Conjecture

“ Mais cette utilité devient danger, devient erreur, dès que l'hypothèse ou la conjecture ne se reconnaît plus pour hypothèse ou pour conjecture, dès qu'elle se personnifie ou se substantiahse ; dès qu'elle se fait centre de tout, qu'elle se pose comme cause réelle et unique de tous les phénomènes. Nous allons fa-
cilement nous faire comprendre. ”

“ Je loue la modeste timidité des physiciens qui s’en tiennent aux faits, mais je ne saurais blâmer la hardiesse ingénieuse de ceux qui entreprennent quelquefois de pénétrer au-delà. Laissons agir l’imagination, mais que la raison tienne toujours la bride de ce coursier dangereux. Tournons-nous de tous les côtés, formons de nouvelles conjectures, enfantons de nouvelles hypothèses, mais souvenons-nous toujours que ce ne sont que des conjectures et des hypothèses, et ne les mettons jamais à la place des faits. ”

“ Il est évident qu’on ne peut rien savoir de l’avenir que par conjectures. Ces conjectures peuvent être si fortes qu’elles approcheront d’une certitude. Vous voyez une baleine avaler un petit garçon : vous pourriez parier dix mille contre un qu’il sera mangé ”

“ Les conjectures présentes imposent donc aux uns et aux autres l'obligation indispensable de se livrer avec ardeur à la culture d'une science qui seule peut fournir la solution d'une foule de questions palpitantes d'actualité. ”

“ D'autres, plus prudents et plus éclairés, en avouant, ou du moins sans rejeter ouvertement ce que les mathématiques avaient pu démontrer sur la figure de la terre, s'arrêtaient à révoquer en doute les conjectures que les physiciens avaient ajoutées aux démonstrations mathématiques. ”

“ Quand on passe en revue leurs conjectures, on est fort étonné sans doute d'y rencontrer des idées qui sont dans une certaine conformité avec ce qu'il y a de positif dans les enseignements, fort peu précis encore il est vrai, de la science moderne. ”

“ Faire des conjectures sur des absents qu’on aime, c’est se mettre à la question. ”

“ Dans l'étude philosophique de la mathématique concrète, je m'attacherai à faire exactement apprécier cette seconde propriété caractéristique de l'analyse transcendante, non moins admirable que la première, et en vertu de laquelle le système entier d'une science immense, comme la géométrie ou la mécanique, a pu se trouver condensé en un petit nombre de formules analytiques, d'où l'esprit humain peut déduire, par des règles certaines et invariables, la solution de tous les problèmes particuliers. ”

“ Vous rencontrez d’abord les faits les plus simples, qui sont aussi les plus généraux : ce sont ceux auxquels s’attachent les mathématiques. Aux yeux de l’algébriste, la nature n’est qu’un système de grandeurs ; c’est le plus haut degré où l’abstraction puisse monter. Depuis les premiers tâtonnemens de la science mathématique au berceau jusqu’aux sublimes inventions des Descartes, des Leibnitz, des Lagrange, jusqu’aux merveilles du calcul infinitésimal et du calcul des variations, l’objet a toujours été le même : déterminer des grandeurs. ”

“ Ne donnez pas plus de foi à ceux qui vous montrent la discontinuité, ou les différences individuelles, ou la liberté dans l'univers, qu'à ceux qui vous exposent sa continuité ou ses lois nécessaires. Souvenez-vous que vos mathématiques fondées sur la continuité dans le temps, l'espace et le nombre, suffisent à calculer des mouvement d'atomes, qui sont des tourbillons discontinus. Imaginez que la ressemblance est le langage intellectuel des différences, que les différences sont le langage sensible de la ressemblance. Sachez que tout en ce monde n'est que signes, et signes de signes. ”

“ La logique, les mathématiques, la physique, n’ont point de place dans cette philosophie, parce qu’elles sont trop « statiques » ; ce qui est réel, c’est la tendance et le mouvement dans le sens d’une fin qui, comme l’arc-en-ciel, recule à mesure que l’on avance, et rend chaque point qu’elle touche différent de ce qu’il semblait être de loin. ”

“ De nos jours l’esprit mathématique a fait de tels progrès que la physique dite particulière, c’est-à-dire la science des phénomènes naturels qui n’appartiennent pas à l’histoire naturelle, a, pour ainsi dire, disparu et s’est transformée en une des branches les plus importantes des sciences exactes. ”

“ En effet, lorsqu’on parvient à rendre une question mathématique, c’est-à-dire lorsqu’on a eu l’art d’en saisir l’essence d’une manière assez simple pour que l’analyse puisse s’en emparer, la nature, docile à la voix de l’homme, sanctionne les oracles de la science. ”

