Diamètre (géométrie)

“ La plus grande et la plus petite corde que l'on puisse mener par un point A donné dans un cercle, sont perpendiculaires l'une à l'autre, et l'une d'elles est un diamètre.
C'est le diamètre et la perpendiculaire à ce même diamètre, ménés par le point donné A.
Remarque. Lorsque le point est extérieur, il n'y a lieu de considérer que la plus grande corde. La sécante qui passe par le centre donné une corde égale au diamètre.
Théorème 102. ”

“ On déterminera ainsi autant de points qu'on voudra de la surface.
Si l'on veut construire ses trois axes principaux, on cherchera d'abord un système de trois diamètres conjugués, ce qui se fera très-aisément. Pour cela, on mènera, par le centre, un plan transversal quelconque, et l'on cherchera son pôle; on trouvera un point situé à l'infini, sur une droite dont la direction sera l'intersection commune de trois plans, que l'on déterminera par trois équations semblables à l'équation (2) . La droite diamétrale, parallèle à cette droite, sera le diamètre conjugué au plan transversal. ”

“ Soient Oa, Ob, les deux demi-diamètres conjugués pris dans le plan diamétral , et 0γ la perpendiculaire élevée sur leur plan, laquelle est égale à l'aire du parallélogramme construit sur Oa et Ob. Concevons le demi-diamètre Oc qui forme, avec les deux premiers, un système de trois demi-diamètres conjugués; menons le plan tangent à la surface, au point c, et la perpendiculaire Op sur ce plan. ”

“ Par le centre o de la surface et le pôle a d'un plan, on mènera une droite qui rencontrera ce plan en α; le produit oa. Oα sera égal au carré du demidiamètre compris sur la droite. Si les points a et α sont d'un même côté du point o, ce diamètre sera réel; et, si ces points sont de côtés différents du point o, ce diamètre sera imaginaire. ”

“ Il peut paraître extraordinaire aux personnes qui ne connaissent pas la géométrie qu'on n'ait pu trouver le rapport exact de la circonférence au diamètre; on pourrait croire qu'il suffit de mesurer le diamètre et la circonférence d'un cercle, le diamètre au moyen d'un mètre, la circonférence au moyen d'un fil qu'on développerait ensuite, et de diviser les deux longueurs obtenues l'une par l'autre pour avoir le nombre de fois qu'une circonférence quelconque contient son diamètre ”

“ Ii s'ensuit que la droite qui va d'un point de la surface à un autre, en passant par le centre, est double du rayon. Cette droite étant nommée diamètre, comme pour le cercle, il est clair que tous les diamètres d'une sphère sont égaux. ”

“ B2 — 4AC = o.
297. L'équation (2) se réduit, dans cette hypothèse, à
on exprime par là que le radical est nul, et, par suite, que, pour l'abscisse particulière
l'ordonnée de la courbe devient égale à l'ordonnée DE du diamètre ; donc E est un point où la courbe rencontre son diamètre. ”

“ Prenons sur A'X une distance OB' égale à OA'; nous obtenons ainsi la longueur 2 A' d'un diamètre; et si nous menons au point A' la tangente A'Y', qui est parallèle à la corde MN divisée en deux parties égales par ce diamètre, nous aurons pour l'équation de la courbe rapportée au système d'axes A'X, A'Y' (voyez le n° 144) ,
ou, remplaçant y et x par les coordonnées particulières MP et A'P, et A' par la longueur OA',
expression homogène qu'il est facile de construire d'après les moyens connus. ”

“ Le diamètre est la plus grande des cordes du cercle (21) . - Le diamètre partage la circonférence en deux arcs égaux de 180° chacun (30) . — Dans les arts, on emploie souvent des demi-circonférences fermées par un diamètre. Exemple : les vantaux de portes en arcades à plein cintre; beaucoup de grilles et de fenêtres d'édifices publics, etc., etc. (31) .
Des angles. — Angle droit, angle aigu, angle obtus (34) . - On peut prendre pour mesure de l'angle le nombre de degrés de l'arc décrit avec un compas dont l'une des pointes est placée à son sommet (35) . ”

“ Je suppose le centre extérieur à l'angle BAC et je trace le diamètre AK. L'angle BAC est égal à la différence des angles inscrits CAK, BAK, dont le côté AK passe par le centre; il a dès lors pour mesure la différence de leurs
mesures. Or, le premier CAK est mesuré par la moitié de l'arc CK, et le second BAK parla moitié de l'arc BK; l'angle inscrit BAC a donc pour mesure la moitié de la différence des
arcsCK, BK, c'est-à-dire la moitié de l'arc BC compris entre ses côtés. ”

“ I, F 2) ; le diamètre DE est aussi composé de deux rayons, AD, AE. Or, tous les rayons d'un cercle ont même longeur (6) .
Par conséquent, AB + AC = AD -}- AE, et BC = DE.
i 1. Chaque diamètre est plus grand que toute corde qui ne passe point par le centre.
Ainsi, BC surpasse CD, par exemple (P. l, F. 2) . En effet, le rayon AB égale le rayon AD (6) , et par conséquent, la droite BC vaut l'ensemble des deux droites AC, AD. Mais cet ensemble ou le chemin brisé CAD est plus long que le chemin droit CD (2) . ”

