Série de Fourier

“ Intégration. — Soit une fonction sommable
son intégrale F (x) =~ƒ (x) dx, étant à variation bornée (n° 11) , est représentable dans (o, 2π) par sa série de Fourier uniformément convergente (n" 40) , sauf autour de x ≡ o,
Faisons x = o ; en tenant compte de F (+ o) = o on trouve
d'où Ao; et, d'autre part, dans (o, 2π) ,
la série de Fourier de ƒ est donc intégrable terme à terme de o à x < 2π. ”

“ Pourquoi Dieu, dit Fourier, a-t-il rendu les hommes si enclins à l’intrigue, et encore plus les femmes ? C’est parce que dans l’ordre sociétaire tout homme, femme, enfant doit être membre de trente, quarante, cinquante séries, y épouser chaudement l’esprit de parti, les cabales... Une série ne souffre pas de sectaire modéré : elle a horreur de la modération. Qu’en arrive-t-il ? Que ses ouvrages sont de niveau avec la véhémence de ses passions. ”

“ Il y a sept couleurs, sept tons ; la triade et la tétrade s’additionnent, se divisent, se multiplient de mille manières avec une constance infaillible dans les productions naturelles comme dans la marche des astres. Le nombre est donc un premier principe, se dit Fourier, comme Dieu et la matière : il gouverne les mondes, il organise la fleur, la charpente de l’animal, les formes de la vie, enfin cette force que l’on nomme la passion. Le nombre groupe tous les êtres d’après ses lois symboliques ; il développe par séries tous les groupes ; la série distribue les harmonies dans l’univers ”

“ Nous avons supposé jusqu’ici que la fonction dont on demande le développement en séries de sinus d’arcs multiples, peut être développée en une série ordonnée, suivant les puissances de la variable et qu’il n’entre dans cette dernière série que des puissances impaires. On peut étendre les mêmes conséquences à des fonctions quelconques, même à celles qui seraient discontinues et entièrement arbitraires. ”

“ Si l'on faisait le changement de variable x = X — a avant le raisonnement, on serait conduit à constater la possibilité d'intégrer la série de Fourier dans (x1, x2) ne contenant pas de valeur congrue à a, c'està-dire, puisque a est quelconque, dans tout intervalle d'étendue moindre que 2π. En partageant un intervalle quelconque en parties d'étendues moindres que 2π, on vérifiera l'énoncé général : La série de Fourier de ƒ, intégrée terme à terme dans un intervalle quelconque, fournit l'intégrale de f dans cet inter- valle. ”

“ Considérons maintenant une fonction périodique quel-
conque F (u, u')
des deux anomalies excentriques u et u' ; elle peut se développer en série de Fourier sous la forme
les p et les p' étant des entiers positifs ou négatifs, mais on peut aussi la développer en série de Fourier procédant suivant les anomalies moyennes l et l' sous la forme
Il s'agit de savoir quelles relations il y a entre les coefficients des deux séries (8) et (9) . ”

“ La solution de cette seconde question fait connaître distinctement quel rapport il y a entre les intégrales définies que nous venons d’employer, et les résultats de l’analyse que nous avons appliquée aux solides d’une figure déterminée. Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions, une valeur infinie ; chacun des termes devient infiniment petit, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale. ”

“ I. — Existence de séries de Fourier divergentes 84 44. Exemple de fonction continue dont la série de Fourier ne converge pas partout. 84 45. Remarques sur la convergence des séries de Fourier 86 46. Autre exemple de série de Fourier divergente. 87 47. Existence de fonctions continues représentables par leurs séries de Fourier non uniformément convergentes. 88 II. — Sommation des séries de Fourier divergentes. 89 48. Procédé de Poisson. 89 49. Procédé de Riemann 90 50. Procédé de M. Fejér. 92 51. Nature de la divergence des séries de Fourier. 96
Pages. ”

“ L’intégrale , équivaut à zéro lorsque est un nombre impair, et à , lorsque est un nombre pair. En supposant successivement etc. on aura la série toujours convergente :
Ce résultat a cela de remarquable qu’il offre le développement du cosinus en une suite de fonctions dont chacune ne contient que des puissances impaires. Si l’on fait dans l’équation précédente on trouvera :
Cette dernière série est connue (introd. ad analysin. infinit. cap. X) .
224. On peut employer une analyse semblable pour développer une fonction quelconque en série de cosinus d’arcs multiples. ”

“ Le principal vice de la série A est le défaut de discords entre groupes contigus ; les espèces 1, 2, 6, 7, n'ont point de rivalités avec le centre qui, de son côté, n'en a point avec elles. Tout le mécanisme de rivalité et d'émulation tombe, si l'échelle n'est pas bien compacte. Indiquons le remède à ce vice, le moyen de rétablir la compacité, qui interdit toute échelle d'espèces.
Je suppose que, dans une phalange , les goûts se manifestent de manière à former la série A, il faudra bien la tolérer, toute vicieuse qu'elle est, car on ne doit jamais entraver l'essor de l'attraction ”

