“ Avant de se proposer de représenter sur un tableau la perspective de divers objets originaux, réels ou supposés, il est donc nécessaire de fixer le point de l’espace où l’on suppose le spectateur ; il ne l’est pas moins de fixer aussi, dans l’espace, la situation des objets que l’on se propose de représenter. On parvient au but, en rapportant l’œil et les objets, ainsi que la perspective de ces derniers, à certains plans, à certaines droites et à certains points que nous allons faire connaître. ”

“ Corollaire II. Lorsque est un nombre pair, on a
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, suivant que sera de la forme ou de la forme et la série devant être poussée aussi loin qu’on pourra le faire sans y admettre d’arcs négatifs, en réduisant son dernier terme à sa moitié seulement.
Corollaire III. Lorsque est un nombre impair, on a
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris suivant que sera de la forme ou de la forme et la série devant être poussée aussi loin qu’on pourra le faire sans y admettre d’arcs négatifs. ”

“ Or, pour peu que soit grand, on pourra supprimer l’unité vis-à-vis de ce qui donnera simplement
c’est-à-dire, que la plus grande erreur à craindre sur le quotient de la division de deux nombres entiers, approchés à moins d’une demi-unité, est le quotient de la division de la demi-somme de ces nombres par le carré du diviseur.
Si, par exemple, le dividende est et le diviseur la limite de l’erreur du quotient sera c’est-à-dire environ un demi-centième ; on pourra donc pousser la division à deux chiffres décimaux, sans craindre d’être en erreur de plus d’une demi-unité décimale du dernier ordre ”

“ Or, par les propriétés connues de l’ellipse, les lois de la réflexion et la nature du problème, il est aisé de voir qu’au point l’ellipse dont il s’agit doit avoir un élément commun et par conséquent une tangente commune avec la courbe cherchée, de sorte que, dans l’équation ci-dessus, le coefficient différentiel de l’ellipse peut être remplacé par celui de cette courbe. ”

“ Il est d’ailleurs évident que le point où la vapeur se convertit en liquide est fixe ; mais que la vaporisation s’opère à toutes les températures. L’ordonnée représente la plus grande force élastique dans chaque point de la masse. La distinction qu’on établit entre les vapeurs et les gaz secs pourrait bien, au surplus, consister uniquement en ce que ceux-ci sont des vapeurs très-éloignées du maximum, ou en ce qu’ils sont représentés par une courbe de la forme (fig. 8) ”

“ Toutefois, lorsque le spectateur s’éloigne peu du point où le peintre a supposé qu’il se placerait, la déformation n’est pas très-choquante, sur-tout lorsque le tableau est fait pour être vu d’un peu loin ; et voilà aussi comment il est possible d’exécuter un tableau qui fasse illusion à la fois à plusieurs spectateurs. Le peintre doit alors supposer son spectateur idéal au centre des moyennes distances des têtes de tous les spectateurs, afin que la déformation des objets ne soit pas trop choquante poux aucun d’eux. ”

“ Et de là résultera encore que le volume soit d’un onglet sphérique, soit du corps terminé par une zone et par deux surfaces coniques de mêmes bases qu’elle, ayant leur sommet commun au centre de la sphère, soit d’un secteur sphérique, soit enfin de la sphère entière, est le produit de la multiplication de l’aire du fuseau, de la zône, de la calotte ou la surface sphérique entière qui le termine par le tiers du rayon de la sphère. ”

“ Cette même équation prouve aussi que, si la force d’impulsion des rames était nulle ou celle du courant infinie, la barque suivrait simplement le cours du fleuve, parallèlement à la direction du bord opposé à celui du départ ; de sorte qu’elle n’atteindrait ce bord qu’à une distance infinie. Si au contraire la force d’impulsion du courant était nulle ou celle des rames infinie, la barque parviendrait d’un bord à l’autre dans une direction rectiligne, perpendiculaire à la direction commune de ces deux bords. ”

“ Les coefficiens de et étant les mêmes, au signe près, on ne saurait établir des conditions distinctes pour l’une et pour l’autre limites ; ce qui revient à dire qu’une droite qui coupe des parallèles fait avec elles des angles égaux.
Si aucune condition n’est prescrite pour l’une et l’autre limites et devront demeurer tout-à-fait indépendans ; on ne pourra donc poser l’équation aux limites ne pourra donc subsister qu’autant qu’on aura de sorte que l’équation de notre droite se réduira simplement à où demeurera indéterminé. ”

