Surface conique

“ Tu te trouves au sommet d'un cône dont la calotte terrestre que tu découvres est la base. Ce cône est beaucoup plus aplati que n'est un cornet de papier ou un pain de sucre; mais ce n'en est pas moins un cône, le plus ou moins de distance du sommet à la base ne faisant rien à Tanaire. Mais si haut que tu puisses monter, même en ballon, la distance que tu mets entre ta personne et la terre est si peu de chose, par rapport à la circonférence de notre globe, que tu ne t'aperçois pas
que ton rayon visuel, pour suivre la ligne d horizon, décrit une surface conique. ”

“ Et si c'est la surface A qui devient une conique, il s'ensuit que : La conique focale, d'espèce différente, d'une surface du second ordre peut être décrite par un stylet qui tend un fil dont les extrémités sont en deux points faces de la surface et dont les deux branches s'appliquent librement sur la surface.
Ce nouveau procédé de description d'une conique est une généralisation du beau théorème de M. Dupin sur le système des deux coniques dont l'une est le lieu des foyers de l'autre.
( 1) Comptes rendus, t. XXII, p. 107-111. — Journal de Mathématiques, t. ”

“ S'il s'agissait de façonner un tronc de cône, à bases parallèles, ce qui arrive le plus souvent, on conçoit qu'il faudrait d'abord tailler un tronc de pyramide, circonscrit au tronc de cône, et en multiplier successivement les faces latérales.
quement aussi rien ne s'opposera à ce qu'on plie la surface plane ainsi obtenue, de manière à reproduire la surface conique. C'est ce troisième mode de génération du cône qu'emploient le chaudronnier, le ferblantier, le cartonnier, etc., lorsqu'ils veulent obtenir des tubes de forme conique. ”

“ Ce raisonnement montre que le principe s'applique aux troncs de surfaces coniques obliques, aussi bien qu'à ceux des surfaces coniques droites.
PROBL. (a) : Tracer le développement d'un tronc de surface conique droite dont on a les projections (P. XI, F. 25) .
Prolongez l'axe et l'une des génératrices droites jusqu'à leur rencontre S; faites (F. 26) le développement SB'B" de la surface entière (p. 325 ou 526) ; puis décrivez dans ce secteur, un arc EE', avec SE pour rayon (F. 25) . La portion d'anneav plan B'B"E'E (F. 26) sera le développement demandé. ”

“ Quand les dimensions du tronc de cône droit, terminé par deux circonférences parallèles, ne permettent pas de l'exécuter' sur le tour, et que la nature, de la matière s'oppose à l'emploi du développement, on le façonne en construisant un grand nombre de plans tangens, comme pour une surface conique entière. ”

“ Les rayons des cercles D, D', D",. iront en grandissant, enfin on aura un cercle de rayon infini, et ce cercle ne sera autre que la droite 0 ; dès lors le cône enveloppant l'hyperbole E et le cercle 0 de rayon infini ne sera autre que le plan P de l'hyperbole E. Mais. sur ce plan, qui va jouer ici non-seulement le rôle de surface conique, mais celui encore d'une surface conique appartenant à la série des cônes S, S', S",. il devra exister un point tout particulier qui sera appelé à jouer le rôle de sommet de cône. ”

“ Quand la directrice du centre est une conique, on reconnait que les plans des intersections successives de la sphère passent par une même droite, si la première droite fixe est perpendiculaire à l'axe focal de la conique, et que le rapport du rayon de la sphère à la distance de son centre et de cette droite soit l'excentricité de la conique. Les lignes de courbure sont alors toutes des cercles; la surface est une surface cyclique. - ”

“ Miroir conique, speculum turbinatum, cadran conique, qui a la figure d’un cône concave ou convexe. Une ligne conique, est la ligne courbe qui borne une section conique ; ou c’est la section d’un plan, & de la superficie d’un cône, qui n’est pas coupé par son axe. ”

“ Et en effet : en unissant les points a et d par une droite et faisant glisser le cône D parallèlement à lui-même jusqu'en la position D', position en laquelle le sommet d sera venu se superposer sur le sommet a, ce cône D' sera coupé par le plan du cercle C, suivant un cercle C'; et il est évident que l'on pourra toujours choisir sur la conique E , le point d de telle manière que les deux cercles C et Cne se coupent pas ou ne se touchent pas, en un mot n'aient entre eux aucun point commun ; et l'on sait que dans ce cas les deux cônes A et D se coupent toujours suivant une ellipse. ”

