Logarithme

“ Généralement le logarithme de telle puissance qu'on voudra d'un nombre donné, c'est-à-dire du produit de tant de facteurs égaux à ce nombre qu'on voudra, est égal au produit du logarithme de ce nombre par l'indice de la puissance, c'est-à-dire par le nombre des facteurs égaux qui servent à former la puissance. ”

“ LOGARITHMES. On appelle ainsi, en mathématiques, des nombres en progression arithmétique, qui répondent, terme pour terme, à des nombres en progression géométrique. On s'en sert pour simplifier les calculs et les rendre plus exacts. Ainsi, pour faire une multiplication, on fait la somme des logarithmes du multiplicande et du multiplicateur, et l'on cherche dans une table dressée à cet effet le logarithme qui est égal à cette somme. ”

“ Je commence hardiment par la plus sauvage des fonctions transcendantes, le logarithme ! Si j’en emprunte la définition à l’algèbre, le logarithme d’un nombre est la puissance à laquelle il faut élever une base numérique fixe pour reproduire ce nombre. Mais d’abord qu’est-ce qu’une puissance, qu’est-ce qu’une base ? C’est tout un cours d’algèbre à faire ! Avis à ceux qui trouvent que je ne mets pas assez de formules mathématiques dans mes articles. ”

“ Quand on considère deux progressions, l'une par différence commençant par 0, l'autre par quotient commençant par l'unité, les termes de la progression par différence sont nommés les logarithmes des termes de même rang dans la progression par quotient.
REMARQUE. Le logarithme d'un nombre considéré isolément, est tout à fait arbitraire. Si l'on demande : quel est le logarithme de 3? cette question n'a aucun sens tant que l'on n'a pas choisi les progressions qui définissent le système dont on veut parler. ”

“ REMARQUE, Dans le cas où l'on considère un produit de plus de deux facteurs, comme chaque logarithme est approché à moins d'un demi-cent-millième, les erreurs pourraient en s'accumulant donner plus d'un cent-millième alors le logarithme du produit pourra ne pas se trouver exactement dans la table. Il en sera de même quand on élèvera un nombre à une puissance d'un degré assez élevé, parce que l'erreur du logarithme se trouvera multipliée par le degré de la puissance. ”

“ On multiplie plusieurs nombres en ajoutant leurs logarithmes; on divise en retranchant du logarithme du dividende celui du diviseur ; on élève un nombre à une puissance en multipliant le logarithme du nombre par l'exposant de la puissance, enfin on extrait la racine d'un nombre en émisant le logarithme du nombre par l'indice de la racine. ”

“ J'ajoute deux unités à la caractéristique pour le rendre cent fois plus grand , et j'ai 3.894252 qui est le logarithme cherché. On voit donc qu'avec le secours de cette simple table des nombres naturels de 1 à 100, il est possible d'obtenir les logarithmes de tous les nombres compris dans les quatre premières décades des tables ordinaires.
36. La recherche des logarithmes des nombres qui ne se trouvent point dans les tables n'est pas moins importante que les précédentes, car pour la division, pour l'extraction des racines, il arrive rarement qu'on obtienne pour résultat un nombre entier. ”

“ Aussi, par la même raison, lorsqu'on résout une fonction en série suivant les puissances d'une même quantité, il-peut se trouver quelquefois le logarithme de cette quantité entre les puissances positives et les puissances négatives de la même quantité, lorsque la fonction elle-même contient des logarithmes.
Ainsi, si la fonctionn f (x) contient des logarithmes, le développement de f (x+i) pourra contenir, dans le cas particulier de x=a, des termes de la forme im (logi) n, et les fonctions dérivées f' (x+i) ”

“ QUOIQUE l'usage des logarithmes et des nombres fixes dans les calculs de change soit expliqué dans ce volume; cependant des éclaircissemens et des exemples nouveaux ne seront pas inutiles.
L'emploi des logarithmes dans toutes les sciences diminue le travail, en réduisant à une addition ou à une soustraction la multiplication et la division des nombres ordinaires. Par conséquent, dans le calcul d'une règle conjointe, si l'on ajoute les logarithmes des conséquent, et que de leur somme on retranche le montant des logarithmes des antécédens, la diffétence sera le logarithme de la réponse. ”

“ Il est toujours facile de satisfaire à ces conditions. En effet, si le nombre dont on cherche le logarithme est plus petit que 1, on le multipliera par 1Q, 100, 1000, etc., de manière à obtenir un produit plus grand que l'unité, et qui, par conséquent, aura un logarithme ; puis, à la fin de l'opération, on tient compte du facteur employé.
Enfin, pour remplir la seconde condition, si le résultat demandé est plus petit que l'unité, on calcule un nombre 10, 100, 1000, etc., fois plus grand, puis on divise le résultat obtenu par le multiplicateur employé. ”

