Henri Lebesgue

“ Les Grecs ont, si j'ose dire, utilisé la géométrie de Descartes, aux notations près, à l'habileté algébrique près, à la pleine conscience près de ce qu'ils faisaient. Aussi, à l'époque de Descartes, les connaissances acquises sur les coniques ont été immédiatement intégrées dans la nouvelle géométrie et celle-ci n'a pas été l'occasion d'un essor pour l'étude des coniques. Pour faire un bond en avant, il a fallu que la théorie analytique emprunte, deux siècles plus tard, à la jeune théorie géométrique les notions fécondes de transformation et d'éléments idéaux. ”

“ Les symétries s., S2, S3, sont donc toutes différentes; d'où une infinité de symétries.
D'après ce qui précède, si une courbe algébrique C admet cette infinité de symétries, elle est formée de droites parallèles à A; d'où une troisième disposition de diamètres d'une courbe algébrique.
c. A toute direction correspond un diamètre. Tous ces diamètres sont confondus avec une même droite A, sauf le diamètre de la direction A, qui est indéterminé. Les courbes sont formées d'une famille de droites parallèles à A qui admet A pour axe de symétrie vraie. ”

“ Il y avait donc là le point de départ d'un exposé de la théorie des coniques ne les subdivisant pas immédiatement en ellipse, hyperbole et parabole. Bien qu'un tel exposé ne puisse convenir au programme d'aucune de nos classes de l'Enseignement français, il m'a semblé intéressant de l'établir. C'est le sujet du troisième des articles qui suivent. La théorie des coniques ne s'y présente pas d'une façon élémentaire si l'on entend par là de façon à être à la portée de l'élève moyen de la classe de mathématiques. ”

“ THÉORÈME II. — Réciproquement, étant donnés deux plans fi et A et une droite AA1 ne rencontrant leur intersection ni à distance finie, ni à l'infini, le lieu des points de II défini par la relation
est une conique.
Nous savons en effet que, à condition de modifier k, on peut faire tourner A autour de son intersection avec II de façon que AA1 coupe A à distance finie. Alors la relation (3) caractérise dans l'espace les points d'un cône à base circulaire, donc, dans II, ceux d'une conique.
THÉORÈME III. — Toute perspective (ou projection) non rectiligne d'une conique est une conique. ”

“ Une symétrie oblique est une transformation homographique S telle que la droite MM' qui joint deux points homologues passe par le point à l'infini d de la direction donnée D, telle aussi que si E désigne le
point d'intersection de MM' avec la droite fixe A, on ait la relation (dEMM') =- i. Nous représenterons la symétrie définie par A et D à l'aide de la notation S = (A, D) .
Nous allons compléter cette définition purement géométrique de la symétrie en nous plaçant au point de vue de la géométrie analytique. ”

“ Il m'a alors semblé utile de rappeler qu'en réalité toute étude des coniques est l'étude d'une transformée homographique d'une circonférence. Il en a toujours été ainsi. Desargues et Pascal, comme antérieurement les Grecs et plus tard Poncelet, considérant les projections des cercles, utilisaient bien une transformation homographique du cercle. Seulement, il s'agissait là de transformations dans
l'espace. ”

“ On démontre, au troisième Livre de la Géométrie, que si A et a sont deux points conjugués par rapport à un cercle T de centre 0 et de rayon R, celui-ci est le lieu des points de son plan II, vérifiant
la relation
en désignant, comme dans toute la suite, par (M, N) la distance de deux éléments M, N qui pourront être des points, des droites ou des plans dans les cas où de telles distances ont un sens.
Montrons que la relation (1) peut être remplacée par
AA1 et Y-Y, étant deux droites perpendiculaires à OAα. ”

“ Quand on a remarqué que chacune de ces définitions est liée à une transformation homographique (H) qui fait apparaître une conique comme transformée d'un cercle, la question ne paraît pas impossible à résoudre : il suffit de modifier les démonstrations des théorèmes belges de façon que ces démonstrations fassent apparaître, en même temps qu'une définition des sections coniques (celle à l'aide de deux foyers ou celle à partir d'un foyer et de sa directrice) la transformation (H) qui permet d'utiliser cette définition. ”

“ En nous rappelant quelques points de l'histoire de la Science et de celle de l'Enseignement secondaire (E. S.) , nous verrons qu'il s'agit bien d'un remords et nous nous expliquerons les faits signalés et tout le déséquilibre de nos cours que mettent bien en évidence des renversements de valeurs comme le suivant : Il est capital de prouver que toute conique est une section conique, donc d'étudier si une conique donnée peut être placée sur un cône de révolution. ”