“ Les équations (4) montrent d'ailleurs que tous les diamètres passent par le centre. Réciproquement, toute droite passant par le centre est un diamètre, car elle a sa polaire dans le plan polaire du centre qui est le plan de l'infini.
Soit
f (x,y, z, t) = Kx'1 +A'j2+AV2I\yz-+- 2B'xz+ 2B"xz + 2Cxt+.= o l'équation de la surface du second degré, et coupons-la par le plan dont l'équation est mx + ny + pz + qt = o. ”

“ D'abord, la droite CBI, pour laquelle on a
racines imaginaires ; ce qui prouve que CBI est un diamètre non transverse; et, comme alors on peut mettre la valeur de y sous la forme
il s'ensuit que toute valeur de x, positive ou lléglltipe, donnera constamment pour y des valeurs réelles. Ainsi la courbe s'étend indéfiniment audessus et au-dessous du diamètre CBI, et dans les deux sens de l'axe des x. ”

“ PROBL. (b) : Mesurer la superficie d'un cercle dans lequel on ne peut opérer, quand les extrémités d'un diamètre sont visibles l'une de l'autre.
Menez par un point D (P. IV, F. 28) , une droite DE tangente au cercle (p. 126, probl. b) ; placez l'équerre d'arpenteur au contact A; faites marquer le point C de l'alignement AC perpendiculaire à DE (462) ; la distance AC sera la longueur du diamètre (107) , et pour la mesurer, vous opérerez comme dans le probl. ”

“ En supposant le problème résolu, on construit ie triangle rectangle IIAI ayant la bissectrice pour hypoténuse et h pour un de ses côtés ; on sait que la bissectrice divise en deux parties égales l'angle formé par la hauteur et le diamètre du cercle circonscrit ; donc, en prenant la droite symétrique de h par rapport à AI, on aura la direction du diamètre AOD ; d'ailleurs, on s'ait que le produit de la hauteur par lé diamètre égalo celui des deux côtés b et c = produit connu, donc
Fig. 973.
En circonférence décrite sur le diamètre AOD détermine les sommets B et C,
Problème 503. ”

“ DIXIEME THEOREME.
UN angle ayant son sommet hors le cercle, si l'un de ses costez qui coupe le cercle se termine à l'extremité d'un diametre auquel l'autre costé est perpendiculaire, foit en coupant le cercle, soit en le touchant > soit même estant hors le cercle ce diametre y estant prolongé, en tous ces
XLVI,
cas cet angle a pour la mesure la moitié de l'arc que sôutient la partie de son costé non perpendiculaire au diametre. ”

“ Le rayon de la section moyenne est l'aire de cet te section 1, 872 X 6, 40 mètres cubes. Ce volume est et le volume ——r—2— = 1,781 mètres cubes. Ce volume est un peu trop petit.
2° Jaugeage des tonneaux. Le diamètre d'un tonneau n'est pas le même dans toute sa longueur; il est plus grand au milieu qu'aux extrémités. Après avoir mesuré la longueur intérieure, le diamètre du fond et celui du bondon, on prendra la demisomme de ces deux diamètres, et l'on assimilera le tonneau au cylindre qui a pour base le cercle décrit sur ce diamètre moyen. ”

“ On sait que le volume engendré par un triangle tel que BED est double du volume engendré par EDF (G., n° 566, 30) ; donc, en désignant par v le volume engendré par AEF, on aura : vol. EDF = v, vol. EBD=2u, vol.DFC=2v donc vol. EBCF = 5v
Problèm. Exprimer, en fonction du côté a d'un cube, la surface et le volume de la sphère inscrite et de la sphère circonscrite.
Pour la sphère inscrite, le diamètre est a, La surface est Tra2, Et le volume Vb71®3-
Pour la sphère circonscrite, le diamètre est la diagonale d du cube ”

“ Ainsi, dans la recherche de l’intersection des deux diamètres, on pourra remplacer le système des équations (10) par le système des équations (11) ; et puisque ces dernières sont indépendantes, de et il en faut conclure que tous les diamètres des lignes de second ordre se coupent en un même point. Il est de plus aisé de voir que ce point doit être leur milieu commun, puisqu’à chaque diamètre répond un conjugué qui doit le couper en son milieu. Le milieu commun de tous, les diamètres d’une ligne de second ordre est ce qu’on appelle le centre de cette courbe. ”

“ Par un point L pris sur un diamètre AB ou sttr son prolonge- ' ment, on mène une sécante CD, on élève une perpendiculaire LM sur le diamètre, et l'on mène les droites BCM, BDN jusqu'à la rencontre de la perpendiculaire ; prouver que le produit LM . LN est constant. ”