“ L’empreinte du hasard est marquée, très curieusement quelquefois, dans les nombres déduits des lois les plus précises. Une table de logarithmes en témoigne. Pour 10,000 nombres successifs, dans les tables à 10 décimales de Véga, je prends la septième figure du logarithme : rien dans ce choix n’est laissé au hasard. L’algèbre gouverne tout, une loi inflexible enchaîne tous les chiffres. Si l’on compte cependant les résultats, on aura, à très peu près, sur 10,000, mille fois le chiffre 0, mille fois le chiffre 1 et ainsi des autres ; la formule se conforme aux lois du hasard. ”

“ On a donc multiplié par 10000 la fraction correspondante à ce logarithme soustrait. Donc le nombre qu'on obtient est 10000 fois trop grand. Donc, etc.
La théorie des logarithmes étant une des plus importantes des mathématiques, en raison de la grande utilité de ceux-ci dans les calculs ordinaires, comme dans les plus compliqués, il importe de l'étudier jusqu'à ce que l'on soit à même de les employer avec une grande habileté. ”

“ EXTRAIT DE DEUX LETTRES DE M. CH. HERMITE A M. ED. WEYR.
REMARQUE SUR LA DÉFINITION
DU
LOGARITHME DES QUANTITÉS IMAGINAIRES.
Casopis, t. XXII, 1892-1894, p. 225.
Il s'agit de la définition du logarithme des quantités imaginaires, qu'on fait résulter de l'équation sui vante :
où l'angle 11 est déterminé par les égalités
de sorte qu'on obtient une infinité de valeurs. On arrive au contraire à une détermination unique, si l'on part de l'intégrale
en faisant décrire une ligne droite à la variable, depuis l'origine jusqu'au point dont l'affixe est x. ”

“ Pour trouver le logarithme d'un nombre quelconque (plus grand que l'unité) , après avoir écrit la caractéristique d'après le nombre des chiffres de la partie enlière, on cherche les quatre prenaiers chiffres à gauche dans la colonne des nombres; on .trouve à côté et à droite une partie décimale que l'on écrit à part; on multiplie la différence tabulaire qu'on trouve un peu au-dessous dans la colonne intitulée D, par l'ensemble des autres chiffres du nombre proposé ”

“ Pour élever au carré, au cube, à la quatrième; à la cinquième, etc., puissance un nombre donné, il faut ajouter son logarithme une fois, deux fois, trois fois, quatre fois, etc., à lui-même; ce qui revient à le multiplier par 2 , par 3, par 4, par 5, par , etc. ”

“ On trouvera, au surplus, dans le premier volume de ce recueil (page 18) de très-amples développemens sur le parti que l’on peut tirer de la formule (4) , dans le calcul des tables de logarithmes.
II. Le logarithme de l’unité étant nul, dans tout système de logarithmes, on est fondé à supposer, quel que soit ,
(6) étant des coefficiens inconnus qu’il s’agit de déterminer. ”

“ Ou si l’on préfère, écrivons 10,000 nombres, correspondant à nos 10,000 logarithmes ; chacun de ces nombres étant égal à +1 si la troisième décimale du logarithme correspondant est paire, et à −1 dans le contraire. ”

“ Quand on fait ainsi rentrer un nombre dans les limites de la table, il faut toujours le garder le plus grand possible. Quand le nombre a moins de 4 chiffres, on peut trouver le logarithme en le traitant comme un nombre de 4 chiffres ou en le cherchant directement au-dessous de 1000. ”

“ Si, par exemple, il s’agit d’un produit de facteurs, on prendra pour le nombre répondant au logarithme final le signe ou le signe suivant que le nombre des facteurs négatifs sera pair ou impair. S’il s’agit d’une puissance, on se réglera sur le signe de la racine et la nature de l’exposant qui pourront souvent conduire à rejeter comme faux le résultat obtenu. C’est, par exemple, ce qui arriverait, si l’on avait à calculer par logarithmes le résultat devrait être rejeté comme faux, à cause de la nature imaginaire de l’expression proposée. ”

“ Donc, puisque les nombres naturels qui composent la première colonne de la table ci-dessus ont été tirés d'une progression géométrique qui commence par l'unité, et puisque leurs logarithmes sont les termes correspondants d'une pro-
gression arithmétique qui commence par zéro, il faut en conclure, qu'en ajoutant les logarithmes de deux nombres, on a le logarithme de leur produit. ”

“ VI. Pour écrire promptement les logarithmes sans les copier chiffre par chiffre, il est bon d'observer la manière dont ils sont disposés dans la Table : un logarithme de sept chiffres est divisé en deux groupes, le premier de trois chiffres, le second de quatre , qu'il faut énoncer séparément et écrire successivement. ”