Joseph-Louis Lagrange

“ Parmi ces jeux de son génie qui cherchait des difficultés pour mieux montrer sa force, se rangerait encore le Mémoire ou il indique les moyens de construire les Tables astronomiques, d’après une suite d’observations, et sans connaître la loi des mouvements célestes. C’est le problème que résolvaient de tout temps les Astronomes, par les voies les plus élémentaires. Les moyens de Lagrange sont plus analytiques et plus savants ; mais dans l’exemple même qu’il a choisi, et qui est des plus simples, il est permis de douter que les moyens qu’il emploie soient les plus sûrs et les plus faciles. ”

“ Si les équations primitives singulières ont moins d'étendue que les équations primitives proprement dites, parce qu'elles ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un autre point de vue, comme plus générales que celles-ci, parce qu'une même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d'équations dérivées; et c'est un problème indéterminé de trouver une équation dérivée qui ait une équation primitive singulière donnée. ”

“ C’est l’objet que se propose M. Lagrange ; il analyse les méthodes connues, en démontre l’incertitude et l’insuffisance ; il réduit le problème à la détermination d’une quantité plus petite que la plus petite différence entre les racines. C’est beaucoup. On ne peut trop admirer la science analytique qui brille partout dans cet Ouvrage ; mais, malgré toutes les ressources du génie de Lagrange, on ne peut se dissimuler que le travail ne soit encore bien long, et les calculateurs continueront sans doute de donner la préférence à des moyens moins directs et plus expéditifs. ”

“ À la surface extérieure du fluide la pression doit être nulle, lorsque le fluide est libre ; mais si le fluide est pressé par une force donnée, alors la valeur de doit être égale à cette force.
Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le fluide se meuve uniquement en vertu de sa gravité ; ainsi la quantité devra être nulle à sa surface extérieure ; par conséquent sera l’équation de cette surface. ”

“ Dans l'Algèbre ordinaire, on distingue simplement les quantités en connues et inconnues, et l'on a coutume de désigner les unes par les premières lettres de l'alphabet, et les autres par les dernières. L'application de l'Algèbre à la théorie des courbes a fait d'abord distinguer les quantités qui entrent dans l'équation d'une courbe en données, telles que les axes, les paramètres, etc., et en indéterminées, telles que les coordonnées. ”

“ La manière la plus naturelle de trouver l'équation primitive d'une équation d'un ordre quelconque est de la préparer de façon que son premier membre devienne une fonction dérivée exacte; car alors il n'y aura qu'à prendre sa fonction primitive et y ajouter une constante pour avoir l'équation primitive d'un ordre inférieur; et, en opérant ainsi successivement, on pourra parvenir à l'équation primitive entre les deux variables et autant de constantes arbitraires que l'ordre de la proposée le comportera. ”

“ Or dans les fluides compressibles la densité est toujours donnée par une fonction connue de dépendante de la loi de l’élasticité du fluide et de celle de la chaleur qui est supposée régner à chaque instant dans tous les points de l’espace. Ainsi, combinant les trois équations précédentes avec l’équation générale de la densité (4) , on aura quatre équations aux différences partielles entre les quatre inconnues et les variables lesquelles équations contiendront toute la Théorie du mouvement des fluides compressibles et élastiques. ”

“ Pour cela, je considère d'abord l'équation générale du plan z = ax + by + c,
dont la position par rapport aux trois plans rectangulaires des x, y, des x, z et des y, z est déterminée par les constantes a, b, c. Car il est facile de prouver que a est la tangente de l'angle que l'intersection de ce plan avec le plan des x et z fait avec l'axe des x; que b est la tangente de l'angle que l'intersection du même plan avec l'autre plan des y et z fait avec l'axe de y; enfin que ce plan passe par le point de l'axe des z, qui est éloigné de l'origine commune des trois axes de la quantité c. ”

“ L’École Normale, dont il fut nommé Professeur, mais qui n’eut qu’une existence éphémère, lui donna à peine le temps d’exposer ses idées sur les fondements de l’Arithmétique, de l’Algèbre et de leurs applications à la Géométrie.
L’École Polytechnique, fruit d’une idée plus heureuse, eut aussi des succès plus durables ; et parmi les meilleurs effets qu’elle a produits, nous pouvons mettre au premier rang celui d’avoir rendu M. Lagrange à l’Analyse. ”

“ On peut regarder Fermat comme le premier inventeur des nouveaux calculs. Dans sa méthode de maximis et minimis, il égale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum à l'expression de la même quantité, dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions s'il y en a, et, après avoir effacé les termes communs dans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée par laquelle ils se trouvent multipliés ”

