Henri Lebesgue

“ Comme notre but n'est pas d'étudier les nombres de la physique, nous n'avons pas à rechercher, si tous ces nombres rentrent bien dans l'une ou l'autre des deux catégories indiquées et si la distinction entre ces deux catégories de nombres est absolue; il nous suffira d'avoir remarqué l'importance, en physique, des fonctions de domaine et de cette sorte de dérivation d'une fonction de domaine par rapport à une autre qui fournit les fonctions de points. ”

“ Avant de rechercher si la fonction φ (x) est une dérivée, je vais montrer comment un cas particulier important du théorème de Scheeffer se déduit immédiatement du théorème de M. Darboux.
Supposons que la dérivée d'une fonction f (x) soit toujours bien déterminée en grandeur et signe (on ne suppose pas qu'elle soit finie) , alors si elle n'est pas toujours égale à un nombre donné A, l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f (x) est différent de A a la puissance du continu. ”

“ Avec les conventions du texte, maintenant adoptées par tous, le mot sommable joue dans la théorie de l'intégrale le même rôle que le mot intégrable dans l'intégration riemannienne.
Lorsqu'une fonction est mesurable sans être sommable, elle n'a pas d'intégrale ; pourtant, lorsqu'il s'agira d'une fonction toujours positive ou bornée inférieurement (ou toujours négative ou bornée supérieurement) il nous arrivera de dire qu'elle a une intégrale infinie, pour des raisons qui se comprennent de suite. ”

“ Appliquons ce résultat à AC (x) qui est son propre noyau :
f' (x) et AC' (x) sont donc égales presque partout comme ayant la même intégrale indéfinie, et par suite la dérivée de f (x) — AC (x) est presque partout nulle. En d'autres termes : la dérivée de la fonction des singularités ft (x) d'une fonction continue (') à variation bornée f (x) est presque partout nulle. La réciproque est vraie ; d'une façon plus précise : une fonction continue ( 1) à variation bornée et dont la dérivée est presque partout nulle, est sa propre fonction des singularités. ”

“ En résumé, la construction d'un segment fini de la suite des entiers n'exige que l'emploi de ce qu'on peut appeler une récurrence finie, la démonstration d'une propriété pour tous les nombres de ce segment exige seulement un raisonnement par récurrence finie, réductible aux syllogismes ; la construction de la suite complète des entiers exige un procédé de récurrence indéfinie et la démonstration d'une propriété pour tous les entiers exige le raisonnement par récurrence indéfinie qu'on ne pourrait remplacer que par une suite indéfinie de syllogismes. ”

“ Il est évident que la fonction φ (x) ainsi définie prend toutes les valeurs de (0, 1) dans un intervalle quelconque si petit qu'il soit, donc φ (x) est discontinue en tout point; d'ailleurs φ (x) ne prend pas de valeurs extérieures à (0, 1) , donc φ (x) ne passe pas d'une valeur a à une autre b sans prendre toutes les valeurs de (0, 1) , et, a fortiori, toutes les valeurs comprises entre a et b.
Il faut aussi remarquer que, avec la définition critiquée par M. Darboux, la somme de deux fonctions continues n'est plus nécessairement une fonction continue. ”

“ THÉORÈME II. — Réciproquement, étant donnés deux plans fi et A et une droite AA1 ne rencontrant leur intersection ni à distance finie, ni à l'infini, le lieu des points de II défini par la relation
est une conique.
Nous savons en effet que, à condition de modifier k, on peut faire tourner A autour de son intersection avec II de façon que AA1 coupe A à distance finie. Alors la relation (3) caractérise dans l'espace les points d'un cône à base circulaire, donc, dans II, ceux d'une conique.
THÉORÈME III. — Toute perspective (ou projection) non rectiligne d'une conique est une conique. ”

“ Nous avons trouvé une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction intégrable soit une dérivée; elle ne se présente pas sous la forme que l'on donne habituellement à de telles conditions. Le plus souvent on énonce, comme condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un fait A, l'existence d'une propriété B qui accompagne toujours le fait A et est toujours accompagnée par lui ”