“ Ces analogies demandées aux mathématiques peuvent faire entendre ce que sont les Idées, leur nature et leur existence. Les Idées sont dans les choses comme y sont les surfaces, les lignes, les points, les unités ; et c’est la raison aussi qui les en tire. Néanmoins, il y a une grande différence entre les Idées et les entités de l’arithmétique ou de la géométrie. dans le monde mathématique, tout est non seulement immobile, mais impassible ; tout ce que les mathématiques exigent, c’est l’acquiescement de l’intelligence aux vérités qu’elles lui découvrent. ”

“ Toute science mathématique est fondée sur une idée simple, unique : l’arithmétique sur l’idée du nombre, la géométrie sur celle de l’étendue, la mécanique sur la notion de la force, le calcul infinitésimal sur celle de la variation. ”

“ Les notions mathématiques ont dans l’esprit une réalité absolue. De ces idées simples, nous concluons rigoureusement toutes les propriétés du nombre et de la forme, jusqu’aux plus fines et aux plus complexes. ”

“ FICTIF ET BORNÉ Lorsqu’on préconise les mathématiques, comme le modèle par excellence d’une méthode pour apprendre à raisonner, sait-on bien à quelles conditions la logique de la géométrie est si rigoureuse, pourquoi ses démonstrations sont si évidentes ? ”

“ Cette perfection nécessaire de la géométrie, obtenue essentiellement par l'application, qu'elle comporte si éminemment, de l'analyse mathématique, fait ordinairement illusion sur la nature réelle de cette science fondamentale, que la plupart des esprits conçoivent aujourd'hui comme une science purement rationnelle, tout-à-fait indépendante de l'observation. ”

“ J’ai remarqué que ce déterminisme à formules est accepté avec une joie sauvage par des hommes qui sans doute ne l’ont pas bien saisi par ses racines, soit dans la plus profonde mathématique, soit dans la physique qui en dépend. ”

“ Le plus haut emploi d’un procédé général de la raison, dont la méthode géométrique infinitésimale est une application particulière... Ce procédé, qui en géométrie s’élève à l’infini mathématique, s’élève aussi, en métaphysique, à l’être infini qui est Dieu. Rigoureux comme la géométrie, il est en outre de beaucoup le plus simple et le plus rapide des deux procédés de la raison. ”

“ Les figures des êtres vivants ou, ce qui est la même chose, organisés, ne pouvant se calculer ni se construire rationnellement, comme celles qui ressortissent à la géométrie, nous les estimons par une action indécomposable de l’intelligence tout autre que la déduction dont se servent les mathématiques, action qu’on appelle soit intuition, d’un terme qui signifie vue, soit jugement, soit sentiment... ”

“ Telle est, en effet, la conception, éminemment féconde, que l'esprit humain est parvenu à fonder, et qui constitue son plus admirable instrument pour l'exploration mathématique des phénomènes naturels, l'analyse dite transcendante. ”

“ La raison mathématique se contente de fournir, dans le domaine le plus favorable, un type de clarté, de précision et de consistance dont la contemplation familière peut seule disposer l’esprit à rendre les autres conceptions aussi parfaites que le comporte leur nature. ”

“ Les mathématiques, l’algèbre et l’analyse infinitésimale principalement suscitent à un haut degré la conception des signes et des symboles, instruments nécessaires qui augmentent la puissance et la portée de l’esprit humain, en résumant sous une forme condensée et en quelque sorte mécanique tout un ensemble de relations : ces auxiliaires sont surtout précieux en mathématiques, parce qu’ils y sont adéquats à leurs définitions ”

“ Pour vous rassurer au sujet de l’adaptation possible des mathématiques aux sciences physiques, je vous dirai si vous voulez que nous avons pris comme point de départ de notre géométrie ce que notre expérience nous a montré être bon dans les idées innées provenant de nos ancêtres ; si vous voulez encore, nous appellerons métaphysique l’ensemble de toutes les absurdités précises qu’ils nous ont laissées en héritage ; il y en a beaucoup ! ”

“ Les modernes ont enfin, depuis quelque temps, rejeté les forces essentielles et les qualités occultes, pour rappeler les phénomènes naturels à des lois mathématiques. Je me suis proposé dans ce traité de contribuer à cet objet, en cultivant les Mathématiques en ce qu'elles ont de rapport avec la philosophie naturelle. ”

“ Est -il , en effet , un seul homme parvenu à un certain degré d' initiation scientifique , qui ne soit révolté , dans sa raison et sa conscience , à s' entendre dire que les vérités évidentes et évidemment nécessaires constituant la loi fondamentale de la logique , de l' arithmétique , de la géométrie , et aussi , d' après quelques physiciens éminents , de la physique tout entière , n' ont pas toujours existé , et qu' il a appartenu à une volonté de décider leur existence ? ”

“ Pourquoi n’en est-il pas pour tous les êtres dont il y a des idées, comme pour les êtres mathématiques ? Voici ce que j’entends par là. On fait des êtres mathématiques des intermédiaires entre les idées et les objets sensibles, une troisième espèce d’êtres, en dehors des idées et des êtres qui tombent sous nos sens. ”