“ Depuis la découverte du Calcul infinitésimal, la facilité, l’universalité de la méthode, qui souvent dispense le calculateur d’avoir du génie, a fait que dans les cas plus difficiles on s’est appliqué principalement à perfectionner l’instrument universel. Mais aujourd’hui que les ressources de ce genre paraissent entièrement épuisées par les travaux d’Euler, de Lagrange et de leurs dignes émules, il serait temps peut-être de revenir à l’ancienne méthode, et d’imiter D. Bernoulli, que Condorcet a loué de s’être montré sobre de calculs. ”

“ Il est évident que l'équation à l'ellipse, qui est sans constante arbitraire, n'est que l'équation primitive singulière de l'équation du premier ordre, donnée par les conditions du problème, puisqu'elle résulte du facteur du même ordre qui multiplie la dérivée de la même équation et que l'équation à la ligne droite, qui vient de l'autre facteur du second ordre, est donnée par l'équation primitive complète, avec une constante arbitraire, conformément à la théorie développée dans la Leçon seizième. ”

“ Euler sentit le mérite de la nouvelle méthode, qu’il prit pour l’objet de ses méditations les plus profondes ; d’Alembert ne se rendit pas. Dans ses lettres particulières, comme dans ses Mémoires imprimés, il proposait de nombreuses objections, auxquelles Lagrange a répondu depuis, mais qui peuvent au moins laisser ce doute : Comment, dans une science à laquelle on accorde universellement le mérite de l’exactitude, se peut-il que des génies du premier ordre soient divisés entre eux et puissent disputer longtemps ? ”

“ Jusqu'ici nous n'avons cherché que la ligne la plus courte parmi toutes les lignes possibles qu'on peut mener entre des points, ou des lignes, ou des surfaces données; problème que la simple Géométrie peut résoudre, parce qu'on sait que dans un plan la ligne la plus courte est la ligne droite. Mais, si l'on demande en général la ligne la plus courte sur une surface quelconque donnée, le problème dépend alors essentiellement de la méthode des variations, et les formules trouvées ci-dessus s'y appliquent avec la même facilité. ”

“ Si Borda fût sorti le premier, Lagrange m’en eût dit autant sans doute de son confrère, homme de sens et de beaucoup d’esprit, qui, comme Lagrange, ne changeait pas volontiers les idées qu’il n’avait adoptées qu’après un mûr examen.
Souvent on remarquait dans son ton une légère et douce ironie, sur l’intention de laquelle il était possible de se méprendre, et dont je n’ai pas vu d’exemple que personne ait pu se tenir offensé ; ainsi il me disait un jour : « Ces Astronomes sont singuliers ; ils ne veulent pas croire à une théorie, quand elle ne s’accorde pas avec leurs observations. » ”

“ Ce fut pour eux une bien bonne fortune que le système du monde, découvert par Newton. Jamais l’Analyse transcendante ne pouvait trouver un sujet plus digne et plus grand ; quelques progrès qu’on y fasse, le premier inventeur conservera son rang ; aussi M. Lagrange, qui le citait souvent comme le plus grand génie qui eût jamais existé, ajoutait-il aussitôt : et le plus heureux ; on ne trouve qu’une fois un système du monde à établir. ”

“ De même, en regardant l'espace parcouru comme fonction du temps, la vitesse en est la fonction prime et la force accélératrice en est la fonction seconde. Ce n'est peut-être pas un des moindres avantages du Calcul des fonctions de fournir, pour ces éléments de la Géométrie des courbes et de la Mécanique, des expressions aussi simples et intelligibles que le sont les expressions algébriques des puissances et des racines. ”

“ Cette belle découverte m’a causé d’autant plus d’admiration qu’elle est plus différente des méthodes que j’avais données et qu’elle les surpasse considérablement en simplicité. C’est ainsi qu’Euler commence le Mémoire dans lequel il expose, avec sa lucidité ordinaire, les fondements de la méthode de son jeune rival, et la théorie de ce nouveau calcul, qu’il a nommé le calcul des variations. ”

“ C'est proprement dans ce dernier Ouvrage qu'Euler a donné une solution générale et complète du problème des isopérimètres. Pour trouver les conditions du maximum ou minimum, il se contente de faire varier une seule ordonnée de la courbe, et il en déduit la valeur différentielle de la formule, qui doit être un maximum ou un minimum, en substituant à la place des différentielles de l'ordonnée les différences successives des données consécutives, et à la place des expressions intégrales les sommes des éléments répondant à toute l'étendue de la courbe. ”

“ Le développement des fonctions, envisagé d'une manière générale, donne naissance aux fonctions dérivées de différents ordres; et, l'algorithme de ces fonctions une fois trouvé, on peut les considérer en ellesmêmes et indépendamment des séries d'où elles résultent. Ainsi, une fonction donnée étant regardée comme primitive, on peut en déduire par des règles simples et uniformes d'autres fonctions que j'appelle dérivées; et, lorsqu'on a une équation quelconque entre plusieurs variables, on peut passer successivement aux équations dérivées, et remonter de celles-ci aux équations primitives. ”