“ Le diamètre étant x, l'aire d'un grand cercle est 1liTixi, et l'aire de la sphère est πx2. On a donc :
Exercice 1098
2392. Problème. Avec trois masses égales et homogènes de terre glaise, on construit une sphère, un cône et un cylindre; dans les trois corps le diamètre est de 1 décimètre. On demande la hauteur du cône et celle du cylindre.
Dans les trois corps, le volume V est celui de la sphère, soit *l6nd3 ou 1/6π; soit 0dmc523 716.
Appelons x la hauteur du cylindre; celle du cône sera 3x. Dans les deux solides le diamètre est 1, et par suite le rayon V2. ”

“ Il demeure donc établi par là que le système de diamètres conjugués dont les directions sont venant à varier d’une manière quelconque, de sorte cependant que l’un d’eux reste fixe, le plan coupera constamment, en un même point fixe, le diamètre de dont tous les conjugués sont dans le plan et, comme il est d’ailleurs connu qu’on peut toujours passer d’un système de diamètres conjugués à un autre quelconque, au moyen de trois transformations successives telles que, dans chacune d’elles, un des diamètres reste fixe [1] , il s’ensuit que le théorème est complètement démontré. ”

“ La somme des segments ou d revient à AM + DF, donc FM est connu, il en est de même du côté MN = l et de l'angle F ; on peut donc construire un
Fig. 904.
triangle DHG égal à FMN.
Ainsi prenons DH = AD - d ; du point II, comme centre, avec l pour rayon, coupons DZ en G, menons GN parallèle à CA, puis NM parallèle à GH ; on aura AM + BN — d et MN = l.
Problème 451.
1424. On donne une. circonférence, un diamètre fixe AB oi une
droite xy; mener une corde parallèle à xy et telle que sa projection sur le diamètre fixe ait une longueur donnée 1. ”

“ Dans le cas particulier où l’on aura
(28) la surface, n’ayant point de centre, n’aura qu’un seul diamètre principal que l’on pourra déterminer comme il suit : les équations du diamètre deviendront alors
En exprimant donc que ce diamètre est perpendiculaire au plan tangent à son extrémité, donné par l’équation (13) , on aura deux équations en qui, combinées avec l’équation (10) , ne donneront, pour ces trois coordonnées, en ayant égard à la relation (28) , qu’un seul système de valeurs lesquelles seront les coordonnées du sommet cherché. ”

“ Telle est donc l’équation qui donnera les directions des deux diamètres qui passent par les intersections de la courbe avec le cercle dont le centre coïncide avec le sien, et dont le rayon est
Si nous supposons ce rayon indéterminé, nous pourrons profiter de son indétermination pour faire coïncider les deux diamètres, lesquels auront alors pour direction commune celle de l’un des diamètres principaux ; et la valeur qui en résultera pour sera la moitié de la longueur de ce diamètre.
Il faut pour cela que l’équation (8) ait ses deux racines égales ”

“ Si l'on compare entre eux deux corps semblables de forme, mais différents de grosseur, on remarque que leurs volumes respectifs sont entre eux comme les cubes des diamètres, tandis que leurs surfaces ne sont entre elles que comme les carrés de ces diamètres, ou, en d'autres termes : le volume d'un corps qui s'agrandit, par exemple celui d'une sphère, croît plus rapidement que la surface, et celle-ci plus rapidement que le diamètre. ”

“ Mais on appelle en général diametres conjugués ceux dont l’un est parallele à la tangente menée à l’extrémité de l’autre, & réciproquement, soit que leurs angles soient droits, ou non. Les deux axes se coupent toûjours à angles droits. Voyez Axe.
Les deux axes sont le plus grand & le moindre des diametres de l’ellipse ; mais l’ellipse a une infinité d’autres diametres différens. Voyez Diametre, &c. ”

“ Puisque le rapport d’une circonférence à son diamètre est modifié au voisinage de la matière, il est clair qu’en se déplaçant par exemple à la surface de la terre et par rapport au soleil et à la lune, on modifie, d’une manière faible, mais réelle et continue, le rapport d’un cercle réel à son diamètre. ”

“ Les deux diamètres (transv. et longit.) croissant en raison inverse l'un de l'autre, il arrive que, vers le sommet, ils finissent par devenir presque égaux, et que les dimensions, de rectangulaires quelles étaient, à la base, se rapprochent insensiblement de la forme carrée, à l'extrémité libre. Les derniers éléments, en raison de leurs deux extrémités courbes, qui finissent par se toucher, ont presque la forme arrondie, ou plutôt elliptique : le diamètre longitudinal l'emportant toujours un peu sur le diamètre transversal. ”

“ Si maintenant on suppose que désigne la longueur d’un demi-diamètre principal, alors les deux diamètres égaux qui répondront à cette hypothèse se confondront en un seul ; les valeurs correspondantes de devront donc être égales. ”

“ La seule manière rationnelle de faire de telles évaluations, c'est d'exprimer la longueur de l'objet, son diamètre, etc., en degrés ou minutes de grand cercle ; et comme, en général, ce genre de mesure est difficile, si l'on n'a pas d'instrument, il est bon d'avoir recours à un procédé qui soit à la portée de tout le monde, c'est-à-dire de prendre pour unité une dimension céleste apparente que chacun connaît bien : le diamètre de la Lune ou celui du Soleil, par exemple. ”