“ Un fait général pour tous les solides est qu’arrivés à un certain degré de température, cette température n’est plus augmentée par une augmentation de jusqu’à ce qu’un changement d’état l’ait rendu susceptible de recevoir un nouvel accroissement.
Si l’on regarde ce point comme répondant à un maximum dans la courbe des températures, ce qui convient avec la forme concave, on obtient une explication complète des phénomènes qui accompagnent le passage des corps d’un état à un autre. ”

“ Or il est évident que toute droite menée par l’un des deux centres de similitude de deux cercles est dans le même cas par rapport à ces deux cercles ; donc elle en est une ligne homologue commune ; elle les coupera donc en segmens semblables si elle les coupe ; elle sera tangente à l’un si elle l’est à l’autre ; et, si elle ne rencontre pas celui ci, elle ne rencontrera pas l’autre non plus. ”

“ La vitesse qu’il acquiert, d’abord infiniment petite, s’accroît continuellement par l’effet de la pression ; mais cette pression devant nécessairement diminuer d’intensité à mesure que la vitesse du mobile tend à devenir égale à celle du gaz, il arrive enfin un terme où elle devient tout-à-fait nulle, et où conséquemment le mobile n’a plus d’autre cause de son mouvement que la vitesse qui lui a été antérieurement communiquée. Pendant tout le temps de la durée de l’impulsion, le mobile a reçu à chaque instant une quantité de mouvement infiniment petite ”

“ Mais on trouve aussi quelquefois des polynômes qui, sans être des cas particuliers de l’intégrale complète, ni des facteurs communs à tous les coefficiens de dans l’équation différentielle, satisfont néanmoins aux conditions exprimées par cette dernière, quand on les égale à zéro. Nos analistes modernes les ont appelés Solutions particulières ; ils en ont expliqué l’origine, ils ont donné le moyen de les obtenir, sans résoudre l’équation différentielle proposée, et ont fait voir que les lignes qu’elles représentent sont les enveloppes de celles que représente l’intégrale complète. ”

“ Il est évident qu’alors le problème d’assigner, pour l’un des cercles, un point ou une droite qui soit l’homologue d’un point ou d’une droite donnés par rapport à l’autre n’admettra plus qu’une solution unique.
10. Soient deux cercles tracés sur un même plan ; on peut toujours, sur la droite qui joint leurs centres, assigner deux points et deux points seulement, l’un entre les centres et l’autre au-delà du centre du plus petit dont les distances à ces deux centres soient proportionnelles aux rayons des deux cercles. ”

“ En particulier, lorsque la ligne originale est droite, la surface conique se réduit à un plan qui coupe le tableau suivant une autre droite. Ainsi, la perspective d’une ligne droite est elle-même une ligne droite ; de sorte qu’il suffit, pour la déterminer, d’assigner les perspectives de deux quelconques des points de la droite originale ; ce qui ramène le problème au précédent ; mais nous allons voir qu’on peut souvent parvenir au but d’une manière beaucoup plus simple. ”

“ Si enfin négatif a une valeur absolue plus grande que l’unité, c’est la première des deux courbes qui est hyperbolique, tandis que la seconde est parabolique.
Mais il est un cas particulier qui rend illusoire une partie des formules auxquelles nous venons de parvenir, à raison du dénominateur qui affecte leurs termes : c’est celui où le maître, marchant dans le sens du courant, a sur ce courant un excès de vitesse précisément égal à la vitesse que son chien pourrait se donner en nageant dans une eau tranquille. ”

“ Quelle que soit la courbe décrite par le chien, on peut toujours supposer qu’à chaque instant il marche sur la tangente à cette courbe ; d’où il suit qu’à chaque instant aussi la tangente menée à la courbe qu’il décrit, par le point de cette courbe où il se trouve, va couper la droite décrite par son maître au point où celui-ci se trouve lui-même en cet instant. ”