“ Réciproquement, si dans la série exprimée par l’équation (T) on développe la fonction selon les puissances de en ordonnant le résultat par rapport à ces mêmes puissances de les coëfficients de ces puissances se trouvent formés de deux fonctions entièrement arbitraires de ce que l’on peut aisément vérifier en faisant le calcul. ”

“ Il est nécessaire que les valeurs auxquelles on parvient, en augmentant continuellement le nombre des termes, s’approchent de plus en plus d’une limite fixe, et ne s’en écartent que d’une quantité qui peut devenir moindre que toute grandeur donnée : cette limite est la valeur de la série. Or on démontre rigoureusement que les suites dont il s’agit satisfont à cette dernière condition.
229. Nous reprendrons l’équation précédente dans laquelle on peut donner à une valeur quelconque ; on considérera cette quantité comme une nouvelle ordonnée, ce qui donnera lieu à la construction suivante. ”

“ On peut déjà entrevoir que nos passions sont les rouages d'une mécanique où règne la justesse mathématique. Je n'ai point eu recours aux systèmes pour surmonter la difficulté en répartition, je me suis borné à appliquer au jeu des passions, les règles élémentaires de mécanique et d'arithmétique, la balance et la serie, ce qui est la même chose ; car la balance est comme la série, un accord de deux forces extrêmes faisant contrepoids à la double force moyenne. Si chacune des balances doit porter un quintal, il faut que le fléau puisse porter deux quintaux. ”

“ Le choix du mot « phalange », indique bien cette filiation des conceptions de Fourier .
Toute série humaine , simple ordonnée , doit être disposée à la manière des séries géométriques dont elle a les propriétés , entre autres , celle de l' influence des groupes extrêmes égale (à peu près !) à la double influence du groupe moyen .
Dans le Traité de l' Association Domestique - Agricole , t . II , p. 4 4 6 , Fourier donne aux divers degrés d' une échelle d' êtres , de phénomènes , de
faits , les noms de classe , ordres , genres , espèces , variétés , ténuités , minimités , infinités . ”

“ Fourier n'a pas formulé la loi de l'avenir
pour, ce qui touche la morale et les moeurs
pas plus que pour ce qui touche la religion.
Il ne se pose ni en révélateur ni en pro,
phète il n'affirme que les lois mathématiques
de l'association l'attraction et la série appli-
quées à l'organisation du travail et à tout l'or-
dre social. ”

“ Cette partie képlérienne de l' œuvre de Fourier semble avoir bien embarrassé ses disciples . « Après des recherches prolongées et de savantes études sur la série , M. H. Doherty lui-même avoue n ' avoir pu découvrir la clef de la méthode de Fourier . Il nous coûte peu de faire le même aveu . » ( Docteur Barrier , Principes de Sociologie t . II , p. 55 ) . Si l' on examine ce que Fourier a écrit sur la série mesurée artificielle ( Phalange ) , 1 8 4 5 , p. 367 ) on peut cependant entrevoir la clef de cette méthode . ”

“ Assimilant les groupes humains aux termes d' une série numérique , Fourier , peut être sous l' empire de l' enseignement régimentaire , déclare qu' il y a série simple partout où il y a trois groupes humains , parce qu' ils doivent se distinguer en un groupe de centre et deux groupes d' ailes . ”

“ Ensuite on supposera que le nombre des termes de la série
au lieu d’être infini est déterminé et égal à On considérera la valeur de cette suite finie comme une fonction de et de On réduira la valeur de la fonction en une série ordonnée suivant les puissances négatives de et l’on reconnaîtra que cette valeur approche d’autant plus d’être constante et indépendante de que est un plus grand nombre. ”

“ Parmi les maîtres qui se disputaient la jeunesse flottante et sans lest de cette heure de révolution sociale, il choisit Ch. Fourier, et se fit, de la meilleure foi du monde, sociétaire phalanstérien. Mais il n'était pas assez exclusivement mathématique pour s'emprisonner dans la série passionnelle. Les attraits de son âme le portaient plus haut. Elle as¬
pirait à une série plus pure, plus désintéressée que celle de la culture de ce monde ”

“ Fourier donne l'attraction pour toute loi
mais l'attraction ne pourra guider que les gé-
nérations futures, qui dès l'enfance1 n'auront
connu d'ordre social que l'association, la série,
l'harmonie.
Et même, pour ces générations ayant reçu
le libre développement de leurs forces phy-
siques morales, intellectuelles le devoir
sera-t-il un mot entièrement vide de sens, une
idée inconnue non en rapport avec les objets
existàns? Le devoir disparaîtra-t-il en mesure
des progrès de l'association ? La liberté est-elle
incompatible avec le devoir ? ”

