Théorème

“ Chaque théorème doit être traité, en soi, par un procédé différant plus ou moins de tout autre. L’invention de ces procédés de démonstration est un exercice intellectuel beaucoup plus puissant que l’application mécanique de quelque méthode générale telle que le calcul différentiel et intégral. ”

“ La force démonstrative ne réside pas dans les lignes auxiliaires, mais dans les applications, qu’elles rendent possibles, des théorèmes précédemment démontrés, et, en dernière instance, des axiomes et définitions au théorème à démontrer ”

“ Lorsqu'un mathématicien a étudié un théorème ou est parvenu à établir une formule, il ne ressent plus de difficultés, grâce à ce théorème, grâce à cette formule, à résoudre un problème qui, auparavant, lui paraissait insoluble. ”

“ Puisque les arts sont composés de théorèmes, et que la qualité de ces théorèmes n’est pas indifférente, mais qu’en premier lieu les notions résultant de l’expérience doivent former un ensemble, et, en second lieu, tendre vers un but utile, il est nécessaire que chaque théorème soit vrai, utile, et qu’il ait une certaine relation, non-seulement avec les principes posés, mais encore avec les autres théorèmes. ”

“ Or, ces informations qu'il faut prendre sur les personnes, ce n'est pas pour en avoir simplement une idée générale, vague, et semblable à celles qui sont la base d'un théorème de mathématiques, mais une idée précise et spécifique ”

“ Pour trouver ces lieux, nous nous appuierons sur le théorème suivant :
Théorème. — Soit une quantité complexe
étant des constantes imaginaires, une variable réelle — Quand varie de à le point décrit un cercle. ”

“ Certaines parties d’une figure, considérées dans un état général de construction, peuvent être indifféremment réelles ou imaginaires. Or il arrive souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de la réalité, à la démonstration d’un théorème, et que cette démonstration n’a plus lieu quand ces mêmes parties deviennent imaginaires. ”

“ Dans les deux cas le point d'intersection B des deux droites est appelé le pied de la perpendiculaire ou de l'oblique.
On nomme angle droit tout angle dont l'un des côtés est perpendiculaire
à l'autre.
6. Un théorème est la proposition d'une vérité qu'il faut démontrer.
L'énoncé d'un théorème renferme deux parties, savoir: une hypothèse faite sur un certain sujet et une conclusion qui est la conséquence de l'hypothèse. Le raisonnement que l'on
fait pour déduire la conclusion de l'hypothèse, lorsque leur dépendance n'est pas évidente, est appelé la démonstration du théorème. ”

“ Une théorie forme un enchaînement continu. — Un axiome est une vérité évidente par elle-même. — Une proposition ou théorème est une vérité qui a besoin d’une démonstration pour devenir évidente. — On donne le nom de principe à une ou plusieurs propositions qui se rapportent à une même théorie. — Une hypothèse est une supposition. — Une règle est l’indication de la marche à suivre pour arriver à un résultat désiré. ”

“ Ce que vous saisissez à travers ces signes, n'est-ce pas l'inconditionnel, n'est-ce pas le nécessaire? ,Tel théorème que vous avez démontré, est acquis à la science dans tous les temps et sous tous les cieux; la solution d'un problème ne varie point en changeant de latitude ou en passant d'un siècle à l'autre. ”

“ Je dirai, par exemple, j'ai trouvé la démonstration de tel théorème dans telles circonstances, ce théorème aura un nom bar-
bare, que beaucoup d'entre vous ne connaîtront pas, mais cela n'a aucune importance; ce qui est intéressant pour le psychologue, ce n'est pas le théorème, ce sont les circonstances. ”

“ Qu’on se représente la multiplicité croissante des sciences spéciales, avec leurs théorèmes, leurs lois, leurs axiomes, leurs conjectures, leurs procédés et leurs méthodes, et on comprendra qu’une formule courte et simple, comme la loi d’évolution par exemple, ne peut suffire à intégrer une aussi prodigieuse complexité de phénomènes. ”

“ Ce qui les rend abordables, ce n’est nullement de grandes facultés intellectuelles, c’est une certaine discipline de l’esprit ou les formules et les théorèmes tiennent lieu de chef de file, dans toutes les évolutions du calcul. ”

“ Lorsqu’on a voulu exprimer ces théorèmes et ceux qui concernent les nombres, quelques signes, dont la signification ne pouvait être équivoque, ont suffi pour représenter avec précision des idées d’une exactitude parfaite. Dès leur naissance, les sciences mathématiques ont offert à l’esprit humain l’entière réalisation de ce type du vrai, objet de ses plus chères affections. ”

