Ligne de courbure

“ Dans toute surface, à aire minima provenant de la déformation d'une surface de révolution, les lignes de courbure sont coupées sous un angle constant par une même ligne géodésique, transformée d'un des méridiens. ”

“ Le rayon de courbure de l'intersection de la surface extérieure par le plan vertical d'une ligne de visée prendra une plus grande longueur ; l'arc double de celui qui va de la station au point de repère correspondant conservant sa longueur linéaire, la corde de cet arc diminuera et sa flèche augmentera. Ainsi la station s'élèvera au-dessus de sa position première, et on verra la ligne de visée s'élever au-dessus du point fixe éloigné. ”

“ Les surfaces cylindriques, coniques et sphériques, sont la base essentielle de presque toutes les combinaisons de l'industrie; mais il est utile cependant de considérer les surfaces courbes sous un point de vue plus général. Quoique la courbure des surfaces puisse être variée d'une infinité de manières, on peut renfermer tous les cas particuliers dans une même définition, en disant que toute surface est engendrée par le mouvement d'une ligne, droite ou courbe, plane ou à double courbure, constante ou variable de forme, et qui se meut suivant des condi tions données. ”

“ SUPPOSONS qu'on chemine sur une courbe, en regardant toujours dans le sens de la tangente à cette courbe, pour le point où l'on se trouve. Il ne suffira pas d'avancer devant soi, il faudra tourner à chaque instant vers la partie rentrante de la ligne qu'on suit. La courbure de cette ligne est proportionnelle à la quantité dont on tourne ainsi, divisée par chaque petit espace qu'on parcourt. ”

“ Le lieu de cette courbure est marqué, sur la surface convexe, par une ligne saillante, oblique d'arrière en avant et de haut en bas; c'est l'angle de la côte qui donne insertion aux tendons du sacro-lombaire. L'intervalle qui sépare la tubérosité de l'angle, est la partie la plus épaisse et la plus résistante de l'os. ”

“ Dans le plan joint à mon rapport les profondeurs, les largeurs et les courbures sont indiquées de l’embouchure de l’Yssel jusqu’à kilomètre 28. La ligne rouge indique la largeur après l’achèvement des travaux de régulation en exécution. Après l’achèvement des travaux le plus petit rayon de courbure sera de 230 m. Les plus grandes profondeurs correspondent aux plus grandes courbures ou se trouvent un peu plus en aval. Généralement on observe tant d’irrégularités que jusqu’ici il n’est pas possible de trouver des relations définitives entre la courbure et la profondeur. ”

“ Enfin, il faut qu'avec un crayon, la courbe tracée le long de la règle pliée, passe par tous les points A, A', A", fig. i3. On a besoin d'une grande habitude, lorsqu'on fait cette opération , pour que la courbure de la ligne soit produite, d'un bout à l'autre, par des dégradations insensibles, et présente le degré de continuité qui contribue à diminuer la résistance que l'eau
éprouve à glisser le long de la carène, quand le navire est en mouvement. ”

“ N°. 37. Figure curviligne. Espace terminé par des lignes courbes. Lorsque les lignes courbes ne sont pas régulières, on les nomme figures sinueuses.
Nos. 38 et 3g. Ligne hélice. C'est celle qui tourne en vis autour d'un cylindre , qui a pour base un cercle.
N°. 4o. Ligne spirale. Courbe qui se meut uniformément autour d'un point fixe, et fait plusieurs révolutions en s'éloignant de ce point.
Cette courbe est dans un même plan.
N°. 4i. On nomme aussi spirale, l'hélice ou vis tracée sur le cône ; cette courbe ainsi que l'hélice cylindrique , est à double courbure. ”

“ Cette courbure est suffisante pour faire développer un nouveau bourgeon sur les coudes ; on favorise l'accroissement de ces nouveaux bourgeons à l'aide de la ligne verticale; on veille à maintenir l'équilibre entre les quatre, et au printemps suivant on met tout en place.
Lorsque chaque branche a atteint la limite qui lui est assignée, on relève le prolongement, et on le greffe par approche sur la branche qui est au-dessus, et ainsi de suite, jusqu'au haut de l'arbre, où un seul tire-séve de chaque côté est suffisant pour entretenir l'ascension de la séve. ”

“ Pour en obtenir la courbure, tracez sur le plan les lignes G,H,I, ainsi que celles K,L,M,N,0,P,Q> qui sont le derrière des contre-marches; celles R,S,T, sont arbitraires-; tirez ensuite les horizontales b,c,d,c,f; fig. 4, ainsi que celles e,f,e,g ,h, fig. 5; prenez au plan les distances des points 2,3,4,5,6,18 et 19; portez-les à la figurer; par ces points, abaissez des perpendiculaires : leur rencontre avec les horizontales donne la ligne courbe U du milieu ”

