Calculateur

“ Il sera facile de connoître par des comparaisons, quelle méthode sera plus convenable pour le calculateur et l'étranger , qui cherchant à se rendre intelligibles d'une manière très-prompte les uns aux autres, ainsi que l'exige la branche du commerce, doivent même faire une opération de mémoire pour tirer parti d'une affaire par un calcul prompt. Il n'existe point d'autre méthode propice au financier, au banquier, au négociant, ou à l'agent de change, comme celle que je cite ici et que je traite dans toute son étendue , qui est d'avoir présent à l'imagination une fraction nominale. ”

“ La méthode employée dans l'opération ci - dessus doit fixer l'attention du calculateur ; la seule difficulté est de multiplier le numérateur de la fraction , qui est 59 , par le multiplicateur de la règle et diviser le produit 1180 par 81 , dénominateur de la fraction , et on trouve, pour résultat de cette division , 14 entiers et 46/8i qu'il faut placer dans son ordre dans l'opération , comme étant des dizaines et unités de franc, puisqu'on a multiplié par des francs, et la fraction devient autant de petites parties de franc que l'on a placées à droite en dehors des unités de franc ”

“ PNEUMONIE 33 33 33 33 33 33 33
élément du calcul
dans ses ténèbres.
Un spectacle d'enfant du bout des doigts
calculateur prodige d'hypothèses
de carottes et la fin correctement
sous des yeux noirs brillants 33.
Les merveilles meurent comme nous
dans la situation que nous exigeons
énigme du berceau. ”

“ Dans la même hypothèse, c’est-à-dire, en supposant que la différence par exemple, et les suivantes sont nulles ou tenues pour telles, on tire des mêmes séries d’autres formules approximatives, très-remarquables, qui offrent aux calculateurs le grand avantage de ne faire dépendre l’approximation que d’un nombre d’ordonnées équidistantes, combinées linéairement avec des coefficiens qui, calculés une fois pour toutes et conservés dans des tables permanentes, peuvent se retrouver sans travail au besoin. Je passe à l’examen de ces méthodes.
Une première va droit au but. ”

“ On peut, par cette méthode, abréger beaucoup le calcul et le simplifier ; d'ailleurs par la prolongation des décimales , on auroit un grand nombre de chitlres, qui seroient toujours les mêmes, dont la continuation devenant ennuyeuse et fatigante, contraindroit le calculateur it y mettre un terme; et par quel moyen pour obtenir la précision ? on peut avancer avec assurance que ce sera en plaçant une fraction simple, connue et adoptée dans les quatre parties du monde. ”

“ Cela me fait de bonnes relations que j'utilise plus tard.—Tobie était un ouvrier habile, mais sans prévoyance.—Un calculateur véritable ne laisse rien subsister d'inutile autour de lui. — Tout doit rapporter, les choses animées et inanimées. ”

“ As-tu aussi observé que ceux qui sont nés calculateurs, ayant l’esprit de combinaison, ont beaucoup de facilité pour presque toutes les autres sciences et que même les esprits pesants, lorsqu’ils se sont exercés et rompus au calcul, en retirent du moins cet avantage d’acquérir plus de facilité et de pénétration ? ”

“ Enfin , des calculateurs du dernier ordre, capables d'opérer sans faute une simple addition, n'auront pour labeur journalier que d'ajouter machinalement, infatigablement, des nombres à d'autres : l'expérience va prouver que les plus automatiques seront ceux qui, moins distraits et moins penseurs, commettront les erreurs les plus rares. ”

“ Aujourd'hui il exécute facilement de fête, non seulement les diverses opérations de l'arithmétique, mais encore, dans beaucoup de cas, la résolution numérique des équations : il imagine des procédés quel- 1 quefois remarquables pour résoudre une multitude de questions diverses que l'on traite ordinairement à l'aide -de l'algèbre et détermine, à sa manière, les valeurs exactes ou approchées des nombres entiers ou fractionnaires qui doivent remplir des conditions indiquées. ”

“ Ne pouvant le retenir dans les classes où il n'apprenait rien, et où le plus souvent il semait le désordre, je le laissai selon son désir, scier du bois, ou remuer le sable du gymnase, en se livrant à ses.
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exercices de calcul; il fit ainsi et apprit par coeur les carrés et les cubes des 500 premiers nombres ; ils'exerça à faire des sommations de séries de nombres et de carrés. De cette manière il acquit des connaissances arithmétiques que je n'aurais point songé à lui donner encore. IF reconnut les différents caractères de divisibilité ”

