Pierre Louis Marie Bourdon

“ ÉQUATION DE LA NORMALE ET EXPRESSION DE LA SOUS-NORMALE. —
On a, d'après l'équation (I) de la tangente, pour celle de la normale,
et en y faisant y = o, on trouve
valeur toujours positive tant que l'abscisse x' du point de contact est elle-même positive.
Si l'on fait x' = A, on obtient pour l'expression de la SOUS-NORMALE,
ou la moitié du paramètre (146) , c'est-à-dire l'ordonnée qui passe par le foyer.
Cette valeur est le minimum de celles que puisse avoir la SOUS-NORMALE dans l'hyperbole, tandis que pour l'ellipse (191) , la même expression était un maximum. ”

“ Toutes les fois que la position d'une droite sera donnée par celle du point B où la droite rencontre l'axe des y, et par l'angle qu'elle forme avec l'axe des x, les constantes a et b auront une valeur déterminée.
Mais on peut imposer à une droite d'autres conditions, telles, par exemple, que celles de passer par deux points pris à volonté sur un plan; de passer par un point donné et d'être parallèle ou perpendiculaire à une droite déjà connue de position ; de passer par un point et de faire avec une autre droite un angle donnée etc. ”

“ J. — DIAMÈTRES DANS L'ELLIPSE. — DIAMÈTRES CONJUGUÉS. — CORDES SUPPLÉMENTAIRES ; LEURS RELATIONS AVEC LES DIAMÈTRES CONJUGUÉS.
177. On appelle, en général, DIAMÈTRE d'une courbe, une ligne (droite ou courbe) qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles menées sous une direction quelconque.
De cette définition il résulte nécessairement que toute courbe a une infinité de diamètres dont la nature dépend de la nature de la courbe elle-même. ”

“ En termes analytiques, une droite asymptote à une courbe est une ligne telle que, si l'on suppose la droite et la courbe rapportées au même système d'axes, la différence entre leurs ordonnées correspondant à une même abscisse décroît de plus en plus à mesure que l'abscisse augmente, et devient moindre que toute grandeur donnée quand cette abscisse est infinie.De cette double définition il résulte évidemment qu'une courbe, ou une branche de courbe, ne peut avoir d'asymptote qu'autant qu'elle s'étend à l'infini. ”

“ DE LA SECTION ANTIPARALLÈLE ou SOUS-CONTRAIRE DANS LE CÔNE OBLIQUE A BASE CIRCULAIRE. — L'intersection d'un cône oblique à base circulaire par un plan donne également lieu aux trois courbes du second degré ; mais elle offre une particularité, c'est que l'on peut obtenir un cercle au moyen de deux systèmes différents de plans parallèles : ce qui n'est pas possible dans le cône droit. ”

“ Remarquons d'ailleurs que l'équation pourrait renfermer les rectangles des variables ainsi que les carrés, sans que la surface cessât d'avoir un centre, et d'être rapportée à ce centre comme origine, puisque la condition caractéristique du centre serait encore remplie. On pourrait même supposer la surface rapportée à des axes obliques menés par cette origine.
Ainsi, dans le cas d'axes quelconques, une équation telle que A H- A'J * + An x.2 + Dyz; + B'.rz -I- B"xy + D = o,
dont plusieurs coefficients peuvent être nuls, représente une surface qui a un centre, et ce centre est l'origine. ”

“ Dans une surface générale, les plans polaires de deux points sont toujours distincts; dans un cône, tous les points situés sur une même droite passant par le sommet auront même plan polaire ; dans le système de deux plans, tous les points situés dans un même plan passant par la ligne d'intersection des plans auront même plan polaire; enfin, dans le système de deux plans confondus, tous les points de l'espace ont même plan polaire. ”

“ Nous observerons, à ce sujet, qu'un problème de Géométrie est en général moins facile à mettre en équation qu'un problème ordinaire d'Algèbre. Dans celui-ci, il suffit, le plus communément, de traduire, à l'aide des signes algébriques, les conditions explicites de l'énoncé, ou du moins des conditions implicites que l'on déduit aisément des premières. ”

“ Ainsi, pour passer d'un système oblique ou rectangulaire à un système de coordonnées parallèles, nous ferons, dans l'équation de la courbe, x = x + a et y = y + b, les x et y du second membre désignant les coordonnées rapportées aux nouveaux axes, dont l'origine a d'ailleurs a et b pour ses coordonnées rapportées aux anciens axes. ”