“ Si je trouve un jour assez de loisir, je veux achever mes méditations sur la caractéristique générale ou manière de calcul universel, qui doit servir dans les autres sciences comme dans les mathématiques. J’en ai déjà de beaux essais, j’ai des définitions, axiomes, théorèmes et problèmes fort remarquables de la coïncidence, de la détermination (ou de de unico) , de la similitude, de la relation en général, de la puissance ou cause, de la substance, et partout je procède par lettres d’une manière précise et rigoureuse, comme dans l’algèbre. ”

“ De plus, on peut étudier les vérités dont elles se composent sans recourir aux autres branches de nos connaissances, et celles-ci leur empruntent, au contraire, de nombreux secours, tels par exemple que les théorèmes et les calculs sur lesquels s’appuient les sciences physiques et industrielles ”

“ Pour la même raison vous deviez être séduit par les propriétés des fonctions elliptiques et par cette facilité presque mystérieuse avec laquelle on en déduit des théorèmes arithmétiques. L'étude de la transformation et celle des équations modulaires vous ont fourni une riche moisson de découvertes. Vous y rattachiez d'abord le problème du nombre des classes, qu'abordait en même temps un savant dont l'Europe déplore la perte récente; puis la résolution de l'équation du cinquième degré, cette belle conquête dont l'Algèbre est redevable à l'Analyse. ”

“ Nous obtiendrons cependant des renseignements concernant la dérivation ordinaire en appliquant simultanément les théorèmes obtenus à plusieurs nombres dérivés, c’est-à-dire en opérant comme nous l’avons fait au Chapitre IX avec les théorèmes relatifs à l’intégration. ”

“ La méthode une fois examinée par la logique et les idées fondamentales les plus importantes vérifiées par la philosophia prima, la géométrie traite des lois mathématiques du mouvement, la mécanique des effets du mouvement d’un corps sur un autre, la physique des effets des mouvements ayant lieu dans les molécules des corps, la science de l’homme et de la politique (que nous appellerions maintenant la science de l’esprit) des mouvements qui ont lieu dans les âmes des hommes et qui déterminent leur conduite réciproque. ”

“ Sans doute, toute branche des mathématiques traite de concepts qui sont des concepts abstraits au plus haut point ; c’est l’abstraction qui fournit les notions de nombre, de ligne, de surface, d’angle, de masse, de force, de pression ; c’est l’abstraction, c’est l’analyse philosophique, qui démêlent et précisent les propriétés fondamentales de ces diverses notions, qui énoncent les axiomes et les postulats ”

“ Dans l'étude philosophique de la mathématique concrète, je m'attacherai à faire exactement apprécier cette seconde propriété caractéristique de l'analyse transcendante, non moins admirable que la première, et en vertu de laquelle le système entier d'une science immense, comme la géométrie ou la mécanique, a pu se trouver condensé en un petit nombre de formules analytiques, d'où l'esprit humain peut déduire, par des règles certaines et invariables, la solution de tous les problèmes particuliers. ”

“ Le concept de fonction analytique, au contraire, embrasse dans son domaine toutes les fonctions les plus importantes de la Science, qu’elles proviennent de la Théorie des nombres, de la Théorie des équations différentielles ou des équations fonctionnelles algébriques, ou même encore de la Géométrie et de la Physique mathématique ”

“ Dans la zone intermédiaire au travers de laquelle s’effectuent ces échanges, par laquelle est assurée la communication entre l’observation et la théorie, le sens commun et la logique mathématique font concourir leurs influences et mêlent les uns aux autres, d’une manière inextricable, les procédés qui leur sont propres. ”

“ La science classique a voulu, du double rapport qui subordonne l’ensemble aux parties et les parties à l’ensemble, ne retenir que le premier, le second semblant, comme la notion d’ordre, entaché de finalité ; et de nos jours mathématique, physique et biologie s’orientent vers l’étude des ensembles considérés comme tels. ”

“ Je n’ai jamais eu plus fortement l’impression du quelconque. C’était le logis quelconque, analogue au point quelconque des théorèmes, — et peut-être aussi utile. Mon hôte existait dans l’intérieur le plus général. ”

“ La méthode des variations constitue donc la partie la plus sublime de ce vaste système de l'analyse mathématique qui, partant des plus simples élémens de l'algèbre, organise, par une succession d'idées non-interrompue, des moyens généraux de plus en plus puissans pour l'étude approfondie de la philosophie naturelle, et qui, dans son ensemble, présente, sans aucune comparaison, le monument le plus imposant et le moins équivoque de la portée de l'esprit humain. ”

