Carl Friedrich Gauss

“ Théorème. Un nombre composé ne peut se résoudre que d’une seule manière, en facteurs premiers.
Il est évident par les élémens, que l’on peut toujours décomposer un nombre quelconque en facteurs premiers ; mais on suppose à tort tacitement que cette décomposition ne soit possible que d’une manière. Imaginons qu’un nombre composé étant des nombres premiers inégaux, soit encore décomposable d’une autre manière en facteurs premiers. ”

“ On pourra choisir dans chaque classe de formes de déterminant une d’entre elles que l’on considérera comme forme représentante de toute la classe. Il est indifférent en soi quelle forme on prend dans chaque classe, cependant on doit toujours préférer celle qui est plus simple que toutes les autres. Or la simplicité d’une forme dépend évidemment de la grandeur des nombres et on dira à juste titre que la forme est plus simple que la forme si l’on a . ”

“ Étant données deux formes quelconques qui ont le même déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-la-fois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux, chercher si l’une ne renferme pas l’autre, proprement, improprement, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transformations tant propres qu’impropres de l’une dans l’autre.
2o. Étant donnée une forme quelconque, trouver si un nombre donné peut être représenté par elle, et assigner toutes les représentations. ”

“ Maintenant que nous avons démontré que tout nombre premier de la forme positif ou négatif, est toujours non-résidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui, nous allons passer à l’examen exact et général de la condition nécessaire pour qu’un nombre premier soit résidu ou non-résidu d’un autre. ”

“ Jusqu’à présent il n’y a pas de règle générale qui puisse faire distinguer a priori les déterminans réguliers des irréguliers, d’autant plus que parmi les derniers se trouvent en même temps des nombres premiers et des nombres composés ; ainsi il suffira d’ajouter ici quelques observations particulières. Quand il y a plus de deux classes ambiguës dans le genre principal, le déterminant est sûrement irrégulier, et l’exposant d’irrégularité est pair. ”

“ On démontre par les mêmes principes cet autre théorème de Fermat : Tout nombre entier positif est décomposable en quatre quarrés. En effet, si l’on retranche d’un nombre de la forme un quarré pair ; d’un nombre de la forme un quarré arbitraire ; d’un nombre de la forme , un quarré impair ; les restes seront décomposables en trois quarrés. Quant aux nombres de la forme , on peut les représenter par , étant nécessairement de l’une des trois formes ci-dessus ; or quand on aura décomposé le nombre , en quatre quarrés, le nombre le sera aussi. ”

“ Il suit de là que chaque nombre aura un résidu, tant dans la suite que dans celle-ci nous les appellerons résidus minima ; et il est clair qu’à moins que ne soit résidu, il y en aura toujours deux, l’un positif, l’autre négatif. S’ils sont inégaux, l’un d’eux sera s’ils sont égaux, chacun d’eux sans avoir égard au signe ; d’ou il suit qu’un nombre quelconque a un résidu qui ne surpasse pas la moitié du module, et que nous appellerons résidu minimum absolu. ”

“ Quoique ces Tables, qui sont dans les mains de tout le monde, et que l’on doit espérer devoir accroître encore par la suite, suffisent dans la plupart des cas qui se présentent ordinairement ; il n’est cependant pas rare qu’un calculateur habile tire de la décomposition des grands nombres en facteurs, des avantages qui compensent au-delà l’emploi du temps. En outre, la dignité de la science semble demander que l’on recherche avec soin tous les secours nécessaires pour parvenir à la solution d’un problème si élégant et si célèbre. ”

“ Quant aux déterminans positifs non-quarrés, ils présentent à cet égard des propriétés tout-à-fait singulières. Pour les déterminans négatifs ou quarrés, les petits nombres de classes, par exemple les classifications I., ou I., ou II., n’ont lieu que pour de petits déterminans et dont la suite s’arrête bientôt ; pour les déterminans positifs non-quarrés au contraire, pourvu qu’ils ne soient pas très-grands, la plus grande partie donne des classifications où il n’y a qu’une seule classe dans chaque genre, desorte que les classifications : I., I., II. II. IV. etc. sont très-rares. ”