“ On appelle en général quantité tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution. L'étendue, la durée, le poids, etc., sont des quantités. Tout ce qui est quantité est de l'objet des mathématiques; mais l'arithmétique, qui fait partie de ces sciences, ne considère les quantités qu'en tant qu'elles sont exprimées en nombres.
2. L'arithmétique est donc la science des nombres : elle en considère la nature et les propriétés, et son but est de donner des moyens faciles , tant pour représenter les nombres , que pour les composer et décomposer, ce qu'on appelle calculer. ”

“ Vous l'avez accusé d'établir une comparaison entre des quantités hétérogènes ; d'avoir au numérateur de sa fraction une masse, tandis qu'il avait au dénominateur une masse multipliée par une vitesse. Vous l'avez accusé d'avoir laissé de côté, pour les assiégés, le multiplicateur dépendant de la vitesse! Toutes ces accusations sont erronées. Vous n'avez pas su, ou vous avez oublié que tout nombre, entier ou fractionnaire, positif ou négatif, réel ou imaginaire , a pour multiplicateur l'unité, que par conséquent l'A + B de la formule équivalait à (A + B) X 1. ”

“ MÉTHODE. Pour multiplier l'un par l'autre deux nombres composés, il faut écrire le multiplicateur sous le multiplicande, de manière que les unités du même ordre soient dans une même colonne; souligner le multiplicateur ; puis, à partir de la droite, multiplier tout le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur ; écrire le premier chiffre à droite de chaque produit partiel dans le rang du chiffre par lequel on multiplie, et les autres chiffres successivement dans les rangs suivans ,• enfin, faire la somme de tous les produits partiels. ”

“ Ces moyens consistent à réduire le calcul des nombres les plus composés à celui de nombres plus simples, ou exprimés par le plus petit nombre de chiffres possible. C'est ce qu'il s'agit d'exposer actuellement.
De l'Addition des Nombres entiers et des Parties décimales.
33. Exprimer la valeur totale de plusieurs nombres par un seul est ce qu'on appelle faire une addition.
Quand les nombres qu'on se propose d'ajouter n'ont qu'un seul chiffre, on n'a pas besoin de règle ; mais lorsqu'ils ont plusieurs chiffres, on trouve leur valeur totale qu'on appelle somme, en observant la règle suivante. ”

“ Eh bien ! dès qu'il fut posé, la solution fut donnée. L'interrogateur était M. Courtial, examinateur des écoles spéciales et professeur de mathématiques à l'école industrielle de la rue de Charonne.
Or voici toute son opération;—les mathématiciens pourront en chercher les causes ; ce n'est pas dans une biographie que j'en puis faire la démonstration. —Prenez le dénominateur de la fraction, retranchez-en un : vous avez le nombre de personnes. Multipliez ce nombre par le nombre de litres pris par le premier, c'est-à-dire par 100, et vous aurez vos quantités égales prises par chacun. ”

“ Des équations dans lesquelles se trouvent la troisième, la quatrième puissance d’une quantité x, etc., peuvent être respectivement satisfaites par trois ou par quatre nombres, etc.... jamais davantage. Quelquefois, aucun nombre ne satisfait aux conditions posées par l’équation ; le calcul, convenablement exécuté, ne tarde pas à l’indiquer ; il donne ce qu’on appelle des solutions, autrement dit des racines imaginaires. ”

“ Et pourtant cette rencontre du calcul et de l’expérience produit toujours, même chez les plus endormis, une attente et un ravissement. C’est par là qu’est sensible la puissance des mathématiques, même dans les choses les plus simples ; et c’est un moyen d’intéresser les passions au calcul. ”

“ Un nombre concret est celui qu'on énonce en désignant l'espèce d'unité. Exemple : 8 maisons, 54 arbres, 25 francs, etc.
12. On appelle calcul les procédés employés pour augmenter, diminuer, combiner les nombres les uns avec les autres.
13 On appelle opérations arithmétiques les divers changements que l'on fait subir aux nombres pour les composer ou les décomposer.
14. Les opérations fondamentales sont au nombre de quatre : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Deux de ces opérations servent, à augmenter les nombres, l'addition et la
multiplication ”

