Limite (mathématiques)

“ Toute la difficulté du problème se réduirait évidemment à savoir déterminer sans résoudre aucune équation, 1.o les limites extrêmes des valeurs de chacune des inconnues ; 2.o une limite au-dessous de laquelle ne pût tomber la différence entre deux valeurs de chacune de ces mêmes inconnues. ”

“ Or, une limite ne peut être saisie empiriquement, puisque c’est le terme purement idéal vers lequel tend une quantité qui est supposée croître ou décroître indéfiniment. Les lois mathématiques supposent une élaboration très complexe. ”

“ Ces lignes qui répondent aux diverses valeurs de la constante, sont ce qu’on appelle les Caractéristiques de la surface limite. Comme elles se succèdent suivant une loi uniforme, on peut demander de déterminer la courbe à laquelle elles sont toutes tangentes, et qui est dite l’arête de rebroussement de la surface limite, Voici par quelles considérations on obtiendra cette courbe.
Soit la courbe cherchée ; soit celle des caractéristiques qui répond à la valeur de la constante, cette caractéristique touchant au point Soit de plus celle des caractéristiques qui répond à la valeur ”

“ Si l’on veut faire entrer le premier terme dans ces transformations ; il me paraît qu’alors il est nécessaire de vérifier la limite à laquelle on parvient ; en examinant si le groupe, plus la somme des termes positifs qui pourront le suivre immédiatement, donnent un nombre plus grand que la somme des termes négatifs suivans : afin qu’au de là de cette limite, le résultat général demeure toujours positif. Par exemple, dans notre équation ci-dessus, après avoir trouvé 5 pour limite, il faudrait s’assurer si cette limite donne ce qui n’est pas ”

“ Il y avait alors une limite asymptotique, rigoureusement assignable par le calcul, tandis qu’ici la série de valeurs à laquelle nous venons de parvenir ne permet guère de rien soupçonner de semblable [3] . ”

“ Au moyen de ces résultats, l’équation (2) devient
(3) mais, en intégrant par parties, il vient
à la limite on a à la limite on a
parce que est le produit de facteurs du premier degré par rapport à on aura donc
ce qui rend identique l’équation (3) qu’il s’agissait de vérifier. ”

“ Rien ne sera plus facile ensuite que de l’exposer d’une manière générale.
Soit donc l’équation du 9.me degré
(1) dans laquelle les signes sont supposés en évidence ; et proposons-nous d’obtenir une limite supérieure de ses racines. ”

“ Il est facile de démontrer que, quelque loin que l’on pousse l’opération, on aura constamment Ainsi, dans cette construction, tandis que la limite des angles est zéro, comme ci-dessus, loin que le point vienne, à cette limite, tomber sur il demeure au contraire à une distance constante de cette droite. ”

“ Pour mieux étudier l’indétermination de la limite de , il faudrait déterminer l’ensemble de toutes les valeurs limites de [24] . Pour le cas de l’intégrale, on a cette propriété que je me contenterai d’énoncer : Tout nombre compris entre les intégrales par excès et par défaut est l’une des limites des sommes , quand tend vers zéro [25] .
↑ Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique (Bulletin des Sciences mathématiques, 1873 et Œuvres de Riemann) . ”

“ PASSIONS L’amitié et l’amour, qui agissent dans une sphère circonscrite, qui se préoccupent exclusivement de la génération présente, d’un nombre limité d’individus, sont représentés par le cercle et l’ellipse, courbes finies, fermées, embrassant un espace nettement circonscrit.
La parabole et l’hyperbole, au contraire, sont des courbes qui ne se terminent pas, qui s’allongent indéfiniment, comme le familisme qui songe aux arrière-neveux, comme l’ambition qui rêve la postérité. ”

“ Une limite supérieure d'une erreur relative est une fraction plus grande que l'erreur relative, et une limite inférieure est une fraction plus petite que l'erreur relative. On prend toujours une fraction décimale pour la limite ; par exemple, l'er1 reur relative d'un nombre est moindre que -——, cela veut 1000 dire que le nombre exact a été remplacé par un nombre approché et que l'erreur faite est moindre que la millième partie du nombre exact. ”

“ En particulier, toute fonction dérivée, limitee supérieurement en valeur absolue, étant de première classe, est sommable et l’on peut démontrer que son intégrale, considérée comme fonction de sa limite supérieure, est une de ses fonctions primitives. ”