“ On cherchera toutes les valeurs de l’expression , et s’il n’y en a que deux qui soient opposées, sera certainement un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier ; s’il y en a un plus grand nombre, , par exemple, sera composé de facteurs qui sont des nombres premiers, ou des puissances de nombres premiers. Or il sera extrêmement facile de reconnaître si ces nombres sont premiers, ou des puissances de nombres premiers, et dans ce dernier cas, la méthode par laquelle on trouve les valeurs de indique d’elle-même tous les nombres premiers dont une certaine puissance divise le nombre ”

“ Comme les nombres qui sont diviseurs de sont les seuls qui puissent servir d’exposans aux plus petites puissances congrues avec l’unité, on est porté à chercher si tous les diviseurs de jouissent de cette propriété ; et, quand on classe tous les nombres non divisibles par p suivant l’exposant de leur plus petite puissance congrue à l’unité, combien il y en a pour chaque exposant. ”

“ Si on a une table d’indices la chose est facile, car (no 60) aura des valeurs réelles quand sera divisible par , en prenant pour base une racine primitive quelconque, et dans le cas contraire elle n’en aura pas ; mais on peut aussi le découvrir sans le secours de cette table. Soit en effet , si est divisible par , sera divisible par et réciproquement ; mais l’indice du nombre est ; donc si a des valeurs réelles, sera congru à l’unité ; sinon, il sera incongru. Ainsi dans l’exemple de l’article précédent, on a a , d’où l’on conclut que l’expression a des valeurs réelles. ”

“ Ceux qui aiment ces recherches ne perdront pas leur temps, s’ils s’exercent à les développer : il est alors nécessaire de supposer les théorèmes relatifs aux résidus et ; mais comme notre démonstration a été achevée sans y avoir recours, nous en tirons une nouvelle manière de les démontrer ; elle est d’autant moins à dédaigner, que les méthodes dont nous nous sommes servis pour démontrer que est résidu de tout nombre premier de la forme peuvent ne pas sembler assez directes. ”

“ On étendra de la même manière ce théorème aux produits de tant de périodes semblables qu’on voudra, et il importe peu que ces périodes soient toutes différentes, ou en partie différentes, et en partie identiques, ou même toutes identiques.
4o. Il suit de là que si dans une fonction algébrique rationnelle et entière on substitue pour les indéterminées respectivement, les périodes semblables la valeur de cette fonction est toujours réductible à la forme
et que les coefficiens seront tous entiers, si les coefficiens de la fonction le sont eux-mêmes. ”

“ Ainsi la forme est contiguë à la forme par la dernière partie, la forme est contiguë par les deux parties à son opposée .
Les formes contiguës sont toujours proprement équivalentes.
Car la forme se change en la forme contiguë en faisant et (où, par hypothèse, est un entier) , comme on s’en assurera par le développement. Or ; donc la transformation est propre. Au reste, ces définitions et ces conclusions n’auraient plus lieu si ; mais ce cas n’arrive que lorsque le déterminant des formes est un quarré. ”

“ Les hommes exercés préviendront facilement la longueur du calcul par beaucoup d’artifices ; mais l’usage les indique mieux que les préceptes.
1o. On prendra à volonté un nombre premier avec le module [4] , et souvent le calcul devient plus simple lorsqu’on prend le plus petit possible, par exemple ; on déterminera sa période (no 46) , c’est-à-dire les résidus minima de ses puissances, jusqu’à ce que l’on parvienne à une puissance qui ait pour résidu minimum [5] . Si l’on sera une racine primitive. ”

