connue de K. Si m, n, p, q désignent des constantes convenables, on aura identiquement
par conséquent,
En égalant les coefficients des termes semblables en x et en y, on aura des équations du premier degré pour déterminer m2, n3, p3, hmnp, q. ”

“ Celles du second étant les positions mêmes de la ligne mobile, il faut que la ligne soit ici un cercle, pour qu'elles soient sphériques. La surface est donc le lieu d'un cercle dont le plan roule sur un cylindre, c'est en conséquence une surface canal, enveloppe d'une sphère d'un rayon fixé, quand le centre parcourt une ligne plane quelconque.
Dans les équations (2) , 0 et p se présentent comme des fonctions arbitraires de α, tandis que l'intégration des équations (3) ne peut donner lieu qu'à une seule fonction arbitraire. Nous pouvons en conséquence disposer de 0. ”

“ Ainsi se trouvent établis avec plus de simplicité et de précision qu'on ne l'a fait jusqu'ici, et toute généralité les deux théorèmes qui sont le point de départ de toute théorie relative aux lignes et aux surfaces algébriques. ”

“ Il s'ensuivra
ce qui sera une identité; sans quoi, le lieu étant donné par cette nouvelle équation, la droite a = 0 n'en serait plus une tangente en un point d'inflexion. Il faut en conséquence que P soit le produit de a' par un autre facteur a" du premier degré. L'équation sera alors de la forme
de sorte que le point (a" = 0, (3 = 0) sera lui-même un point d'inflexion.
Donc la droite qui joint deux points d'inflexion d'une ligne du 3e degré passe par un troisième point d'inflexion.
Nous donnerons à une pareille droite le nom d'axe d'inflexion. ”

“ Soient a=0, β = 0 les équations de deux droites distinctes qui se coupent, réelles ou imaginaires. Les coordonnées x et y pourront s'estimer en fonction de a et de P, et toute fonction u entière en x et en y pourra se transformer en une fonction entière du même degré de a et de P. Soit considérée sous cette forme l'équation d'une courbe algébrique d'ordre quelconque; on aura
Si le point (a = 0, (β = 0) appartient à la courbe, le terme ao sera nul, et la tangente en ce point sera donnée par
quand bo et b, ne seront pas nuls à la fois. ”

“ Si l'on mène par la droite H, qui sera alors fixée, un plan infiniment voisin du plan du premier cercle obtenu, et qu'on prenne le cône circonscrit à la sphère suivant ce cercle, l'intersection d'un plan tangent au cylindre donné parallèle à ce plan avec l'hélicoïde parallèle au cône passant par la ligne donnée, ayant ses génératrices normales à cette ligne, sera une seconde ligne de courbure du premier système, et le cercle correspondant sur la sphère sera connu. ”

“ Si l'on fait
la surface est déterminée par les équations
Comme la première est celle d'un plan, ce plan est le plan tangent au point (α, , V dV Od 1 Les deux équations V = 0, — 0, déterminent la tangente à une ligne du premier système ; l'élimination de p entre ces équations donnera celle du cylindre circonscrit à la surface suivant une ligne du second système.
Les deux équations V = 0, = 0, déterminent la tangente à une ligne du
second système ”

“ Voyons s'il est possible qu'un seul point d'inflexion 1 soit réel. S'il en est ainsi, l'axe de deux points imaginaires conjugués étant réel, il y aura quatre axes réels provenant des quatre couples de points conjugués; chacun d'eux contenant un troisième point réel, ils concourront en I, ils seront les quatre axes partant de ce point, à savoir HT, II, I2, II2'I2", II2'I1". Quant aux autres axes, ils seront tous imaginaires ”

“ Sur ces trois points d'inflexion, l'un au moins, 1 par exemple, est réel, de sorte que A et y sont à considérer comme des fonctions réelles. Pour que l'équation u = 0 soit réelle, il faut donc que B'le soit, ce qui donne soitB réel, soit B = B, √B-1, B étant réel. ”

“ Soit donné l'axe oz, lieu des centres des sphères. Soit connu sur cet axe le point 0, sommet des cônes qu'enveloppent les plans des lignes de courbure planes; et soit donné le cône, ainsi qu'une ligne dans l'un de ses plans tangents comme première ligne de courbure plane. Soit d'ailleurs assignée la constante m. 1 Considérons une sphère de rayon r, prenons sur une parallèle à oz menée par son centre un point dont la distance à ce centre soit — mr, et imaginons un cône homothétique au cône donné qui ait ce point pour sommet. ”