“ D'où l'on voit que le maximum des angles que forment entre elles les asymptotes de toutes les hyperboles qu'on peut obtenir sur la surface d'un cône droit est l'angle de deux génératrices opposées, ou l'angle au sommet du cône, et qu'ainsi il n'est pas possible de placer sur un cône droit une hyperbole dont les asymptotes font un angle plus grand que l'angle au sommet de ce cône. ”

“ Pour la surface générale, il n'y a pas de plan coupant suivant deux droites confondues, car nous avons vu qu'un plan ne peut avoir qu'un pôle et par conséquent un plan tangent ne peut avoir qu'un point de contact. Si la section de la surface par le plan se composait d'une droite double, tous les points de cette ligne double pourraient être considérés comme points de contact, et le plan aurait une ligne de pôles, ce qui ne peut arriver tant que le Hessien n'est pas nul. ”

“ Supposons actuellement que, x et y désignant toujours les distances d'un point à deux axes rectangulaires ou obliques, la résolution d'une question ait conduit à une équation générale entre x et y, que nous représenterons par F (Le caractère F s'énonce : fonction de.) Je dis que, quand on voudra fixer la position du point qui satisfait à l'énoncé de la question ou dont les coordonnées vérifient l'équation, au lieu d'un point, on en obtiendra une infinité; et la série de ces points formera une ligne qui sera droite ou courbe, suivant la nature et le degré de l'équation. ”

“ S (x2-+-j2-+-z2) se décompose en deux facteurs distincts, égaux, ou est nulle suivant que S est racine simple, double ou triple de l'équation en S. Appliquant ce résultat à la racine nulle, on voit que, dans le cas d'une seule racine nulle 11 (x, y, z) se décompose en deux facteurs distincts; dans le cas de deux racines nulles, c'est un carré parfait. En résumé, l'ensemble des termes du second degré égale à zéro représente un cône, deux plans distincts ou deux plans confondus, suivant que l'équation en S n'a pas de racine nulle, a une seule racine nulle ou deux racines nulles. ”

“ Si le point est intérieur au cercle, les valeurs de m sont imaginaires, et l'on voit bien alors, conformément à la théorie, que ce point ne peut faire partie du lieu, puisque les points du lieu, étant les pieds des perpendiculaires sur les tangentes, doivent être tous extérieurs au cercle, tous les points d'une tangente étant en dehors du cercle.
La discussion de la courbe (9) montre que si le point (a, b) est extérieur au cercle, c'est un point double, et que s'il est intérieur, c'est un point isolé. La courbe est d'ailleurs un limaçon de Pascal. ”

“ Égalés à zéro, ils représentent deux droites réelles et distinctes; donc les courbes du second degré sont deux hyperboles ; chacun des deux facteurs Ax + By A'x + B'y, égalé à zéro, donnant la parallèle aux asymptotes menées par l'origine, on voit que les asymptotes des deux hyperboles seront parallèles aux deux droites. Il est même facile de démontrer que les asymptotes seront les deux droites elles-mêmes. ”

“ Quand le troisième invariant est nul, l'équation représente deux droites ; quand le second s'annule, elle représente une parabole ; il est facile de démontrer que, si le premier est nul, la courbe est une hyperbole équilatère. ”

“ Ainsi, l'équation (1) ne saurait être vérifiée pour un point qui ne se trouve pas sur la circonférence.
Cette équation est donc l'ÉQUATION DU CERCLE, en ce sens qu'elle fixe complétement la position de chacun des points de la circonférence.
Les constantes qui y entrent sont les coordonnées du centre et le rayon ; et, en effet, un cercle est complétement déterminé avec ces données.
71. L'équation est plus compliquée lorsque les axes sont OBLIQUES
(fig. 43) ; car, d'après la formule du n° 49, on a (x - p) 1 + (y - q) 2 + 2. (x - p) (y - q) cos θ = r2, θ désignant l'angle des deux axes. ”

“ N. B. — Comme du point K il est toujours possible de mener deux tangentes KD, KD', il s'ensuit que l'on a deux points M et M' qui satisfont à la question. Ainsi, le problème admet, en général, deux solutions.
Ce résultat s'accorde avec celui de la première méthode employée pour résoudre le problème, puisque l'on est parvenu à une équation du second degré.
22. Remarque. — La construction de la tangente DK, qui a conduit d'une manière si simple à la résolution du problème, est une de ces idées qui s'offrent rarement à l'esprit de ceux qui n'ont pas déjà une grande habitude. ”

