Série trigonométrique

“ Démontrons, par exemple, cette dernière propriété ; soit f la limite des fonctions mesurables f1, f2, Désignons par En l'ensemble des points en lesquels on a a De là résulte, en particulier, qu'une série trigonométrique convergente ne peut représenter qu'une fonction mesurable ”

“ Donc, si l'on pose
la fonction φ (κ) égale f (κ) pour Cette formule d'interpolation trigonométrique est due à Clairaut qui a remarqué, de plus, qu'en faisant croître n, α'p tend vers la valeur αp définie par les formules du paragraphe précédent.
On peut traiter de même le cas d'une série de sinus; cela conduit à poser
la fonction ψ (κ) ainsi définie égale f (κ) pour ~2 ., (n — 1) Cette formule d'interpolation est due à Lagrange.
On a parfois considéré comme évident que φ ( x) et ψ (κ) tendent vers f (x) quand n augmente indéfiniment ”

“ Si l’on fait attention à la manière dont nous avons numéroté nos formules, on reconnaîtra qu’excepté les formules dans lesquelles les angles et les côtés qui leur sont respectivement opposés figurent de la même manière, toutes les formules de la trigonométrie sphérique sont doubles, et peuvent être distribuées en deux séries de telle sorte qu’on passera d’une formule de l’une quelconque des deux séries à sa correspondante dans l’autre série, en y remplaçant simplement les côtés par les supplémens des angles et les angles par les supplémens des côtés. ”

“ Nous devons de plus observer comme une propriété, secondaire aujourd'hui, mais capitale à l'origine, du système trigonométrique adopté, la circonstance très-remarquable que la détermination des angles par leurs lignes trigonométriques ou réciproquement, est susceptible d'une solution arithmétique, la seule qui soit directement indispensable pour la destination propre de la trigonométrie, sans avoir préalablement résolu la question algébrique correspondante. ”

“ La simplification à introduire dans l’enseignement de la trigonométrie consiste moins à en élaguer le superflu et à n’y conserver que le strict nécessaire qu’à changer la méthode et à ne pas s’attacher exclusivement à l’unité du plan. ”

“ Intégration. — Soit une fonction sommable
son intégrale F (x) =~ƒ (x) dx, étant à variation bornée (n° 11) , est représentable dans (o, 2π) par sa série de Fourier uniformément convergente (n" 40) , sauf autour de x ≡ o,
Faisons x = o ; en tenant compte de F (+ o) = o on trouve
d'où Ao; et, d'autre part, dans (o, 2π) ,
la série de Fourier de ƒ est donc intégrable terme à terme de o à x < 2π. ”

“ Au paragraphe VII du Mémoire de Riemann on lit: « Si les coefficients an et bn tendent vers zéro pour n croissant à l'infini, les termes de la série Ω [celle qui, peut-être, représente ƒ (x) ] finiront par devenir infiniment petits, quel que soit x; sinon, ils ne pourront le devenir que dans des valeurs particulières de x. » C'est le théorème du n° 57. Quant au théorème de du Bois-Reymond, il est admis, mais moins nettement, à la fin du paragraphe III et dans le paragraphe X. ”

“ Il est facile de trouver le logarithme d’une ligne trigonométrique lorsque l’angle ne contient que des degrés et des minutes. Par exemple, pour avoir on cherche la page en haut de laquelle on lit 21°. On descend ensuite dans la colonne des minutes à gauche de la page jusqu’au nombre , et on prend le nombre placé sur la même ligne horizontale que dans la colonne qui porte en tête le mot sinus. En diminuant ce nombre de 10 on a
. Si l’on veut la tangente de 68° 14′, on cherche la page au bas de laquelle on voit . On monte ensuite dans la colonne des minutes à droite de la page jusqu’au nombre . ”

“ La surface que nous considérons est engendrée par la courbe trigonométrique, qui répond à la base A, et se meut perpendiculairement à l'axe des x en suivant cet axe, pendant que chacune de ses ordonnées décroît à l'infini, proportionnellement aux puissances successives d'une même fraction. ”

“ Cas où l’on connaît seulement les angles d’un triangle.
La géométrie apprend qu’un triangle n’est pas déterminé quand on ne connaît que ses angles. La trigonométrie va nous conduire au même résultat. ”

“ Les points trigonométriques étant rapportés sur le croquis à l'aide des angles observés à chacun des points du réseau tétragonométrique, et en prenant pour départ un point trigonométrique et pour orientation l'azimut d'un côté de triangle (21) , il rapportera par intersection, en quelques instants, avec le secours du rapporteur et sans aucun chaînage préalable, autre que celui des côtés nécessaires pour calculer le réseau, toutes les lignes qu'il
devra calculer par la suite et chaîner pour lever le détail. ”