“ Partant d'une définition commune aux trois coniques — que ce soit celle d'Apollonius ou celle par un foyer et une directrice qui s'en déduit — on pourrait les étudier toutes trois à la fois; il en résulterait une véritable économie et ce serait l'occasion de renoncer à certains errements un peu critiquables. Toute maison, si bien tenue soit-elle, a parfois besoin d'un nettoyage général. ”

“ On les appellera droites focales limites pour les distinguer des droites focales ordinaires; distinction indispensable car si. avec une droite focale limite, on a encore la relation (2) pour tous les points de Γ, Γ n'est plus caractérisée par cette relation.
Si A tend vers O, AA1 tend vers l'axe OZ de Γ que nous appellerons la droite focale principale, parce qu'elle est perpendiculaire à fi, et aussi droite focale singulière, parce que la droite directrice correspondante n'existe plus. La relation (2) ne peut plus servir. ”

“ L'équation générale cherchée, les symétries étant toutes de première espèce, est donc P, o.
Tous les axes binaires qui correspondent sur la sphère aux diamètres sont congruents. Si une symétrie est de seconde espèce, elles le seront toutes; nous avons donc à chercher l'équation du faisceau de l'ensemble des 12 diamètres. Nous les associons pour cela en trois groupes de 4, le module de la pente correspondante étant le même dans chaque groupe; c'est-à-dire que sur la sphère nous associons les extrémités des axes binaires ayant même colatitude. ”

“ On ne trouvera presque rien ici qui ne soit connu; peut-être puis-je cependant faire remarquer que, dans toutes les questions où interviennent des courbes de genre un, l'emploi du théorème d'Abel comme moyen d'élimination peut toujours être remplacé, comme je le fais ici, par l'emploi de la théorie algébrique de la résiduation de Sylvester. J'appelle aussi l'attention sur la méthode que j'ai employée pour démontrer le théorème de Poncelet. ”

“ D'après cela, une forme invariante par toutes les symétries d'un groupe G sera le produit de formes élémentaires, chacune d'elles correspondant à un point de la droite de l'infini et à tous ses homologues; avec cette exception que si le point choisi est le point à l'infini a d'un diamètre, la forme devra contenir deux fois a et par suite deux fois ses homologues. ”

“ Mais la rotation de ° autour de 0 s'obtient aussi en composant une symétrie par rapport à un axe de coordonnées avec une symétrie par rapport à une bissectrice, puisque ces deux axes de symétries font un angle de 45°.
Donc si l'on prend un système de seize points homologues dans les six symétries considérées, il est constitué par quatre systèmes de quatre points en ligne droite avec 90 analogue au système formé par Mi, M' et leurs symétriques par rapport à O. Pour un point à l'infini, il n'y a plus que quatre homologues au lieu de seize; 4g 0 est bien une limite inférieure de Go. ”

“ Si, en particulier, le polygone est celui qui correspond aux symétries réelles, la rosace d'origine diédrale est formée de symétries vraies. Les extrémités de l'axe du renversement axial correspondent aux pentes ± i pour les diamètres correspondants. Donc ces nouveaux diamètres conjugués sont les droites isotropes.
Finalement, l'étude des groupes diédraux nous a conduit à deux dispositions de diamètres en nombre fini.
I. Une rosace de p diamètres concourants. Si p est impair, il n'existe pas de diamètres conjugués. Si p est pair, les diamètres sont deux à deux conjugués. ”

“ La deuxième part de remarques, d'observations; par des constructions, des initiatives répétées, elle bâtit les coniques; méthode d'artisans, d'inventeurs travaillant dans le concret, à rapprocher de la physique expérimentale.
Oubliant que les Grecs furent plutôt des penseurs que des inventeurs, on commet parfois de singulières erreurs; on dirait, je crois, volontiers, que parmi les méthodes pour étudier la projection orthogonale d'un cercle, celle qui utilise les équations des courbes est moderne et que celle de de Courcelles est « à la manière des Anciens ». ”

“ Si donc on appelle AA1 la droite focale symétrique de AA, par rapport au plan perpendiculaire à π et passant par OG, AA1, coupe AA1, en S et les droites aa, et aal se coupent en a. Or S et a se correspondent dans la similitude qui transforme AMN en a Mv, donc on a angle ασM = angle ASM, angle aaM = angle ASM, el comme la somme des deux premiers membres est constante, dans le cône de sommet S et de directrice Γ, la somme des angles que fait une génératrice avec les deux droites SA, SA est constante (1) . ”

“ J'arrive maintenant à des conséquences pédagogiques, relatives à l'enseignement des coniques, mais aussi de portée plus générale.
La question particulière qui se pose est celle-ci : doit-on utiliser la transformation II pour les seuls points du cercle (C) de centre F ou pour tous les points du plan, ce qui donne deux exposés qui sont l'un par rapport à l'autre comme C et CA ?
La question générale peut être formu lée ainsi : lorsqu'une étude est basée sur une idée directrice, ne doit-on pas révéler cette idée aux élèves pour qui elle serait un secours, un guide, comme elle l'est pour nous ? ”