“ Si l’on considère maintenant les équations qui donnent les valeurs des coëfficients etc., on aura les résultats suivants :
En distinguant quels sont les facteurs qui manquent aux numérateurs et aux dénominateurs pour y compléter la double série des nombres naturels, on voit que la fraction se réduit, dans la première équation, à dans la seconde à dans la troisième à dans la quatrième à en sorte que les produits qui multiplient
sont alternativement et . ”

“ La forme du système, le but extraordinaire de l’industrie attrayante, le principe du nombre placé à côté de Dieu et de la matière, tout prouve que le fouriérisme se fonde sur l’harmonie pythagoricienne et sur tous les principes des mystagogies antiques. Fourier substitue souvent une preuve à l’autre dans la polémique ; attaqué par l’expérience, il riposte par le principe d’association ; attaqué sur l’association, il critique la civilisation. ”

“ En terminant cet aperçu des ralliemens dont je n'ai fait qu'effleurer la théorie, observons que ce genre d'accords est de tous les phénomènes passionnels le plus propre a dissiper les préjugés d'impénétrabilité et de voiles d'airain, car il prouve que pour enlever le voile, il suffisait d'oser sortir de l'ornière philosophique , de ne pas spéculer sur la plus petite réunion domestique, mais sur la plus grande possible ; et y appliquer la distribution recommandée par les philosophes mêmes , tantùm series juncturaque pollet, LA SÉRIE ET LE LIEN ”

“ Dans ces équations, dont le nombre est n, les quantités inconnues sont A1B1 A, B2 A3B3... etc., il s'agit d'effectuer les éliminations et de trouver les valeurs de ces indéterminées. On remarquera d'abord que la même indéterminée a un multiplicateur différent dans chaque équation, et que la suite de ces multiplicateurs compose une série récurrente. En effet, cette suite est celle des sinus croissants en progression arithmétique, ou celle des cosinus des mêmes arcs ; elle peut être représentée par
L'arc u est égal à l'indéterminée dont il s'agit est ou . ”

“ S'il élève quelque chose, il semble que ce soit uniquement pour se donner le plaisir d'abattre. Dans les pages même où il l'exalte, Fourier n'est tout à coup qu'une marionnette, un crâne éburné, un somnambule, un mystificateur, un homme montrant à nu la faiblesse de sa faculté réflexive... enfin tout ce que résume assez bien la mélopée de tout à l'heure!...
Avant de prendre la défense de Fourier, de son génie et de son système, contre M. Proudhon, nous engagerons celui-ci à démêler ses jugements et à se mettre d'accord avec lui-même. ”

“ Je l'être hu-;
main cette unité dérive du principe unique
de tous les êtres, Dieu même; c'est par l'édu-
cation nnitaire où déploiement intégrale,
libre essor de tontes les facultés, que rétre
humain, aujourd'hui faussé, vicié, retronvrë
son' unité propre, et se remet en: équilibré
dans là-série des êtres, et l'harmonie dés créa-
tiens. Toutefois, si la doctrine dans ses prin-
cipes est unitéiste dans les détails eiïe a pu
paraître entachée de matérialisme" c'est pres-
que toujours de la gastronomie que Fourier
tire l'application de ses principes ”

“ Fourier s' exprime quelquefois au sujet de cette loi merveilleuse avec une naïveté qui fera sourire les métaphysiciens , comme , par exemple , quand il dit que , si l' auteur des choses ne l' a pas établie dans le principe sous l' inspiration de sa sagesse souveraine , l' expérience qu' il a acquise , en gouvernant les mondes inférieurs , a dû plus tard le porter à l' établir . ”

“ Quand Fourier parle de l' attraction et qu' il nous dit qu' elle régit tous les êtres , ou il prend ce mot attraction dans le sens propre , ou il le prend dans le sens figuré . Dans le premier cas , il ramène les lois de la vie et de la pensée à celles du mouvement et fait de l' histoire naturelle et de la morale de simples applications de la géométrie et de la mécanique . ”

“ J’entends les fouriéristes s’écrier qu’alors seulement commencera l’âge d’or promis à l’humanité ; alors l’attraction passionnée, ne rencontrant plus d’obstacles, produira l’harmonie universelle ; l’équilibre sera si parfaitement établi, que les écarts deviendront impossibles, que le mal n’existera plus sur la terre ! Certes, si la formule de Fourier devait enfanter tant de belles choses, ce serait trop peu que de le placer sur la ligne de Newton, comme font ses disciples : il serait plus qu’un homme et mériterait des autels. ”