“ Voici une dernière définition; si une fonction f (x) est définie dans un ensemble E, nous dirons qu'elle est sommable dans E si la fonction ƒ1, égale à f pour les points de E et à 0 pour les points de CAB (E) , a une intégrale dans AB, qui sera, par définition, l'intégrale de f sur E. Donc, si un ensemble E est la somme d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'ensembles mesurables Ei, sans point commun deux à deux, on a
cela est évident si la fonction sommable considérée est bornée ; on le démontrera sans peine pour une fonction sommable quelconque. ”

“ Une intégrale indéfinie est complètement additive ; c'est la propriété 2° de la page 130.
L'additivité complète entraîne, à elle seule, bien des propriétés. Remarquons d'abord qu'une fonction additive d'ensemble qui est non bornée a des points en lesquels elle n'est pas bornée ; il faut entendre par là qu'il existe un point x tel que, si petit que soit un intervalle I contenant x à son intérieur et si grand que soit un un nombre N, il est possible de trouver un ensemble E formé de points de I et pour lequel la fonction 'E (E) considérée surpasse N en valeur absolue. ”

“ Une symétrie oblique est une transformation homographique S telle que la droite MM' qui joint deux points homologues passe par le point à l'infini d de la direction donnée D, telle aussi que si E désigne le
point d'intersection de MM' avec la droite fixe A, on ait la relation (dEMM') =- i. Nous représenterons la symétrie définie par A et D à l'aide de la notation S = (A, D) .
Nous allons compléter cette définition purement géométrique de la symétrie en nous plaçant au point de vue de la géométrie analytique. ”

“ Mais un groupe intégrable dans le plan peut être un ensemble continu, c'est-à-dire un ensemble tel que deux quelconques de ses points puissent être joints par une courbe ne passant que par des points de l'ensemble ; nous savons en effet qu'un segment, une ligne polygonale, une circonférence, une ellipse sont d'étendue superficielle extérieure nulle. ”

“ Dirichlet a rencontré incidemment la fonction
dont tous les points sont des points de discontinuité, puisqu'elle est nulle pour x irrationnel, égale à I pour x rationnel. Les considérations de Cauchy et de Dirichlet ne s'appliquent donc pas à toutes les fonctions au sens de Cauchy. Riemann (1) a montré, sur un exemple, comment l'emploi des séries permettait de construire des fonctions dont les points de discontinuité forment un ensemble partout dense, fonctions auxquelles les définitions précédentes ne peuvent donc s'appliquer. ”

“ Les fonctions dont nous venons de nous occuper sont définies dans tout un intervalle, mais il est clair que les notions de dérivée et de nombres dérivés s'étendent de suite à une fonction définie seulement pour les points d'un ensemble, ou considérée seulement pour les points d'un ensemble. ”

“ Mais je n'ai pas parlé des procédés d'intégration par parties et par substitutions, du second théorème de la moyenne, de l'inégalité de Schwarz et de ses généralisations, indispensables pourtant pour l'utilisation mathématique de l'intégrale.
La généralisation est l'un des meilleurs moyens de « faire comprendre» en mathématiques ; alors que, sur le cas particulier, on est gêné par tous les faits que l'on peut observer et qui ne sont propres qu'à ce cas particulier, dans le cas général il n'y a plus rien à observer en dehors des faits mêmes sur
lesquels il faut raisonner ”

“ Paul du Bois-Reymond a mis ce rôle en évidence par une transformation de la condition d'intégrabilité. L'énoncé de du Bois-Reymond suppose connue la définition des groupes intégrables.
Un ensemble de points d'une droite constitue un groupe intégrable, si les points de l'ensemble peuvent être enfermés dans un nombre fini de segments dont la somme des longueurs est aussi petite que l'on veut (1) . ”

“ En revenant à ce sens primitif des dénominations, nous dirons donc que l'intégrale indéfinie de f (x) est la fonction Φ (α, β)
ce sera une fonction de deux variables ou mieux une fonction de l'intervalle d'intégration (α, β) ; le mol fonction signifiant ici correspondance, comme à la page 17. Mais il s'agit maintenant de faire correspondre à tout intervalle (α, β) un nombre ; (α, β) est la variable ou argument de notre fonction, le nombre est la valeur de la fonction. L'intégrale indéfinie est une fonction d'intervalle ; toute valeur prise par cette fonction est une intégrale définie. ”