“ Les constructions diverses de la tangente se déduisent facilement de cette propriété qu'on pourra démontrer aussi en recherchant une droite A tangente à la circonférence Z qui lui est associée.
La construction des tangentes peut aussi se déduire de celle des normales. Pour k = 1, T est l'axe radical de y et de H, donc est perpendiculaire à coll. la normale en M est parallèle à wH et, si n est le point de rencontre de cette normale et de ωx, n M et ωH sont équipollents. ”

“ II est d'ailleurs plus souple que CA à cause de la possibilité de faire varier F, ce qui est d'importance quand il s'agit d'une figure formée à la fois de points m et de points M. On a vu, dans les articles cités, l'intérêt que présente le choix de F au centre de la conique ou sur son axe non focal; on voit maintenant que le choix de F sur (w') , ou sur la droite symétrique de (w) par rapport à w, c'est-à-dire tel que le cercle (C) soit de rayon 2a est aussi fort intéressant. ”

“ Maintenant que la notion de transformation imprègne tout l'enseignement, que l'on parle à nos jeunes élèves de transformations par déplacement, symétrie, homothétie, etc., et qu'ils sont entraînés à utiliser les transformations ponctuelles transformant des points alignés en points alignés, serait-il admissible qu'on ne leur parle pas de la perspective que les droites issues du sommet S d'un cône établissent entre les points de deux plans (P) et (TI") coupant le cône suivant une courbe (C) et un cercle (y) ? ”

“ On sait qu'à partir de ces propriétés la théorie projective des coniques se construit très facilement; ce qui différencie cet exposé de ceux connus c'est que la traduction métrique, sous la forme (3) . de la définition projective des coniques conduit aussi très facilement aux définitions plus particulières des coniques; à celles de de La Hire, à la définition par foyer et directrice, à la définition comme sections planes de cônes et cylindres de révolution. ”

“ Or, il est clair que la conique (Γ) d'axes Ox, Oy qui passe par M et y admet Mie pour normale admet (C) et (A) pour éléments focaux associés. Si n était à l'infini, la conclusion serait analogue, mais (Γ) serait une parabole. M faisant partie de (Γ) et du lieu, la relation P = K' D2, relative à (Γ) , est d'ailleurs bien celle qui nous est donnée; K' = K.
Il reste seulement à prouver que (Γ) constitue tout le lieu et, pour cela, il suffira de montrer que, sur toute droite issue de M, il n'y a qu'un autre point du lieu. ”

“ Or, comme on a, d'après (3) ,
la circonférence à construire est donc y.
Ainsi le procédé qui, de d, y, k, nous a permis de passer à D, T, K, permet aussi de revenir des circonférences T à une famille de circonférences centrées sur Ox et dont y fait partie.
En résumé : toute courbe <2 à centre est susceptible d'une double infinité de définitions comme lieu des points dont le quotient de la puissance par rapport à un cercle focal par le carré de la distance
à une droite directrice est constant. ”

“ Pour une telle famille, le lieu des centres des sphères est une courbe de H qui a deux points et deux seulement sur chaque génératrice de chacun des deux systèmes; c'est donc une biquadratique gauche et le théorème de Poncelet s'applique; donc, si la suite Co, r0, C1, f1, ., construite à l'aide de cette famille de sphères, est périodique pour un choix particulier de C0, elle l'est quelle que soit C0.
On pourra prendre, par exemple, pour la famille des sphères s, celles qui sont tangentes à une droite, à un plan ou à une sphère donnée, et qui font partie de la même famille algébrique. ”

“ La correspondance (ln, M) entre les points de (y) et ceux de son cercle directeur (Γ) est celle qui sert élémentairement à l'étude de (y) ; on voit qu'elle n'est que la trace sur (y) et (Γ) d'une transformation homographique, ce qui explique, et rend d'ailleurs inutiles, les raisonnements du n° 2. En même temps se trouvent légitimées de façon nouvelle les constructions classiques des tangentes issues d'un point m, ou des points de rencontre avec une droite (d) , car ce sont celles qui donnent M ou (D) . ”

“ Soit NF cette seconde droite focale, elle est aussi droite focale de Γ, elle est dans Nωx, son pied F est sur ωx, la perspective F de F est sur ω' X', donc la droite directrice de NF' par rapport à fI passe par Y', donc la droite directrice relative à NF et à F est parallèle à uj, donc perpendiculaire à NF. Ainsi NF est axe d'un cône de révolution contenant T, à moins qu'elle ne soit droite focale principale. ”