Surface cylindrique

“ Si l'on conçoit qu'une surface cylindrique quelconque, constante de base , se meuve de manière que si on la considère dans deux positions consécutives, la courbe suivant laquelle les deux surfaces cylindriques se coupent soit toujours dans le plan parallèle à la base mobile , cette surface parcourra un espace dont l'enveloppe sera la surface que l'on considère. ”

“ De toutes les surfaces cylindriques, nous ne considérerons que celles qui ont pour génératrice courbe, la circonférence. Cette espèce est la seule dont s'occupe la géométrie élémentaire, et celle qu'on exécute le plus ordinairement dans les arts ; elle est une des limites des corps qu'on appelle cylindres, parmi lesquels se trouvent les tuyaux de poêles, les gouttières en fer-blanc et en plomb, les rouleaux, les meules, les pistons, etc.
La surface cylindrique est dite droite, quand les génératrices droites sont perpendiculaires au plan de la circonférence ”

“ A mesure qu'il cliemine, Je fer du rabot l'arrondit. Par ce moyen , l'ou forme une surface cylindrique exactement circulaire, si le prisme est parfaitement droit; mais plus ou moins infléchie, si le fil du bois est gauchi quelque part.
Lorsqu'on veut exécuter une surface qui soit rigoureusement cylindrique , il faut s'assurer de la continuité dans les deux sens. Voilà ce qu'on fait, par exemple, en conduisant l'outil tranchant du tourneur, au moyen d'un guide parallèle à l'axe du cylindre , de manière à ce que le tranchant reste toujours à la même distance de cet axe. ”

“ La surface cylindrique droite peut tourner sur son axe, sans cesser d'être tangente à un plan, selon la même droite, ce qui est analogue à ce que nous avons dit page 131 , du cercle et de sa tangente. On fait usage de cette propriété dans l'aiguisage et le polissage: la meule e" un cylindre droit qui tourne sur son axe, et l'on y applique tangentiellement la face d'un coin qu'il faut rendre tranchant, ou la face plane qu'il s'agit de polir. ”

“ Ainsi le plan est engendré par le mouvement d'une droite qui se meut parallèlement à elle-même, en s'appuyant toujours sur une autre droite immobile dans l'espace.
La droite mobile se nomme la génératrice, et la droite sur laquelle elle s'appuie a reçu le nom de directrice. Si nous remplaçons cette dernière ligne par une courbe, nous obtenons une surface cylindrique ; et si, au lieu du parallélisme des génératrices , nous les faisons concourir en un même point, nous avons une surface conique. 1 139. La plus utile des surfaces courbes est celle à laquelle on donne le nom de cylindre. ”

“ Le mouvement d'un point quelconque A du solide est à chaque instant perpendiculaire au rayon vecteur AT mené par ce point perpendiculairement à l'axe instantané, et la vitesse de ce mouvement est
389. Roulement d'un cylindre sur un cylindre. Épicyeloïdes. Toutes les lignes du solide qui deviennent successivement des axes instantanés sont situées sur une surface cylindrique décrite autour du point C avec le rayon GT, et toutes les positions de l'axe instantané se trouvent sur une surface cylindrique décrite autour de 0 avec le rayon OT ”

“ La forme de la partie postérieure de l'âme demande une attention particulière; si le cylindre se prolongeait jusqu'au plan du fond, une rupture transversale serait imminente : en effet, deux molécules placées près de l'arête de jonction, l'une sur le plan, l'autre sur la paroi cylindrique, seraient poussées par les gaz dans des directions faisant entre elles un angle droit..On écarte ce danger en raccordant le plan et le cylindre au moyen d'une surface annulaire engendrée par un quart de cercle tangent à l'un et à l'autre ”

“ En passant donc de là à la limite, on reconnaîtra 1o. que le trapèze cylindrique lui-même est équivalent à un rectangle qui, ayant pour hauteur la plus grande largeur de la surface convexe de l’onglet cylindrique, aurait pour base la projection de l’arc sur le diamètre 2o. que le volume de la pyramide cylindrique qui aurait ce trapèze pour base et son sommet en est le produit de la multiplication de l’aire de ce même rectangle, par le tiers du rayon du cylindre. ”

“ PROBLÈME. Trouver l'intersection d'un cône et d'un cylindre.
Le cylindre donné est SABC (fîg. 34) ; le cône est TEDF, et a pour projection de sonsommetle point t.
Par le sommet T du cône, nous mènerons une droite parallèle aux génératrices du cylindre ; elle ira, en perspective, concourir avec ces génératrices au point S, et sa projection horizontale sera ts; son pied sera par conséquent au point Q.
Par cette droite nous conduirons une suite de plans tels que SQE, qui couperont la surface cylindrique suivant deux droites telles que SA, SC ”

“ Il n'en est pas de même d'une surface cylindrique oblique : la génératrice courbe ne rencontrant pas d'équerre les génératrices droites, ne saurait former une ligne droite sur le développement.
PROBLÈME : Tracer le développement d'une surface cylindrique droite et limitée (P. X, F. 15 et 38) .
Divise? l'un des quarts de la circonférence A, base de la surface,
en. ”