“ Parmi tous les corps qui peuvent être exactement retracés sur un plan, le cône et le cylindre ont le plus d'affinité avec la sphère ; le cône surtout offre l'avantage qu'une petite zone conique ne diffère presque pas d'une zone sphérique. Aussi ce sont les développements coniques qui fournissent les meilleures projections des cartes géographiques spéciales, et même, à l'aide de quelques modifications, pour des parties considérables du globe. ”

“ Or l’œil de notre spectateur est ici au sommet commun de plusieurs cones formés par les différentes especes de rayons efficaces & la ligne d’aspect. Sur la surface de celui dont l’angle au sommet est le plus grand, & qui contient tous les autres, sont ces gouttes ou parties de gouttes qui paroissent rouges ; les gouttes de couleur de pourpre, sont sur la superficie du cone qui forme le plus petit angle à son sommet ; & le bleu, le verd, &c. sont dans les cones intermédiaires. ”

“ Les Cônes se trouvent à l'élal fossile depuis l'étage sénonien ; les espèces vivantes pullulent dans les mers actuelles. — Les amateurs recherchent le C. amiral ou C. cedo nulli, le C. drap d'or, le C. écorce de citron, le C. écorce d'orange, etc.
En Botanique, on appelle cônes, à cause de leur forme conique, les chatons qui supportent les fleurs femelles des végétaux conifères. Ces cônes, que l'on a aussi nommés strobiles, sont composés d'écaillés persistantes, ordinairement disposées en cône. C'est à l'aisselle de ces écailles que sont les fleurs et plus tard les fruits. ”

“ Le développement de la surface convexe du cône est un secteur circulaire décrit d'un rayon égal aux côtés du cône et dans lequel l'arc qui lui sert de base est égal en longueur à la circonférence de la base. ”

“ Les arcs cycliques de la conique sont les deux arcs de grands cercles {toujours réels) sur lesquels se trouvent les points d'intersection {imaginaires) de la conique et du cercle imaginaire (en d'autres termes, ces arcs sont les côtés réels du quadrilatère sphérique [imaginaire] inscrit à la conique et au cercle) .
Il est une propriété d'un système de cônes de révolution de même sommet, qui joue.aussi un grand rôle dans ces recherches; elle consiste en ce que tous ces cônes ont un double contact avec le cône {imaginaire) asymptote d'une sphère décrite de leur sommet comme centre. ”

“ Dans une plaine d' argile qui a 1 5 0 pas de long sur 5 0 de large , écrit Dolomieu , on trouve une trentaine de cônes avant de 0m , 6 0 à 1 mètre . Chacun porte vers son sommet un petit enfoncement de quelques centimètres , qui est rempli d' eau salée ; constamment , la surface de ces petites flaques d' eau est agitée par le dégagement des bulles de gaz . Il en résulte , sur le flanc des cônes , de petits courants d' argile délayés par l' eau salée , qui ressemblent pour la forme à de petits courants de lave . ”

“ Une telle correspondance est appelée une polarité; le point P est appelé le pôle de la droite p qui lui correspond, la droite p est appelée la polaire du point P.
Un pôle n'est, en général, pas situé sur sa polaire ; l'ensemble de tous les pôles exceptionnels qui sont situés sur leur polaire est appelé une conique-lieu. Une polaire ne passe, en général, pas par son pôle ; l'ensemble de toutes les polaires exceptionnelles qui passent par leur pôle est appelé une conique-enveloppe. On appelle conique l'ensemble des points de la conique-lieu et des droites de la conique-enveloppe. ”

“ Surface centrale d’un sépiostaire. Le cône, ou la coupe longue évasée (e, e, é, é) , est composé de lames calcaires très minces alternant avec des membranes cornées, qui s’étendent latéralement de manière à constituer le bord mince du cône. ”

“ Dans tout hexagone inscrit : à une conique, les trois points de concours des côtés opposés se trouvent en ligne droite.
1° La démonstration se déduit immédiatement du théorème connu pour le cercle. (G., n° 747.) Il suffit de projeter le cercle et l'hexagone inscrit pour obtenir l'ellipse ; donc...
On peut aussi placer la conique sur un cône de révolution ; la propriété établie pour l'hexagone inscrit dans le cercle s'étend à l'hexagone inscrit dans une conique quelconque. ”

“ Génération et évolution du type conique. — Notons d'abord que les populations qui ont adopté le type conique tirent vraisemblablement leur origine du Nord-Est, pays où la végétation est rare en des plaines herbeuses, souvent complètement arides. Là, peu ou pas d'abris naturels contre les ardeurs d'un soleil, que ne tempère aucun voile de brume; pluies toujours plus rares à mesure qu'on remonte vers le Nord. L'homme dut suppléer à la nature au moyen de la tente, composée essentiellement d'un poteau central et de peaux de bêtes grossièrement cousues. ”

