A. Borgnet

“ La loi de la nature est donc la seule dans laquelle une couche sphérique n'aura aucune action sur les points placés à son intérieur, et la seule aussi dans laquelle une couche attire les points extérieurs y comme si toute sa masse était réunie à son centre. ”

“ En considérant que les satellites se meuvent autour de leurs planètes, à fort peu près comme si ces planètes étaient immobiles , Newton reconnut que tous ces corps obéissent à la même pesanteur vers le Soleil. Il conclut de l'égalité de l'action à la réaction, que le Soleil pèse vers les planètes, et celles-ci vers leurs satellites; et même que la Terre est attirée par tous les corps qui pèsent sur elle. ”

“ Si le corps attirant est un ellipsoïde et que le corps attiré lui soit intérieur, une seconde intégration s'effectue encore aisément, et les trois composantes de l'attraction sont exprimées par des intégrales simples, réductibles à deux fonctions elliptiques de première et de deuxième espèce, dont les valeurs s'obtiennent sous forme finie, quand il s'agit d'un ellipsoïde de révolution. ”

“ Ces équations, lorsqu'on fera abstraction des forces perturbatrices, feront retomber sur les lois de Képler ; mais l'intégration amènera six constantes arbitraires qui sont : le grand axe et
l'excentricité de l'orbite elliptique de la planète, sa longitude à une époque déterminée, la longitude de son périhélie et la longitude de ses nœuds sur un plan fixe. ”

“ Dans les équations que nous avons obtenues par l'intégration des équations (A') , nous avons d'abord introduit les constantes c, c', c", que nous pouvons remplacer par a, cp., Æ; et si nous tenons compte des trois autres constantes a, /, co, nous aurons des éléments suffisants pour déterminer à chaque instant l'orbite de la planète et la position de la planète dans son orbite. La constantece
exprime la longitude du périhélie, comptée sur le plan de l'orbite, à partir d'une ligne prise à volonté. ”

“ Mais d'après un théorème de géométrie, donné par M. Chasles, si l'on conçoit que le point M soit le sommet d'un cône circonscrit à la surface externe de la couche, son axe intérieur doit être normal à l'ellipsoïde auxiliaire au point M. De cette propriété résulte le théorème de Poisson : La direction de l'attraction d'une couche ellipsoïdale infiniment mince sur un point extérieur, est celle de l'axe intérieur du cône qui a pour sommet ce point et qui est circonscrit à la surface externe de la couche. ”

“ Lorsque le corps est homogène, et qu'on détermine ses points par des coordonnées polaires qui aient pour origine le point attiré, l'intégration relative au rayon vecteur s'effectue immédiatement, ce qui réduit les formules à des intégrales doubles, qui sont très différentes, selon que le point attiré est intérieur ou extérieur au corps attirant. ”

“ Troisième loi de Képler. — Les carrés des temps des révolutions des planètes autour du Soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.
T étant le temps de la révolution d'une planète dans son orbite, dont le grand axe est 2a, la force accélératrice de la planète, à
3 l'unité de distance, est proportionnelle à ;2' Par conséquent, la troisième loi de Képler permet de conclure que cette force est la même pour toutes les planètes. ”

“ Ordinairement les constantes que l'on regarde comme les éléments de l'orbite sont, indépendamment de a, CL, ”

“ Pour faciliter l'intégration, au lieu de fixer la position de la molécule dm par ses coordonnées rectilignes, nous aurons recours à sa distance u au centre de la sphère, à l'angle

plan fixe passant par cet axe, fait avec le plan passant par cette molécule et par le même axe. ”

“ C'est le théorème deMaclaurin dont nous avons fait mention au n° 2. Toutefois Maclaurin ne l'avait démontré que dans le cas où le point attiré est sur l'un des axes principaux des ellipsoïdes. Mais ce cas particulier présentait assez de difficultés pour que les efforts de d'Alembert ne conduisissent d'abord ce géomètre qu'à le trouver faux, et pour que Lagrange, qui le démontra quelque temps après,
bornât sa démonstration au cas particulier en question. ”

“ D'ailleurs, pour avoir la longitude u, en fonction de l'anomalie excentrique M, il suffit d'éliminer rentre (9) et (i i) , et il vient alors
F. Variations des constantes arbitraires du mouvement elliptique) quand on a égard aux planetes perturbatrices.
14. La force qui fait décrire aux corps célestes des sections coniques autour du Soleil est la puissance attractive de cet astre, combinée avec une impulsion que ces corps peuvent-être supposés avoir reçue à l'origine du mouvement, dont on peut fixer l'époque à un instant quelconque. ”

“ Lorsque le point attiré est placé en dehors de l'ellipsoïde, les intégrales doubles contiennent un radical et ont des limites qui les rendent beaucoup plus compliquées. Mais un théorème très simple, dû à M. Ivory, permet de ramener le second cas au premier, ce qui dispense de traiter directement les intégrales particulières à ce cas. ”

“ Quant aux intégrales des deux autres équations, elles s'obtiendront évidemment par un simple changement de lettres, par le changement réciproque de a en /3 et de a en b pour la deuxième équation, et par celui de a en y et de a en c pour la troisième, de sorte qu'on aura
b2 - al Cil - al Lorsqu'on fait ——— = À2 et - = À'2 dans la première de ces formu l es, u = — bv dans la deuxième u == a V1 -1 - ; 2yl dans la troisième, elles se transforment dans les suivantes :
lesquelles, à leur tour, peuvent s'écrire
fi u2du lorsqu'on Y représente l'intégrale L -L lettre L.
15. ”

“ Les anciennes coordonnées sont liées aux nouvelles par les relations (9) *—a? = rcos6, (5 — y = rsin 6 cos u, 'Y - z= rsin () sin "", et l'élément dm peut, en supposant p = i, être mis sous la forme dm = r1 sin 6 dr dB du, ce qui transforme les équations (i) et (7) dans les suivantes :
11. ”

“ Ainsi donc : Un point matériel placé dans l'intérieur dune sphère creuse n'en éprouve aucune action.
Ce résultat aurait pu être obtenu par de simples considérations géométriques.
9. Dans le cas où le point attiré est extérieur à la sphère, la valeur de V devient
Cette équation donnera l'action, sur le point M, d'une couche sphérique dont le rayon intérieur est 1. et le rayon extérieurl., si l'on
intègre entre les limites u = 1. ”