“ Concluons de ce qui précède, que si l’on connaît toutes les solutions de l’équation , on en déduira toutes les transformations de la forme en , semblables à une transformation proposée. Nous donnerons plus loin le moyen de trouver les solutions de cette équation ; observons seulement ici que leur nombre est fini quand est négatif, ou positif et en même temps un quarré ; mais qu’il est infini, si est positif et non un quarré. ”

“ Quoique ce qui a été expliqué sur les caractères des formes l’ait été surtout dans le dessein d’en déduire la subdivision en genres de l’ordre entier des classes positives proprement primitives, rien n’empêche qu’on ne l’applique aux formes et aux classes négatives ou improprement primitives, et qu’on ne subdivise en genres, tant l’ordre proprement primitif positif ou négatif, que l’ordre improprement primitif positif ou négatif. ”

“ Commençons par un théorème dont la démonstration nous a long-temps échappé, quoique au premier aspect il paraisse si facile, que plusieurs auteurs n’ont pas même cru qu’il fût nécessaire de le démontrer. C’est celui-ci : Tout nombre, si l’on en excepte les quarrés pris positivement, est toujours non-résidu de quelques nombres premiers. ”

“ Que la décomposition du nombre en trois quarrés équivaut à quarante-huit représentations, si aucun n’est nul, et qu’ils soient tous inégaux ; à vingt-quatre, si l’un des quarrés est nul et que les autres soient inégaux, ou qu’aucun ne soit nul et que deux soient égaux. Mais si deux quarrés sont nuls, ou que l’un d’eux soit nul, tandis que les deux autres sont égaux, ou enfin qu’ils soient tous trois égaux, la décomposition équivaudra à six, à douze ou à huit représentations. ”

“ Parmi toutes les classes d’un ordre et d’un déterminant donné, les classes ambiguës demandent un plus grand développement, et la détermination de leur nombre nous conduira à beaucoup de résultats intéressans. ”

“ On sait que tous les travaux des plus grands géomètres ont échoué contre la résolution générale des équations qui passent le premier degré, ou pour mieux définir l’objet de la recherche, contre la réduction des équations complètes à des équations à deux termes, et il est à peine douteux si ce problème ne renferme pas quelque chose d’impossible, plutôt qu’il ne surpasse les forces actuelles de l’analyse. ”

“ On voit en général que lorsque est de la forme étant entiers, et entier positif, l’équation (forme à laquelle toute équation algébrique peut se ramener) n’aura aucune racine rationnelle, s’il arrive que pour un certain module la congruence ne soit pas satisfaite ”

“ Si la forme est comprise parmi les formes du no précédent, la forme s’y trouvera aussi et sera toujours différente de la première, excepté dans le cas où l’on aurait et partant cas que nous laisserons de côté pour quelque temps. ”

“ Si l’on sait encore qu’un autre nombre est résidu de on pourra rejeter des nombres que la première exclusion a laissés dans , tous ceux dont est non-résidu, qui composent encore presque la moitié, du moins si les résidus et sont indépendans, c’est-à-dire, si l’un n’est pas par lui-même et nécessairement résidu de tous les nombres dont l’autre est résidu, ce qui arriverait quand serait un quarré. ”

“ En effet, puisqu’aucun des nombres n’a de facteurs premiers communs avec et que le produit de ces nombres ne peut avoir de facteurs premiers qui n’appartiennent à quelqu’un d’entr’eux, ce produit n’aura non plus aucun facteur premier commun avec
Si les nombres sont premiers entr’eux, et que soit divisible par chacun d’eux, il le sera aussi par leur produit. ”

“ Si l’on a plusieurs représentations du nombre par la forme qui appartiennent à la même valeur de l’expression , en supposant toujours les valeurs de premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres de la forme ... ”

“ Toutes choses d’ailleurs égales, le travail sera évidemment d’autant plus facile, que le nombre des classes etc. sera moins grand, et il est parconséquent le plus court possible quand est un des soixante-cinq nombres consignés au no 303, pour lesquels il n’y a qu’une seule classe dans chaque genre. ”