“ Mais, s’il y a des vitesses imprimées au fluide au commencement du mouvement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront telles, que
soit une quantité intégrable ou non ; dans le premier cas la quantité
sera toujours intégrable, et dans le second elle ne le sera jamais.
Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, on peut démontrer que
doit être intégrable dans le premier instant. ”

“ L’Académie des Sciences de Paris avait proposé pour le sujet d’un de ses prix la théorie de la libration de la Lune, c’est-à-dire qu’elle demandait la cause qui fait que la Lune, en tournant autour de la Terre, lui montre toujours cependant la même face, à la réserve de quelques variations observées par les Astronomes et dont Cassini Ier avait fort bien expliqué le mécanisme. ”

“ Or, si l'on fait
et qu'on détermine a en fonction de x, y, z, de manière que les deux équations dérivées restent les mêmes que si a ne variait pas, ce qui donne l'équation primitive générale, il est visible que cette équation représentera une surface tout à fait différente, mais qui aura, en chaque point, le même plan tangent que si la quantité a demeurait constante, puisque les expressions des quantités (z' x') et (z' y') restent les mêmes. ”

“ Désignons par Ûo et Ù, les valeurs de U̇ qui répondent à la première et à la seconde limite, dans lesquelles x aura des valeurs données, et représentons de la même manière les valeurs des autres quantités dans ces limites; on aura cette équation particulière aux limites U̇t — U̇0 = o,
savoir
à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxima et minima du genre ordinaire; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les constantes arbitraires que la valeur de y en x pourra admettre. ”

“ Satisfaits d’avoir écarté les difficultés plus réelles, ils s’inquiètent trop peu de l’embarras où ils laissent les calculateurs et du travail que doit leur imposer l’usage de la formule, même après qu’elle a été convenablement réduite. Nous n’oserions assurer que Lagrange n’ait pas été le plus souvent de cette opinion. Plus d’une fois il a exprimé ouvertement son vœu de voir encourager les recherches purement analytiques ; et, même quand il paraît se proposer la plus grande facilité des calculs usuels, c’est encore l’Analyse principalement qu’il perfectionne. ”

“ Ainsi, dès qu'on aura trouvé, par la considération du premier terme du développement, des règles générales pour passer d'une fonction primitive à la fonction dérivée, on pourra faire abstraction de tout développement, et regarder la dérivation des fonctions comme une nouvelle opération d'Algèbre plus générale et d'une beaucoup plus grande étendue que l'élévation aux puissances. ”

“ On pourra donc aussi traiter l’équation des ondes par les méthodes que l’on a déjà employées dans la Théorie de la propagation du son, et l’on expliquera par ces mêmes méthodes les phénomènes singuliers de la propagation uniforme des ondes, de son indépendance des ébranlements primitifs de l’eau, du mélange et de la réflexion des ondes, etc., ainsi que je l’ai fait autrefois à l’égard des ondes sonores dans les deux premiers tomes des Mémoires de l’Académie des Sciences de Turin [3] . ”

“ Les premières tentatives pour déterminer le maximum et le minimum dans toutes les formules intégrales indéfinies avaient été faites à l’occasion de la courbe de la plus vite descente et des isopérimètres de Bernoulli. Euler les avait ramenées à une méthode générale, dans un ouvrage original, où brille partout une profonde science de calcul ; mais quelque ingénieuse que fût sa méthode, elle n’avait pas toute la simplicité qu’on peut désirer dans un ouvrage de pure analyse. L’auteur en convenait lui-même ”

“ Pour cela, on remarquera que la courbe formée par l'intersection continuelle d'une série de courbes infiniment peu différentes l'une de l'autre n'est autre chose que la courbe qui embrasserait ou toucherait toutes ces courbes, et qui aurait, par conséquent, dans chacun de ses points, une tangente commune avec une de ces mêmes courbes. Or, soit
l'équation générale des courbes dont il s'agit, a étant le paramètre, qui est constant dans chacune d'elles, mais qui varie de l'une à l'autre ”

“ Nous supposerons pour cela que le fluide dans son mouvement ne s’élève ni ne s’abaisse au-dessus ou au-dessous de son niveau qu’infiniment peu, en sorte que les ordonnées de la surface supérieure soient toujours très-petites, et qu’outre cela les vitesses horizontales et soient aussi infiniment petites. Il faudra donc que les quantités soient infiniment petites, et qu’ainsi la quantité elle-même soit infiniment petite. ”