“ Or, si l'on prenait arbitrairement les directrices ec, ue, les deux surfaces réglées se couperaient suivant une courbe à double courbure, dont l'effet désagréable détruirait la régularité de la douelle.
En introduisant cette condition que les deux courbes ee ,UC, se coupent en un point c, on fait disparaître la courbe à double courbure, résultant de l'intersection des deux surfaces réglées.
Mais cette courbe se trouve remplacée par une ligne droite sc, et la difficulté n'a fait que changer de nature. 11. n'en existe pas moins dans la douelle un pli ou cassure d'un effet désagréable. ”

“ Tout ce qu'on sait de positif, c'est que, comparant des pièces courbes à des pièces droites, de même longueur et de même équarrissage, la courbure naturelle augmente la résistance, tandis que la courbure à la hache la diminue. ”

“ Or si A' est immédiatement adjacent à À, il se trouve dans la surface de la sphère de courbure, en ce point; et AO, A' O sont perpendiculaires à la surface de celte sphère, dont O est le centre par conséquent. La proposition générale peut s'énoncer ainsi qu'il suit :
« L'équilibre en un point quelconque sur lequel repose le corps, est stable ou instable, suivant que le centre de gravité est en dessous ou en dessus du centre du cercle de courbure en ce point. » ”

“ Si les lignes de courbure d'un système sont dans des plans parallèles à une même droite et coupent la surface sous un angle dont le cosinus est proportionnel à leur distance à une droite fixe, les lignes de courbure de l'autre système appartiennent à des sphères dont les centres sont situés sur cette droite. ”

“ C’est une ligne courbe qui est décrite par l’extrémité supérieure du diamètre d’un cercle, lorsqu’il se meut perpendiculairement sur une ligne droite : ou pour parler populairement : ce n’est autre chose que la ligne courbe qu’un clou fiché dans le haut d’une roue trace dans l’air, lorsque la roue se meut. ”

“ C’est donc un peu moins de six pouces de courbure, depuis le bondon ou trou du tonneau, jusqu’à l’extrémité de la douve, que dans quelques endroits on appelle douelle. Cette courbure n’est pas suffisante, 1o. parce qu’il faut compter pour beaucoup l’épaisseur des cerceaux & leur ligature en osier, qui portent & donnent une hauteur de quinze à dix-huit lignes, & qui réduisent la courbure à l’extérieur, à quatre pouces six lignes environ ; 2o. après un certain nombre d’années, les courbures tendent à s’affaisser & à se rapprocher de l’horisontalité ”

“ On s'est aperçu depuis fort longtemps déjà que, lorsqu'un plan, au lieu d'être rigoureusement plat, présentait une certaine courbure d'avant en arrière, il offre une résistance beaucoup plus grande à l'avancement, à la condition, bien entendu, que cette courbure se présente au vent relatif par son côté concave, et non par sa partie supérieure. ”

“ De là la supériorité du mouvement curviligne ; la ligne courbe, formée d’une infinité de lignes qui se fondent sans interruption l’une dans l’autre, est comme le schéma d’un mouvement dans lequel très peu de force se perd, où aucun effet inutile n’est demandé à aucun muscle. ”

“ La courbure agit parce que la force centrifuge varie en raison du rayon de courbure, mais il y a des éléments d’une nature différente d’un point à l’autre et d’une crue à l’autre. Si nous imaginons une même courbure sur un point où la pente est très forte, et le sol très affouillable, il ne se produira pas les mêmes faits que sur un point où la pente est faible et le sol très résistant. Si la distribution des courbures est nécessaire pour faciliter le passage d’une courbe à l’autre, elle peut n’être pas suffisante. ”

“ Il est évident que dans la pratique, sans rien sacrifier des avantages du système, on pourra toujours adoucir les raccords en passant graduellement d'une courbure à une autre. Peu importe ici que l'on marche dans un arc de cercle parfaitement régulier ou dans une suite d'arcs de cercle, pourvu que l'un quelconque de ces arcs, prolongé de la longueur d'une flèche ou d'un timon, ne s'écarte pas, perpendiculairement à sa courbure, de celui qui le précède ou le suit, d'une quantité plus grande que le jeu nécessaire entre les rebords des roues et les bourrelets des rails. ”

“ CAMBRER. v. a. ☞ Courber en arc, quand il n’est question que d’une courbure peu considérable. Courber a une signification plus étendue, & se dit de toute courbure grande ou petite. Curvare, incurvare. ”

“ Les lignes de plus grande courbure sont les sections faites dans des plans perpendiculaires à l'axe, et le contour de ces sections est évidemment perpendiculaire à chaque arête. Donc , dans le cylindre, les lignes de plus grande et de moindre courbure sont à angle droit.
Dans le cône, fig. 23, où les arêtes sont de même les lignes de moindre courbure, on trouve ainsi les lignes de plus grande courbure : on place la pointe d'un compas au sommet du cône, puis on trace avec l'autre pointe, des courbes diverses pour chaque ouverture de compas, mais toutes perpendiculaires aux arêtes ”