“ Lorsque les études distinctes qui composent les mathématiques auront, chacune, été traitées comme un tout logique, comme le développement naturel des propositions qui leur servent de principes, l’étudiant sera à même de comprendre la science fondamentale qui unifie et systématise l’ensemble du raisonnement déductif. ”

“ Toute science de raisonnement repose sur un petit nombre de propositions simples irréductibles à d’autres plus simples, appelées axiomes, et sur les définitions. Ces éléments, convenablement mis en œuvre par le raisonnement, conduisent aux propositions les plus complexes, qui ne sont donc, en définitive, que des composés logiques de ces éléments. ”

“ Ceci nous rappelle d’avoir un jour entendu un jeune homme que l’on interrogeait sur la division logique, répondre que, par exemple, les mathématiques se divisent en mathématiques élémentaires, mathématiques spéciales et mathématiques transcendantes. ”

“ Nous avons, en effet, établi, en principe philosophique, que le système des études mathématiques constitue nécessairement la véritable origine spontanée de l'art général du raisonnement positif, dont l'esprit humain ne pouvait réaliser complètement le libre développement qu'à l'égard des recherches à la fois les plus générales, les plus abstraites, les plus simples, et les plus précises. ”

“ Les notions, fournies par les perceptions, dont elle a à traiter, sont des notions infiniment confuses et complexes, dont l’étude exige un long et pénible travail d’analyse ; les hommes de génie qui ont créé la Physique théorique ont compris que, pour mettre dans ce travail de l’ordre et de la clarté, il fallait demander ces qualités aux seules sciences qui fussent naturellement ordonnées et claires, aux sciences mathématiques. ”

“ C’est par les sciences mathématiques qu’il convient de commencer la série des connaissances humaines, parce que ce sont celles qui exigent pour point de départ et qui ont pour objet un plus petit nombre d’idées. ”

“ L’un et l’autre sont eux-mêmes, pour employer le style des mathématiques, des fonctions dans un plus vaste ensemble, qui est le développement complet de la conscience du monde se faisant par l’humanité. ”

“ Ajoutons que pour justifier et hiérarchiser les théories, pour discuter les hypothèses sur lesquelles elles sont fondées, pour les perfectionner et les enrichir, nous devons nécessairement faire entrer en jeu d’autres opérations de l’esprit que la pure et simple combinaison logique. ”

“ Passons donc sur cet enfantillage d’une école qui eut souvent plus de profondeur, et hâtons-nous d’observer que les mathématiques considérées dans leur ensemble ont pour caractère essentiel de nous mirer l’univers sous le seul aspect de ses répétitions et de ses oppositions, abstraction faite le plus qu’il se peut de ses variations. ”

“ Mais, pour compléter la formule fondamentale, il suffit, en premier lieu, de placer, au début de ce vaste ensemble, la science mathématique, seul berceau nécessaire de la positivité rationnelle, aussi bien pour l’individu que pour l’espèce. ”

“ Si l’on trouve dans les catégories logiques la substance de toute chose, on s’imagine trouver dans la formule logique du mouvement la méthode absolue, qui non seulement explique toute chose, mais qui implique encore le mouvement de la chose. ”

“ Si nous jetons un coup d’œil sur le développement de la théorie des fonctions pendant le xixe siècle, nous remarquons avant tout le rôle fondamental joué par cette classe de fonctions que l’on nomme aujourd’hui fonctions analytiques, classe de fonctions qui resteront toujours le point central de l’intérêt mathématique. ”

“ La première science de ce genre qui vienne se présenter à nous, c'est celle des mathématiques, et c'est en réunissant tous les rapports de spécification distinctive, tous les rapports de parité, disparité, similité empirique, et surtout transcendentale , qu'elle formule ses vérités générales d'ordre pur et les combinaisons innombrables qui en découlent. ”

“ Y a-t-il, dans les théories qui constituent les Mathématiques pures, divers ordres à considérer, et, en particulier, l’ordre de l’enseignement est-il distinct de l’ordre de la spéculation ou de la découverte ? ”

“ Les équations et les formules par lesquelles les mathématiciens expriment les relations entre les diverses grandeurs, constituent un mode de raisonnement très abrégé, très utile à connaître, mais qui présente, surtout au début de l’enseignement, l’inconvénient de faire perdre de vue la nature des faits sous les transformations des signes qui les représentent. ”