“ Le caractère général de convergence que l'on obtient est donc le suivant : la série ∑aicos ix est uniformément convergente dans tout intervalle ne contenant aucune valeur congrue à ~ (p entier ) si ai tend vers zéro et si l'une ou l'autre des deux séries ∑ Δnai, ∑Δn [ (—1 ) iai] est uniformément conver- gente. Un théorème analogue est vrai pour les séries de sinus. ”

“ Un nouveau calcul trigonométrique permettra de transformer ces coordonnées héliocentriques en coordonnées géocentriques. La comparaison et l'accord constant de ces valeurs ainsi calculées à l'avance avec les cordonnées observées de la Terre, c'est-à-dire déduites par un simple calcul trigonométrique des observations méridiennes, prouvent l'exactitude des lois de Képler. ”

“ Consulter sur ce problème une Note de Géométrie, par M. COMBIER, ingénieur en chef des ponts et chaussées. L'auteur donne une étude trigonométrique très complète de la question proposée, et en étudie plusieurs autres et notamment la détermination d'un triangle, connaissant les points G, I, 0, le centre de gravité, le centre du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit ; mais on ne peut pas construire le triangle en n'employant que la droite et le cercle. (Nouvelles Annales, 1870, p. 311, LEMOINE; et Jour-mal de Mathématiques élémentaires de MM. BOURGET et KOEIILER, 1879, pages 120 et 133.) ”

“ La triangulation , la formation du canevas trigonométrique , le tracé de la méridienne pour l'orientement du plan et son rattachement à ceux des territoires environnans ; le calcul des distances des points trigonométriques à cette méridienne et à sa perpendiculaire passant par un point donné, afin d'établir avec exactitude les divers points trigonométriques sur les feuilles destinées au rapport du plan ; la formation des croquis d'opération ; la manière de se servir des divers instrumens mis en usage pour lever les détails des plans parcellaires ”

“ A défaut de démonstration , j'ai donné la formule trigonométrique avec des exemples d'application que j'ai tâché de rendre assez clairs et intelligibles, pour que l'homme qui ne possède qu'à peine les premiers élémens de géométrie, puisse, sans incertitude, sans tâtonnemens, en faire utilement usage quel que soit le cas qui se présente dans la pratique , mais j'ai cru devoir placer, en forme de notes, l'analyse des principales démonstrations des théorèmes qui servent de base à l'art de lever les plans. ”

“ On doit remarquer aussi que toute formule de trigonométrie sphérique dans laquelle les arcs ne figurent que par leurs sinus ou leurs tangentes, et qui est homogène par rapport à ces deux sortes de fonctions, donne naissance à une formule de géométrie plane qu’on en déduit en substituant simplement les arcs à leurs sinus et tangentes et les considérant ensuite comme des lignes droites ; ce qui revient évidemment à supposer que le rayon de la sphère devient infini. ”

“ Lorsque les données du problème sont prises arbitrairement, la seule condition nécessaire pour que le triangle existe, quand l’angle A est obtus, est que le côté a soit le plus grand des deux côtés donnés. ”

“ On suppose dans ces formules que le rayon est égal à l'unité. — Comment on évalue en degrés un arc exprimé en parties du rayon. — Opération inverse. — Signes des lignes trigonométriques dans les quatre quadrants - - 96 97. Expressions des arcs qui correspondent à une ligne trigonométrique donnée. 98 98. Formules relatives aux sinus, cosinus, tangentes, etc., d'un arc ou angle quelconque. - - 99 99-103. Formules donnant le sinus, le cosinus et la tangente de la somme et de la différence de deux arcs. , 100
Pimiiérns. ”

“ Toutefois on avait regardé comme manifestement impossible d’exprimer en séries de sinus d’arcs multiples, ou du moins en séries trigonométriques convergentes, une fonction qui n’a de valeurs subsistantes que si celles de la variable sont comprises entre certaines limites, et dont toutes les autres valeurs seraient nulles. Mais ce point d’analyse est pleinement éclairci, et il demeure incontestable que les fonctions séparées, ou parties de fonctions, sont exactement exprimées par des séries trigonométriques convergentes, ou par des intégrales définies. ”