“ Si nous faisons la somme des inégalités analogues, relatives aux intervalles partiels, nous avons, en faisant tendre ces intervalles vers zéro,
De cette inégalité il résulte en particulier que : si l'un des nombres dérivés d'une fonction f (x) est intègrablé, auquel cas les trois autres le sont aussi et ont même intégrale, son intégrale indéfinie est de la forme f (x) -+- const. ; et cet énoncé, plus particulier encore : lorsqu'une dérivée est intégrable, il y a identité entre ses fonctions primitives et ses intégrales indéfinies. ”

“ Une fonction nulle partout, sauf pour x = 0, n'est pas une fonction dérivée, puisque sa fonction primitive, si elle existait, devrait être continue, constante pour x positif, et pour x négatif, donc toujours constante et cependant sa dérivée ne serait pas nulle pour x = o. Ceci montre que les notions d'intégrale indéfinie et de fonction primitive sont différentes. ”

“ Par ce raisonnement, on arrive en effet à cette conclusion : il existe des ensembles non mesurables; mais cette affirmation ne devrait pas être considérée comme contredite si l'on arrivait à montrer que jamais aucun homme ne pourra nommer un ensemble non mesurable !
Sur ces questions, on pourra consulter la seconde édition des Leçons sur la théorie des fonctions de M. Emile Borel.
( 2) La définition géométrique de la mesure permet non seulement de comparer deux ensembles égaux, mais aussi deux ensembles semblables. ”

“ A toute intégration définie nous avons attaché une intégration indéfinie fournissant une fonction de points, une fonction d'intervalles, une fonction d'ensemble mesurable; de sorte que la notion d'intégrale de Stieltjès conduit à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction de point, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d'intervalle, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d'ensemble. ”

“ Une courbe est dite rectifiable si elle est, de longueur finie. L'étude des courbes rectifiables a été entreprise par Ludwig Scheeffer (1) , puis continuée par Jordan ( 2) à qui l'on doit le résultat suiyant :
Pour qu'une courbe soit rectifiable, il faut et il suffit que les fonctions x (t) , y (l) , z (t) qui la définissent soient à variation bornée.
En effet, un côté quelconque d'un polygone inscrit dans la courbe est de longueur au moins égale à chacune des projec (
projec ( Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven (Acta mathematica, t. V) . ”

“ En réalité, un seul de ces théorèmes est employé couramment : toute fonction continue est une fonction dérivée. Quant au calcul effectif des fonctions primitives, il ne se fait jamais au moyen de l'intégrale définie (1) , mais à l'aide des procédés connus sous le nom d'intégration par parties et d'intégration par substitution. Ces deux procédés s'appliquent, qu'il s'agisse de fonctions continues ou non.
On peut aussi utiliser le théorème suivant : Une série uniformément convergente de fondions dérivées représente une fonction dérivée. ”

“ Que les fonctions de domaine s'introduisent en physique et y apparaissent même comme plus directement adaptées aux besoins du physicien que les fonctions de points ne doit pas nous étonner. Un point n'est que la conception limite de corps de plus en plus petits, une fonction de point ne peut s'introduire en physique que
comme limite d'une fonction de corps, d'une fonction de domaine. ”

“ Pourtant cette pseudo-notation remplit l'une des conditions essentielles d'une notation. A quoi sert, en effet, la numération des entiers ? Elle n'intervient jamais dans les raisonnements, sauf bien entendu, ceux qui concernent la numération elle-même ; mais elle permet de caractériser le nombre dont on veut parler, s'il n'est pas trop grand, c'est-à-dire qu'elle permet de construire, qu'elle détermine, un ensemble bien ordonné fini semblable à celui dont on s'occupe. ”

“ Pour démontrer que la mesure intérieure ne surpasse jamais la mesure extérieure, il faudra démontrer qu'un carré C ne peut être couvert à l'aide d'un nombre fini de carrés ci que si la somme des aires des ci est au moins égale à l'aire de C, ce que l'on peut faire élémentairement (1) ; puis il faudra démontrer le théorème de M. Borel lorsqu'on remplace dans son énoncé le mot intervalle par le mot carré ou le mot domaine. ”