“ D'où l'on conclut que, dans l'hyperbole équilatère, tout système de diamètres conjugués est un système de diamètres égaux, et que, dans une hyperbole qui n'est pas équilatère, il ne saurait exister aucun système de diamètres conjugués égaux. ”

“ Nous avons déjà vu que la position d'une droite ou d'un cercle est fixée sur un plan par le moyen d'une équation entre les coordonnées x et y de chacun de ses points et un certain nombre de constantes dont la connaissance suffit pour déterminer cette position géométriquement. ”

“ Prenons sur A'X une distance OB' égale à OA'; nous obtenons ainsi la longueur 2 A' d'un diamètre; et si nous menons au point A' la tangente A'Y', qui est parallèle à la corde MN divisée en deux parties égales par ce diamètre, nous aurons pour l'équation de la courbe rapportée au système d'axes A'X, A'Y' (voyez le n° 144) ,
ou, remplaçant y et x par les coordonnées particulières MP et A'P, et A' par la longueur OA',
expression homogène qu'il est facile de construire d'après les moyens connus. ”

“ On voit, premièrement, qu'à une même valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes coutraires; secondement, que, quelque valeur positive ou négative que l'on donne à x, on a toujours pour y des valeurs réelles. Ainsi l'on est déjà certain que la ligne demandée, qui est encore ici une courbe, s'étend indéfiniment au-dessus et au-dessous de l'axe des x, à droite et à gauche de l'axe des y.
Faisons quelques hypothèses : Soit d'abord x = o ; on tire de l'équation proposée, y V4 = ±2.
Prenons sur AY deux distances AB, AC, égales à 2 ; les points B et C appartiennent à la courbe. ”

“ La détermination d'une courbe du second degré, d'après certaines conditions, est, en général, un problème assez difficile à résoudre par l'analyse, à cause de l'embarras que l'on éprouve souvent dans le choix des axes. ”

“ Les deux courbes étant tracées, on reconnaît qu'elles ne se rencontrent qu'en un seul point M dont l'abscisse est comprise entre 2 et 3 [et, en effet, ces deux nombres substitués dans l'équation (1) donnent des résultats de signes contraires] .
Ainsi l'équation (1) ne peut avoir qu'une racine réelle.
N. B. — Comme les branches négatives des deux courbes sont assez rapprochées l'une de l'autre dans le voisinage des points correspondants à y = 1, on pourrait penser qu'il y a de ce côté quelque point d'intersection. ”

“ Lorsque x est très-grand, le cours de l'hyperbole est presque celui d'une ligne droite ayant pour équation
tandis que le cours de la parabole tend alors à se confondre avec celui d'une ligne droite parallèle à l'axe des x.
261. Si l'on combinait, comme on l'a fait au n° 244, l'équation y2 = 2 px avec celle d'une droite y = mx + n, afin de reconnaître si la parabole, qui est une courbe infinie, a des asymptotes, on parviendrait à l'équation m2x2 + 2 (mn — p) x + n2 = 0, dont les deux racines ne peuvent devenir infinies ensemble, que lorsque l'on fait 1 m2 = 0, mn - p = 0; d'où n = E ”

“ Les principes établis (23, 24 et 25) peuvent être résumés de la manière suivante : 1° Toutes les fois que, dans la résolution d'un problème de Géométrie par le secours de l'Algèbre, l'inconnue représente la distance d'un point fixe à un autre point, comptée sur une droite fixe, et que l'on obtient, pour expression de cette inconnue, des résultats, les unspositifs et les autres négatifs, Si l'on est convenu de porter les valeurs positives dans un sens quelconque à partir du point fixe, les valeurs négatives doivent être portées en sens contraire du précédent. ”

“ Au lieu d'effectuer l'élimination de x', y' entre les équations (1) et (2) , on peut construire les lieux géométriques qu'elles expriment, et l'on est alors conduit à des conséquences analogues à celles qui ont été déduites pour le cercle (108) .
D'abord, l'équation (2) , en tant que l'on considère x', y' comme des variables, n'est autre que celle de l'ellipse déjà construite.
En second lieu, pour obtenir la droite exprimée par l'équation (1) , il suffit de chercher les points où elle rencontre les deux axes. ”

“ Le mode particulier de détermination des asymptotes, exposé au n° 307, et dont nous avons fait l'application au second exemple, est fondé sur la propriété démontrée aux nos 244 et 245, savoir : que, dans l'HYPERBOLE, toute droite qui rencontre la courbe à l'infini est nécessairement une asymptote. ”