“ Il suffit donc que A (δ) (δ) tende vers zéro avec δ pour qu'il y ait convergence. On énonce généralement ce résultat pour le cas où ƒ (x) vérifie la condition analogue; d'où ce théorème : Si ƒ (x) est convergente dans un intervalle (a, b) , à l'inté- rieur duquel [ƒ (x + δ) — ƒ (x) ] . δ tend uniformément vers z éro avec δ, la série de Fourier de f converge uniformément dans tout intervalle (a1, b1) complètement intérieur à (a, b) .
Cette propriété résulte des raisonnemeuts de Lipschitz (Journal de Crelle, t. 63) très différents de ceux du texte ”

“ Seulement, comme on suppose toujours ce rayon égal à 1, autrement dit, comme on le prend pour unité de longueur, les longueurs des arcs de grands cercles se trouvent par là même déterminées en apparence dans les formules de la trigonométrie sphérique. ”

“ Posons alors
r b1 sinx + b3 sin 3x + b5 sin 5x +., ce qui est possible puisque r n'est encore défini que dans (o,~ ) On pourrait d'ailleurs remplacer cette égalité formelle par une égalité entre nombres telle que la série du second membre soit uniformément convergente, car, à condition peut-être de supprimer les premières courbes C, C1, ., on peut supposer que r (o) = o et que r (x) a partout une dérivée bornée. ”

“ On a donc cherché à obtenir, par le calcul, les trois éléments d’un triangle dont les trois autres sont connus ; c’est ce qu’on appelle résoudre un triangle. Cette partie des mathématiques, qui apprend à résoudre un triangle, porte le nom de trigonométrie. ”

“ La hauteur d'un triangle se mesure par la perpendiculaire menée du sommet opposé sur le côté pris pour base.
307. Le rayon mené du centre au point où une ligne droite est tangente à la circonférence du cercle, est en même temps perpendiculaire à cette ligne droite. Or, pour mesurer la hauteur d'un triangle, plaçant la pointe d'un compas sur le sommet, et modifiant l'ouverture du compas de manière à la ramener au rayon d'un arc auquel la base du triangle serait tangente, on aura la longueur de la perpendiculaire menée du sommet du triangle à ce point, c'est-à-dire la hauteur du triangle. ”

“ Au moyen de ces données, on trouvera facilement les logarithmes des sinus et cosinus pour chaque minute , en divisant la différence par quinze. Le quotient sera la différence pour chaque minute et en le Soit le triangle rectangle ABC fig. 7. Si du point B , comme centre et d'un rayon quelconque BG, supposé égal au rayon des tables, on décrit l'arc de cercle DG, que du point G on abaisse la perpendiculaire GE sur le côté AB , et qu'au point D , on élève la perpendiculaire DE , on aura GE qui sera le sinus de l'angle B. BE en sera le cosinus et FD en sera la tangente. ”

“ Cette formule est celle qui donne un côté d’un triangle quand on connaît les deux autres et l’angle compris entre eux.
Observons d’abord que si on pouvait isoler sous le radical, la quantité étant le carré de , il n’y aurait plus qu’un binôme sous le radical. ”

“ Le théorème est démontré.
Supposons, en particulier, que φ soit constamment nulle; alors Δ2f (x0) est constamment nulle. Quels que soient x, x1, h, on a donc
C'est dire que les deux différences f (x1 + h) — f (x1) et f (x+h) — f (x) sont égales ou, en d'autres termes, que f (x) s'accroît de quantités égales quand la variable s'accroît toujours de la même quantité. D'après un raisonnement bien connu et qu'on développe ordinairement à l'occasion du mouvement uniforme on doit conclure de là que f est une fonction linéaire. ”

“ Les équations de condition qui existent entre les angles d’un système de triangles, peuvent, en général, se partager en trois catégories.
I. La somme des angles horizontaux, formés autour d’un même sommet et embrassant la totalité de l’horizon, doit être égale à quatre droits.
II. La somme des angles de chaque triangle peut toujours être regardée comme connue ; car, lors même que le triangle est situé sur une surface courbe, l’excès de la somme de ses angles sur deux droits peut être calculé avec une telle approximation, qu’il est permis de considérer le résultat comme absolument exact. ”

“ Dans tout triangle on peut prendre arbitrairement l'un des côtés pour base, et la hauteur est toujours la perpendiculaire abaissée de l'angle opposé sur la base' ou sur son prolongement.
309. Tout polygone, quel que soit le nombre de ses côtés, pouvant être divisé en autant de triangles qu'il a de côtés moins deux (nO 5) , on évalue son aire ou sa contenance en calculant séparément chacun des triangles qui le composent, et en prenant la somme des résultats. ”