“ La méthode des limites ou des premières et dernières raisons, ne dispense point de la distinction au moins tacite, de ces quantités désignées et non désignées; car la limité d'une quantité n'est autre chose que le terme dont cette autre quantité est supposée s'approcher continuellement, jusqu'à en différer aussi peu qu'on le veut. Cette limite est donc considérée comme fixe, et par conséquent comme une quantité désignée, tandis que l'autre pouvant s'approcher de cette limite autant qu'on le veut, reste toujours arbitraire ou non désignée, et ne peut entrer dans le résultat du calcul. ”

“ Soit une fonction ; la limite supérieure de , dans un intervalle , est un nombre tel que l’ensemble , formé des points de tels que soit supérieure à , existe dès que est inférieur à , tandis qu’il ne contient aucun point pour ; la limite inférieure de dans l’intervalle peut se définir de même. ”

“ La limite sert à distinguer, le nombre à mesurer. Le nombre est plus complexe que la limite; il caractérise le mode même de la limite.
La limite est plus simple, et ne détermine que la succession de l'être et du non-être.
La limite ne renferme en soi aucune notion de grandeur ni de comparaison, tandis que le nombre est, à la fois l'expression et la mesure de l'élément successif dans la durée. Enfin, la limite n'est que la borne opposée à l'évolution de l'être relatif, le contour qui en arrête l'expansion, tandis que le nombre est la signification et la mesure même de ce contour. ”

“ On voit encore par là que la notion de quantité infiniment petite n’est pas moins claire que celle de limite, puisque ce n’est autre chose que la différence de cette même limite à la quantité dont elle exprime la dernière valeur. ”

“ Et de là est née la méthode des limites dans laquelle on regarde le rapport des différences infiniment petites comme la limite du rapport des différences finies, et les équations différentielles comme les limites des équations aux différences finies.
Je ne disconviens pas qu'on ne puisse, de cette manière, démontrer la légitimité des résultats du Calcul différentiel; mais, quoique cette
marche paraisse directe et naturelle, le passage du fini à l'infini exige toujours une espèce de saut, plus ou moins forcé, qui rompt la loi de continuité et change la forme des fonctions. ”

“ Lorsqu'une quantité variable s'approche indéfiniment d'une quantité fixe, de manière à ce que la différence devienne aussi petite que l'on veut, la quantité fixe s'appelle la limite de la quantité variable. Ce qui précède nous en donne un premier exemple: si aux deux termes d'une fraction donnée on ajoute un même nombre de plus en plus grand, nous avons dit que la fraction variable ainsi obtenue se rapprochait de l'unité, de manière à ce que la différence devienne aussi petite que l'on veut : l'unité est donc la limite de la fraction variable. ”

“ Il est bien vrai que la forme et l’espace sont tous deux des limites ; mais ce ne sont pas les limites d’une même chose. La forme est la limite de la chose dont elle est la forme ; l’espace est la limite du corps qui contient la chose et la limite du contenant.
§ 16. Mais comme le contenu et le séparable peut très souvent changer, par exemple l’eau sortant du vase, tandis que le contenant subsiste et demeure, il semble que la place où sont successivement les corps, est un intervalle qui aurait sa réalité en dehors du corps qui vient à être déplacé. ”

“ Il est nécessaire que les valeurs auxquelles on parvient, en augmentant continuellement le nombre des termes, s'approchent de plus en plus d'une limite fixe, et ne s'en écartent que d'une quantité qui peut devenir moindre que toute grandeur donnée : cette limite est la valeur de la série. ”

“ Lorsqu'on remplace dans un calcul un nombre incommensurable par une fraction décimale approchée, l'erreur absolue ne peut pas être connue d'une manière exacte; on la remplace alors par ce qu'on appelle une limite de l'erreur absolue. On appelle ainsi un nombre plus grand que l'erreur. On exprime généralement cette limite par une unité ou une demi-unité de l'ordre du dernier chiffre conservé. ”

“ Si la courbe n’est assujettie à d’autres conditions que de rendre maximum ou minimum, entre les limites assignées, les fonctions et qui pourront fort bien d’ailleurs être liées entre elles et même déterminées à ces limites, devront être, dans tout le reste de l’intégrale, tout-à-fait indépendantes ”