“ Il n’est pas difficile, d’après ce qui précède, de déterminer la perspective d’un polygone ou d’une portion de polygone rectiligne, plan ou gauche ; puisqu’il ne s’agit pour cela que de joindre par des droites les perspectives de ses sommets ; ce qui donne un polygone ou portion de polygone plan rectiligne.
S’il s’agit de la perspective d’une courbe plane ou à double courbure ; on prendra sur elle des points assez voisins les uns des autres pour que les cordes menées consécutivement des uns aux autres se confondent sensiblement avec leurs arcs ”

“ En prenant ces asymptotes pour les axes des coordonnées, on pourra prendre, pour l’équation commune à toutes ces hyperboles,
dans laquelle est un paramètre indéterminé. Si alors est le point de l’une de ces courbes où elle est coupée par l’une des courbes cherchées, les équations des tangentes à ces deux courbes en ce point seront
afin donc qu’elles se coupent perpendiculairement, on devra avoir
ou équation qui a pour intégrale, en supprimant les accens,
qui appartient bien, en effet, à toutes les hyperboles équilatères qui ont pour diamètres principaux les asymptotes des premières. ”

“ Maintenant nous observerons que, pour toutes les valeurs de qui donnent le même signe à la réalité, ou généralement la forme des racines différentes de est absolument indépendante de la valeur de même, de manière qu’on peut mettre une valeur quelconque pour par exemple, pour un cosinus positif et pour un cosinus négatif, sans passer d’une racine réelle a une racine imaginaire, ou généralement de la forme d’une racine quelconque, correspondant à une certaine valeur de à une autre forme. ”

“ On conçoit donc que la poudre qui, sous une charge donnée, produit la plus grande portée ou le plus grand recul, peut fort bien ne pas conserver cet avantage, lorsque le poids de la charge viendra à varier.
Les obstacles que les gaz rencontrent, en cherchant à se dégager, influent aussi singulièrement sur la manière dont ils se forment et le degré d’élasticité qu’ils acquièrent. Le projectile s’oppose d’autant plus à leur développement que l’angle sous lequel on tire est plus considérable. ”

“ Toute ligne peut être considérée comme l’enveloppe d’une infinité de systèmes d’enveloppées différentes. L’équation générale de celles-ci est arbitraire ; elle doit seulement renfermer un paramètre variable, et représenter une ligne tangente à la première en des points qui varient de situation lorsqu’on fait varier ce paramètre. ”

“ Concevons qu’ayant circonscrit à l’arc de cercle une portion de polygone régulier quelconque, on la considère comme le périmètre de la base d’une portion de surface prismique droite ayant même axe que le cylindre et terminée par sa rencontre avec les trois plans et qu’on fasse de cette surface la base d’une pyramide ayant également son sommet en on conçoit que la pyramide cylindrique sera la limite de la pyramide prismique, et que la base de la première sera la limite de la base de la seconde. Tout se réduit donc à assigner l’aire de la base et le volume de la seconde ”

“ Que si présentement on nous demande quels avantages peuvent avoir nos notations et nos méthodes sur l’algorithme et les procédés ordinaires du calcul des variations, et quelles vérités nouvelles nous avons ajoutées à celles qui étaient déjà découvertes, nous répondrons que tel n’a pas été notre but ; que nous conseillerons même de préférer, dans la pratique, comme nous employons nous-mêmes pour notre propre usage, la méthode des variations proprement dite. ”

“ La valeur de qui est ici
fait voir d’ailleurs que croissant de à l’infini, croîtra de zéro à l’infini positif, tandis que décroissant de à zéro, décroît de zéro à l’infini négatif ; et comme d’un autre côté devient également infinie, soit qu’on fasse nul ou qu’on le fasse infini ; on en doit conclure que la courbe, constamment convexe vers l’axe des a deux branches infinies comme la parabole, avec cette différence que ces deux branches n’ont pas la même courbure. ”

“ L’équation (XIX) ne pourra donc alors subsister qu’autant que les coefficiens de ces diverses fonctions seront séparément nuls ; cette équation (XIX) se partagera donc dans les suivantes :
lesquelles seront, en général, en même nombre que les constantes introduites, et serviront à en assigner les valeurs.
34. Mais si, au contraire, on exige qu’à l’une ou à l’autre limites, ou à toutes les deux, il existe, entre et et leurs divers coefficiens différentiels, une ou plusieurs relations données ; et toujours indéterminés, ne seront plus dès-lors tout-à-fait arbitraires. ”