“ « Que, sur le diamètre de la base d'un cylindre » droit circulaire, on conçoive un demi-cercle dont le plan soit perpendiculaire à celui de la » base du cylindre; que le diamètre tourne autour d'une de ses extrémités et emporte, dans » ce mouvement circulaire, le demi-cercle, toujours situé dans un plan perpendiculaire à » celui de la base du cylindre; ce demi-cercle rencontrera, dans chacune de ses positions, la » surface cylindrique en un point : la suite de tous ces points formera la courbe à double » courbure en question. ”

“ Quant à la douelle, c'est une portion de cylindre qui passe par la courbe mi n.
et dont les génératrices sont perpendiculaires au plan de cet arc; l'équerre suffira donc encore pour tailler ce cylindre; ou bien, si la branche de son équerre n'est pas assez longue, l'ouvrier emploiera une cerce (*) découpée suivant la convexité de l'arc MN, et en promenant cette cerce sur les deux droites déjà tracées mt M2, nI N2, de manière qu'elle passe par des points de repère marqués deux a deux à égale distance de la section droite m, n., il taillera aisément cette surface cylindrique. ”

“ Par conséquent, certaines ovales ont un centre, comme le cercle, et certains cylindres oblongs ont un axe, comme le cylindre circulaire. r- Si vous pouvez mesurer l'axe d'un tronc de cylindre quelconque, mais droit, vous aurez le volume en multipliant la superficie de la base, par la longueur de cet axe.
Si vous ne pouvez mesurer l'axe, à cause de l'impossibilité d'atteindre au centre de la troncature, vous aurez le volume du • tronc de cylindre, en multipliant la superficie de la base, par la
moyenne de la plus grande et de la plus petite des droites de la surface cylindrique. ”

“ Lorsqu'un cylindre est coupé obliquement par un plan, il est dans quelques circonstances nécessaire de connaître la forme que prend la courbe d'intersection sur le développement du cylindre ; tel est le cas où un chaudronnier doit couper une feuille de cuivre, de manière qu'en la pliant suivant la forme d'un cylindre, l'une des extrémités de cette surface représente une section plane , rencontrant l'axe suivant une certaine inclinaison ”

“ Donc, la propriété des obliques Aa, Bb, etc., sera, qu'en se rejoignant sur le cylindre , aux points A et b, B et c, C et d, etc., de la fig. i, elles formeront une courbe qui fera partout le même angle avec les arêtes du cylindre. Cette courbe unique est ce qu'on appelle une hélice ou spirale cylindrique.
Lorsqu'on plie le rectangle de manière à former un cylindre dont la base est un cercle on obtient l'hélice le plus fréquemment employée dans les arts. ”

“ B' ,
on aura autant cle triangles rectangles Bbk, B' b' le' etc. é,<*au\- entre eux et semblables , puisque tous les rayons des développées sont également inclinés à ce plan; donc toutes les perpendiculaires bli, b'k1, b"k" seront égales : donc tous les points de chaque courbe bb' b" b" seront à égales distances du plan de la première ; donc ces courbes seront planes : ainsi la courbe PPIP" P' ne peut être la développée que de courbes planes. Mais ce que l'on vient de dire de la courbe PP'P"P' peut s'appliquer à toute autre décrite de la même manière sur la surface cylindrique ”

“ Si l'on suppose qu'une ligne droite constamment parallèle à sa direction primitive, s'avance en restant toujours tangente à une surface donnée, elle va former un cylindre, lequel sera tangent à la surface proposée, dans toute la suite que présentent les points de contact entre les arêtes du cylindre et cette surface. ”

“ Tous les côtés parallèles à une direction donnée, formeront un cylindre dont les arêtes "passeront à la fois par deux cercles méridiens consécutifs. On obtiendra, de la sorte, une suite de bandes cylindriques, semblables pour leur contour aux côtes d'un melon; et plus ces côtes seront multipliées , plus la surface qu'elles forment approchera de la sphère. ”

“ Dans la première solution, on détermine la surface de la vis au moyen d'une hélice, par laquelle on fait passer les génératrices de cette surface; dans la seconde, l'on détermine ces génératrices par le moyen d'une courbe à double courbure : l'intersection d'un cylindre droit qui a pour base une spirale, par un cône de révolution ayant pour axe l'arête du cylindre menée par l'origine de la spirale. ”

“ Ainsi la force d'un cylindre pour résister à un effort transversal , n'est pas sensiblement diminuée en enlevant les portions autour de son axe, ou bien en le creusant. Sa force sera considérablement augmentée, si la matière prise dans l'intérieur est accumulée sur sa surface extérieure. ”

“ Ce n'est que par des méthodes très-compliquées et très-difficiles qu'on est parvenu à connaître seulement la valeur approchée de cette surface, et les problèmes de ce genre ne sont pas du ressort des Eléments.
49.
Les cylindres de même base et de même hauteur sont équivalents.
A l'égard de la solidité des cylindres, soit droits, soit ! obliques, rien ne sera plus facile que de la trouver ; car il est évident que tout ce que nous avons dit des prismes conviendra aux cylindres, si l'on regarde les cylindres comme les derniers des prismes qu'on peut leur inscrire. ”