“ Or, on peut considérer la surface latérale du cône droit, dont BC (fig. 167) est le rayon de la base, et AB la hauteur, comme celle d'une pyramide régulière dont la base serait un polygone régulier d'un nombre infini de côtés ; et si on développe le cône sur un plan, à l'instar d'une pyramide régulière, le contour de sa base s'étendra en un arc de cercle PQ dont le rayon AP sera égal au côté AC du cône ; tandis que la surface du cône se développera en un secteur circulaire PAQ, ayant cet arc pour base. ”

“ Réciproquement, ce secteur peut être enroulé sur le cône.
Imaginons que le cône repose sur un plan par une de ses arêtes, puis roule sur ce plan sans glisser, de manière que chacune de ses arêtes vienne successivement se mettre en contact avec le plan ; quand le cône aura fait un tour entier, c'est-àdire quand la même arête reviendra en contact, le cône aura parcouru sur le plan une aire égale au développement de sa surface latérale. ”

“ Des convulsions éprouvées à cette époque par le Globe, ayant chassé de son sein la matière fluide qu'il renferme, l'ont fait extravaser au milieu de ces alternats ou à leur surface; ce qui a produit le mélange hétérogène des Terrains d'origine primitive qui ne renferment nuls débris de la nature organique, avec les Terrains diluviens, qui dans la majeure partie de leur développement, en sont pour ainsi dire pétris. ”

“ Lorsqu'un cône de révolution est circonscrit à un ellipsoïde, l'arête du cône comprise entre le sommet et un point de la courbe de contact, et l'arc géodésique mené de ce point à un ombilic situé sur la même branche de l'hyperbole focale que le sommet du cône, ont une différence constante. ”

“ Tout cône (1) à base circulaire est le lieu des points de l'espace vérifiant une relation de la forme (3) , la droite AA1 et le plan A passant par le sommet N du cône ; réciproquement, le lieu des points de l'espace vérifiant une relation (3) , dans laquelle AA1, et Δ se coupent en un point N à distance finie, est un cône à base circulaire de sommet N. - En effet, soient r la base circulaire d'un cône de sommet N, AA, l'une des droites focales de Γ passant par N, A le plan directeur correspondant passant par N; Γ sera définie dans son plan, par une relation (3) . ”

“ On arrive au même résultat en développant le cône. Le cône ouvert et étalé sur un plan donne un secteur de cercle dont le rayon est le côté du cône et dont l'arc est égal à la circonférence de la base du cône. ”

“ Enfin le cône d'ombre est percé dans son milieu par une lumière qui, faible à partir du disque, s'accroît peu à peu jusqu'à ce qu'il arrive à de la distance de la longueur totale du cône, où elle forme alors un cercle assez lumineux qui lui-même va s'éteindre insensiblement vers la moitié du cône pour faire place à une ombre très-foncée. ”

“ Lorsque les racines ont été rangées en forme de cône, ou en lignes allongées comme du bois de corde, on creuse tout autour ou à côté des fossés peu profonds dont la terre est rejetée sur le tas, de manière à le recouvrir d'une épaisseur que la gelée ne puisse traverser. ”

“ Le fond des océans et la surface des continents apparaissent ainsi comme modelés par une cause unique primordiale, dont nous aurons à rechercher la nature, les fosses océaniques profondes formant dans un même mouvement d'ensemble la contre-partie des saillies continentales élevées. ”

“ Sur plusieurs points aussi toutes ces roches sont transformées en alunite rose ou blanchâtre par l'action des vapeurs sulfureus.es. La grande cavité centrale présente dans son milieu un cône aigu, le Puy Griou, formé par une phonolite grise prismatique, employée en guise d'ardoises grossières. La surface du cône du Cantal est formée par des nappes de basalte noir, renfermant fréquemment des cristaux de péridot, de fer titané, et quelquefois de pyroxène noir et assez souvent
en prismes perpendiculaires aux surfaces inférieure et .supérieure ”

“ Il y a plus peut-être, par l'examen attentif de ces phénomènes, parviendrait-on à savoir si le cône d'ombre
que la Terre projette dans l'espace est d'une longueur proportionnelle à la longueur du cône d'ombre que projettent les corps à travers notre atmosphère.
Voici pourquoi je fais cette observation : J'ai déjà dit que c'était de la longueur du cône d'ombre projeté par une boule que j'ai inféré la distance de la Lune à la Terre. ”