“ En effet une ligne courbe peut se concevoir comme composée d'un nombre infini de lignes droites, dont l'inclinaison l'une sur l'autre est si excessivement petite que chacune peut être considérée comme en ligne droite avec sa voisine. ”

“ Nous déterminerons le paramètre en mettant dans l'équation de la parabole y2 = Px les valeurs de x et de y, ce qui donnera
et pour le rayon de courbure au point A
quantité plus petite que MB, ainsi que l'indique le mécanisme du calcul; puisque d'ailleurs la valeur de l'ordonnée P' M', qui détermine le point de la courbe où le rayon de courbure M'B est égal au rayon BM, est exprimé par
qui, lorsque y = 1000 et P = i 323, nous donne x = 130, valeur inférieure à celle de PM; ce qui nous fait voir, d'une manière générale, que le rayon de courbure suit les variations de grandeur de l'ordonnée. ”

“ Lorsqu'on fait usage d'une règle de cette sorte pour tracer une courbe qui a une grande étendue, on se fait aider pour la maintenir pendant que l'on trace la courbe, ou bien on la maintient de champ par de longues pointes en fer clouées dans le plancher sur lequel on trace, et contre lequel on l'appuie ; on peut encore faire usage de poids très-pesant et cylindriques pour appuyer une règle mince, et lui faire prendre la courbure dont on a besoin. ”

“ Soit qu'on commence à courber une pièce de bois un peu grosse, à partir de son milieu ou de l'un de ses bouts, la contraction de ses fibres dans la partie concave, et leur extension sur la partie convexe, sont bien plus grandes au point où l'on achève la courbure qu'à celui où on l'a commencée. C'est un inconvénient qui .s'oppose souvent au succès complet de la courbure, et qui peut nuire à la qualité de la pièce ”

“ On la maintient, sur les sommiers, par des liens en fer m, n, o, p, qui embrassent le sommier et par une forte cale i, serrée avec un coin.
On a remarqué que, par ces deux méthodes, la courbure n'est pas toujours parfaitement régulière ; que des jarrets se forment quelquefois aux points où la pièce vient en contact avec les pieux ou les sommiers. Pour éviter ces jarrets, il faut courber les pièces sur un gabarit horizontal m, m (fig. 652, pl. XXV) qui présente une surface courbe continue. ”

“ Ainsi, la courbure que prend une tige couchée horizontalement, pour diriger son sommet vers le ciel, dépend de la rupture de l'équilibre ou de l'égalité d'action d'incurvation en dehors dans ses deux moitiés longitudinales supérieure et inférieure. Cette dernière, qui regarde la terre , étant affaiblie, et son antagoniste, qui regarde le ciel, ayant conservé toute sa force, la tige toute entière est courbée dans le sens d'incurvation en dehors et en haut, qui est propre au côté vainqueur, et le sommet de la tige se trouve ainsi dirigé vers le ciel. ”

“ Math. Aberration de courbure. Angle caractéristique de la courbure formé par la normale en un point d’une courbe avec la droite issue de ce point et partageant en deux parties égales une corde parallèle à la tangente et infiniment voisine. II Axe d’aberration, droite dont l’angle avec la normale constitue l’aberration de courbure. ”

“ Combinant cette équation avec celle du globe, savoir : on pourra en tirer celles des trois projections de la courbe demandée, faites sur les trois plans principaux, et dont la forme, très-compliquée, nous annoncera d’abord une courbe à double courbure. ”

“ Imitons cette génération par le calcul, et cherchons, pour la courbe (1, 1′) quel est l’axe de courbure qui répond à l’origine ; le plan normal en ce point, au moyen des abréviations (26) , a pour son équation, comme nous l’avons déjà observé,
(30) Au moyen de ces mêmes abréviations, l’équation (13) du plan normal, en un autre point quelconque devient (Sect. I, §. 2) , sous les conditions (11, 11′) ,
Ces deux plans se coupent suivant une droite déterminée par le système de leurs équations, laquelle doit devenir l’axe de courbure à l’origine, lorsque les coordonnées deviennent nulles. ”

“ Par chacun des points d'une surface courbe quelconque passent toujours deux lignes de courbure qui se coupent à angles droits sur la surface ; et chacune de ces deux lignes est telle, que si, par tous les points , on mène des normales à la surface , ces normales se rencontrent consécutivement deux à deux , c'est-à-dire , sont toutes tangentes à une même courbe qui, en général, est à double courbure, et réciproquement. ”

“ Dans ces différentes questions, on déduit du principe de la courbure inclinée des formules simples relatives à la tangente, au rayon de courbure, à la rectification et à la quadrature de la courbe, ainsi que des constructions faciles des éléments dont il s'agit. La plupart de ces formules sont nouvelles. ”