“ On démontrerait de même que et tendent vers une même limite . On peut aussi remarquer que, si à la division et à l’ensemble des points du carré d’aire qui n’appartiennent pas à , on associe deux nombres et , analogues à et , on a
et l’existence, qui vient d’être prouvée, de la limite de montre l’existence de la limite de . Cette limite est l’étendue superficielle intérieure de , . ”

“ Désignons par Ûo et Ù, les valeurs de U̇ qui répondent à la première et à la seconde limite, dans lesquelles x aura des valeurs données, et représentons de la même manière les valeurs des autres quantités dans ces limites; on aura cette équation particulière aux limites U̇t — U̇0 = o,
savoir
à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxima et minima du genre ordinaire; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les constantes arbitraires que la valeur de y en x pourra admettre. ”

“ Théorème II. — Si l’on a deux suites
(1)
(2)
dont la première a pour limite un nombre , la condition nécessaire et suffisante pour que la seconde ait aussi pour limite est que ait pour limite 0.
1o La condition est nécessaire. Supposons que la suite (2) ait pour limite , comme la suite (1) . Soit un nombre positif, prenons et tels que
et. Quand surpasse un certain entier , on a
et. ”

“ Il fait penser, comme on l'a finement indiqué, à un mathématicien qui aurait bien compris que la sommation consiste à passer à la limite, mais qui, négligeant le renversement réflexif capable d'objectiver en résultat la tendance et son terme, se verrait incessamment rejeté de la limite où il voudrait s'installer à la simple tendance, et de celle-ci à la limite qui l'accomplit, sans jamais pouvoir se définir à lui-même sa propre opération. ”

“ Si, par exemple, on applique l'ancienne règle à l'équation 1 — 10X3 + 6x + 1 = o, dont Fourier s'est occupé, on trouve 8 pour limite supérieure des racines positives, tandis que notre règle conduit au nombre 4 ; il est d'ailleurs facile de voir que la nouvelle limite qui est généralement inférieure à l'autre, ne peut jamais être plus grande ”

“ Les limites de a et de r à partir desquelles s'opérera ce changement de situation de poteau sont faciles à trouver. Si j'appelle P la force maxima, je devrais avoir R = P, et, par suite, les formules
formules
La première donnera l'angle limite par son cosinus et la seconde le rayon limite. Pour tout angle ou tout rayon plus grands, il sera inutile d'accoupler; pour tout angle ou tout rayon plus petits, il faudra, au contraire, employer ce moyen de consolidation (1) . ”

“ Cela étant, la fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie ; car, soit une suite de points quelconques
ayant pour limite le point . Supposons définie en tous ces points. Prenons un champ auquel soit intérieur. Soit ; déterminons de manière que les conditions (5) entraînent (6) . Quand dépasse une certaine valeur , le point est intérieur à , et d’autre part on a
,,, d’où, par suite,
. ce qui montre que a pour limite .
On voit en résumé que le problème proposé est résolu et conduit à une fonction bien déterminée. ”

“ Ce principe, qui est de la plus grande utilité dans toutes les applications des mathématiques à la philosophie naturelle, doit être regardé comme un axiome, au même titre que le principe qui nous fait adopter la moyenne arithmétique des valeurs observées d’une même quantité comme la valeur la plus probable de cette quantité. ”

“ Au-delà de cette limite, on peut trouver des déterminans qui aient un exposant donné quelconque. Il est probable que les déterminans croissant toujours, le nombre de ceux qui sont irréguliers tend à être dans un rapport constant avec le nombre des déterminans réguliers. ”

“ D’ailleurs, pour lui, si tend vers une valeur déterminée quand tend vers , cette valeur limite est ; si ne tend pas vers une limite unique, est l’une quelconque des valeurs comprises entre la plus petite et la plus grande des limites de . ”

“ THÉORÈME II. Si trois variables constamment positives, sont liées entre elles par l’équation où sont également des quantités positives, telles qu’on a et dans laquelle est un nombre positif quelconque plus grand que l’unité ; et si ne pouvant varier qu’entre les limites peuvent d’ailleurs recevoir, entre ces limites, toutes les valeurs compatibles avec l’équation qui les lie ; et seront maximums, lorsqu’on aura et minimums, lorsqu’on aura
Démonstration. ”