“ Les mathématiques, à qui seules appartient l’entière exactitude, communiquent une partie de leur précision aux sciences qui procèdent d’elles. Aussi fait-on par le moyen de l’astronomie mathématique et de la chimie des prédictions certaines. ”

“ Ceci nous rappelle d’avoir un jour entendu un jeune homme que l’on interrogeait sur la division logique, répondre que, par exemple, les mathématiques se divisent en mathématiques élémentaires, mathématiques spéciales et mathématiques transcendantes. ”

“ A toute heure, notre esprit, enfermé en apparence dans le cercle étroit de nos besoins matériels ou de nos impressions passagères, peut s'élancer vers les sphères de l'infini, non pas seulement par la rêverie poétique, mais par les calculs précis de la mathématique et les certitudes idéales de la géométrie. ”

“ Ce défaut de précision dans la considération logique d'une notion aussi fondamentale en mathématiques, entraîne le grave inconvénient de rendre à peu près inexplicable, en thèse générale, la difficulté immense et capitale que nous éprouvons à établir la relation du concret à l'abstrait, et qu'on fait communément ressortir avec tant de raison pour chaque grande question mathématique prise à part. ”

“ La logique pure et les mathématiques elles-mêmes proviennent de la sensation, qui nous montre quelque chose d’analogue à ce qui est contenu dans les principes logiques et mathématiques. La perception des sens me donne des exemples immédiats que le tout est plus grand que la partie, et que je ne puis à la fois affirmer et nier la même chose ”

“ Après avoir abstraitement apprécié l'existence mathématique, à la fois géométrique et mécanique, l'esprit positif doit compléter une telle élaboration initiale en l'appliquant convenablement au cas naturel le plus important, par l'étude générale des phénomènes astronomiques. ”

“ Car est-ce assez, dans l'étude philosophique et approfondie d'une science, de savoir qu'une chose est vraie, si l'on ignore comment et pourquoi elle l'est, et quelle place elle occupe dans l'ordre des vérités auquel elle appartient ? ”

“ Mais les choses changent déjà d’aspect quand on passe des mathématiques à la physique, et de l’étude abstraite du mouvement à la considération des changements concrets qui s’accomplissent dans l’univers. ”

“ Il remarque, et c'est pour lui un trait de lumière, que les mathématiques n'ont pas pour objet de connaître les choses en elles-mêmes, mais seulement de développer certaines notions inhérentes à l'esprit humain, les notions d'unité, de nombre, d'espace, et autres semblables. ”

“ Le dilemme de l’infini porte sur l’application de la logique de la quantité à l’ordre universel des phénomènes dans l’espace et dans le temps. Les rapports de l’unité au nombre, et des parties au tout, sont-ils applicables partout oh l’on peut regarder une existence réelle comme constituée, en extension ou en composition ? ”

“ Lorsqu’on a voulu exprimer ces théorèmes et ceux qui concernent les nombres, quelques signes, dont la signification ne pouvait être équivoque, ont suffi pour représenter avec précision des idées d’une exactitude parfaite. Dès leur naissance, les sciences mathématiques ont offert à l’esprit humain l’entière réalisation de ce type du vrai, objet de ses plus chères affections. ”

“ Quittez ces abstractions, faites un premier pas vers la nature, la grandeur se détermine vous rencontrez l’étendue et bientôt le mouvement. L’étendue, dans ses déterminations et ses lois universelles, voilà l’objet de la géométrie ; le mouvement, considéré d’une manière abstraite, voilà l’objet de la mécanique rationnelle. ”

“ Est-ce qu'on prouve quoi que ce soit en dehors des mathématiques? Mais les choses les plus crues sont les moins démontrées et les moins démontrables! Toucher, convaincre, entraîner, voilà ce qui importe. ”

“ Les mathématiques mettent à nu les mécanismes logiques de l’intelligence humaine ; la physique nous révèle l’existence, la coordination, la permanence des lois naturelles ; l’astronomie nous montre réalisées les conceptions abstraites de la mécanique, l’ordre universel de l’univers qui en découle, enfin la périodicité qui est la loi générale des phénomènes célestes. ”

“ Le caractère spécial de la vérité mathématique est qu’elle est nécessairement et inévitablement vraie ; et une des leçons les plus importantes qu’on puisse retirer des études mathématiques est de connaître qu’il y a des vérités de ce genre, et de nous familiariser avec leur forme et leur caractère. ”

“ Ne voyez-vous pas que les sciences mathématiques vont du simple au complexe, en restant toujours dans le général ? Les figures les plus complexes sont encore générales et jouissent de propriétés générales, parce qu’on les a construites avec des éléments simples, que l’on connaît. Le physicien lui, ne construit pas son objet ; il le reçoit tel que la nature le lui présente. ”