“ Il est clair que, si la condition pour l'ordre du dernier chiffre du produit est remplie quand on considère, par exemple, les plus hautes unités du multiplicande comparées au chiffre correspon- dant du multiplicateur, elle sera également remplie si l'on considère les plus hautes unités du multiplicateur comparées au chiffre correspondant du multiplicande. On conclut de là que l'on ne change rien à l'approximation du produit en intervertissant l'ordre
des facteurs, pourvu qu'on cherche toujours à calculer le même ordre de décimales. ”

“ REMARQUE. La décomposition en facteurs premiers constitue un véritable système de numération des nombres entiers, au moyen duquel tous peuvent être exprimés, et ne peuvent l'être que d'une seule manière. Ce système, fort incommode pour les opérations les plus simples, se prête quelquefois très-facilement aux opérations plus compliquées de l'arithmétique. Nous exposerons quelques-unes de ses applications; mais il convient d'abord d'indiquer le moyen de décomposer un nombre en facteurs premiers, car, jusqu'ici, nous nous sommes bornés à en montrer la possibilité. ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ L'Astronomie y trouve des ressources infinies ; & la Géométrie, ne peut presque s'en passer.
La commodité du calcul, & celle que donne le choix d'une Progression arithmétique quelconque, a fait préferer à toute autre, la progression décimale ; c'est-à-dire, celle ou chaque nombre est décuple de celui qui le précéde : & nous donnons à la progression arithmétique, une fuite immédiate des nombres naturels, commençant par zéro. Ainsi, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9, &c. Et par ce moyen, le Logarithme de 1, est zéro ”

“ Il ne s'agit plus maintenant, que d'appliquer ces fractions aux Regles de l'Arithmétiques. Elles y sont presque les mêmes, que celles des entiers. Premierement à l'égard de l'addition, & de la soustraction, on arrange de la même maniere, les uns fous les autres, les chiffres d'un même rapport; c'est-à-dire, les primes sous les primes ; les secondes, fous les secondes ; les tierces, fous les tierces, &c ; & l'on porte dans l'addition le nombre de dixaines, qui se trouve dans une colonne de chiffres, à la colonne subséquente, qui
lui sont autant d'unitez. ”

“ La notion de nombre incommensurable sera déduite de la mesure des grandeurs ; on pourra définir les nombres incommensurables soit par des suites, soit par des coupures opérées dans l'ensemble des nombres rationnels. Il ne sera pas nécessaire de donner une théorie complète des opérations sur ces nombres, et l'on pourra admettre qu'elles sont soumises aux mêmes règles que les opérations élémentaires de l'arithmétique. L'essentiel est que les élèves sachent dans quels cas de tels nombres se trouvent définis, et comment ils interviennent dans les calculs numériques. ”

“ Mettez les plus hautes unités de l'un des facteurs en ligne verticale avec celui des chiffres de l'autre facteur qui, multiplié par ces unités, donne le chiffre de l'ordre qu'on veut calculer, puis renversez les chiffres du multiplicateur à droite et à gauche. ”

“ Définition. — On appelle numération la partie de l'arithmétique qui apprend : 1° à former les nombres, 20 à les nommer, 3° à les écrire. Nous allons nous occuper successivement des trois parties dont se compose la numération.
12. Formation des nombres. — L'unité est un nombre (7) .
Si l'on ajoute l'unité à elle-même, on a un nouveau nombre; si à celui-ci on ajoute l'unité, on a le suivant, et ainsi de suite. Donc pour
avoir un nouveau nombre, il suffit d'ajouter l'unité à un nombre déjà obtenu. ”

“ Le calcul est, avons-nous déjà dit, une très bonne chose, un outil de première utilité en matière de construction mécanique, mais il ne faut pas, répéterons-nous, s'exagérer sa valeur lorsqu'on veut l'appliquer à la détermination de coefficients particuliers, souvent variables. ”

“ Numération, opérations fondamentales; caractères de divisibilité ; nombres premiers et nombres premiers entre eux ; théorie du plus grand commun diviseur entre deux ou plusieurs nombres ; décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers, exposé des différents systèmes de numération; opérations sur les fractions ordinaires et sur les fractions décimales; conversion des fractions ordinaires en fractions décimales et réciproquement; opérations sur les nombres complexes; extraction des racines carrées et cubiques, des nombres entiers et des fractions ; système métrique. ”

“ On met à l'ordinaire, chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement, comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul, les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. ”