Bernhard Riemann

“ La raison en est que le concept général des grandeurs de dimensions multiples, comprenant comme cas particulier les grandeurs étendues, n’a jamais été l’objet d’aucune étude. En conséquence, je me suis posé d’abord le problème de construire, en partant du concept général de grandeur, le concept d’une grandeur de dimensions multiples. Il ressortira de là qu’une grandeur de dimensions multiples est susceptible de différents rapports métriques, et que l’espace n’est par suite qu’un cas particulier d’une grandeur de trois dimensions. ”

“ Il est aisé de voir que les surfaces dont la mesure de courbure est constante et positive peuvent toujours s’appliquer sur une sphère dont le rayon est égal à l’unité divisée par la racine carrée de la mesure de courbure ; mais, pour embrasser d’un coup d’œil la variété tout entière de ces surfaces, donnons à l’une d’elles la forme d’une sphère, et aux autres la forme de surfaces de révolution la touchant suivant l’équateur. ”

“ Étant donné un concept dont les modes de détermination forment une variété continue, si l’on passe, suivant une manière déterminée, d’un mode de détermination à un autre, les modes de détermination parcourus formeront une variété étendue dans un seul sens, dont le caractère essentiel est que, dans cette variété, on ne peut, en partant d’un point, s’avancer d’une manière continue que dans deux directions : en avant et en arrière. ”

“ Or, il semble que les concepts empiriques, sur lesquels sont fondées les déterminations métriques de l’étendue, le concept du corps solide et celui du rayon lumineux, cessent de subsister dans l’infiniment petit. Il est donc très légitime de supposer que les rapports métriques de l’espace dans l’infiniment petit ne sont pas conformes aux hypothèses de la Géométrie, et c’est ce qu’il faudrait effectivement admettre, du moment où l’on obtiendrait par là une explication plus simple des phénomènes. ”

“ Elles peuvent d’abord s’exprimer en demandant que la mesure de courbure en chaque point soit nulle suivant trois directions superficielles, et par suite les rapports métriques de l’espace sont déterminés, si la somme des angles d’un triangle est partout égale à deux droits.
Si l’on suppose, en second lieu, comme Euclide, une existence indépendante de la position, non seulement pour les lignes, mais encore pour les corps, il s’ensuit que la mesure de courbure est partout constante, et alors la somme des angles est déterminée dans tous les triangles, lorsqu’elle l’est dans un seul. ”

“ Une partie d’une variété, séparée du reste par une marque ou par une limite, s’appelle un quantum. La comparaison des quanta au point de vue de la quantité, s’effectue, pour les grandeurs discrètes, au moyen du dénombrement ; pour les grandeurs continues, au moyen de la mesure. La mesure consiste dans une superposition de grandeurs à comparer ; il faut donc, pour mesurer, avoir un moyen de transporter la grandeur qui sert d’étalon de mesure pour les autres. ”

“ Pour donner une représentation saisissable à la mesure de courbure d’une variété de dimensions en un point donné et suivant une direction superficielle donnée passant par ce point, il faut partir de ce qu’une ligne de plus courte distance, partant d’un point, est complètement déterminée, quand on donne sa direction initiale. ”

“ Si l’on considère ces surfaces comme le lieu où peut se mouvoir un segment superficiel, de même que l’espace est le lieu où se meuvent les corps, le segment superficiel sera mobile sans extension sur toutes ces surfaces. Les surfaces à mesure de courbure positive pourront toujours recevoir une forme telle que les segments superficiels puissent, de plus, s’y mouvoir sans flexion, et cette forme sera celle d’une sphère ”

“ C’est sur l’exactitude avec laquelle nous suivons les phénomènes dans l’infiniment petit, que repose essentiellement notre connaissance de leurs rapports de causalité. Les progrès des derniers siècles dans la connaissance de la nature mécanique dépendent presque seulement de l’exactitude de la construction, qui est devenue possible, grâce à l’invention de l’analyse de l’infini, et aux principes simples découverts par Archimède, par Galilée et par Newton, et dont se sert la Physique moderne. ”

“ En portant ces valeurs dans l’expression de on obtient
[7] , [8]
où, dans la série on donnera à pour valeurs toutes les racines positives (ou à parties réelles positives) de l’équation en les rangeant par ordre de grandeur. On peut alors, après une discussion plus approfondie de la fonction , démontrer aisément que lorsque les termes sont rangés, comme il est prescrit ci-dessus, dans la série
,
celle-ci converge vers la même limite que l’expression
lorsque la grandeur croît sans limites. ”

“ En faisant usage de l’équation
,
on obtient d’abord
. Si maintenant l’on considère l’intégrale
,
prise dans le sens positif de à et autour d’un domaine de grandeurs qui contient à son intérieur la valeur 0, mais qui ne contient aucune autre valeur de discontinuité de la fonction sous le signe d’intégration, on obtient aisément pour la valeur de cette intégrale
,
en faisant l’hypothèse que, dans la fonction multiforme
,
le logarithme de est déterminé de telle sorte qu’il soit réel pour négatif. ”

“ Cette circonstance devient importante lorsqu’il s’agit d’étendre ces déterminations empiriques au delà des limites de l’observation, dans l’immensurablement grand ou dans l’immensurablement petit ; car les seconds rapports peuvent évidemment devenir de plus en plus inexacts, dès que l’on sort des limites de l’observation, tandis qu’il n’en est pas de même des premiers. ”

“ Des recherches partant de concepts généraux, comme l’étude que nous venons de faire, ne peuvent avoir d’autre utilité que d’empêcher que ce travail ne soit entravé par des vues trop étroites, et que le progrès dans la connaissance de la dépendance mutuelle des choses ne trouve un obstacle dans les préjugés traditionnels. ”

“ De là l’on déduit aisément le développement donné par Scheibner (Schlömilch’s Zeitschrift, t. V)
,
qui est valable pour toutes les valeurs de , et présente une discontinuité pour les valeurs réelles négatives (comparer la correspondance entre Gauss et Bessel) . ”

“ Introduisons maintenant, au lieu de , des expressions linéaires , formées avec ces quantités, et telles que la valeur initiale du carré de l’élément, soit égale à la somme des carrés de ces expressions, de telle sorte que les variables indépendantes soient la grandeur et les rapports des quantités ; et remplaçons enfin les par des quantités qui leur soient proportionnelles, et dont la somme des carrés soit . Si l’on introduit ces grandeurs, alors, pour des valeurs infiniment petites des , le carré de l’élément linéaire sera ”

“ Cette fonction est finie pour toutes les valeurs finies de et peut être développée suivant les puissances de en une série qui converge très rapidement. Puisque, pour une valeur de dont la partie réelle est plus grande que 1, reste fini et que ce même fait a lieu pour les logarithmes des facteurs restants de , la fonction peut seulement s’évanouir lorsque la partie imaginaire de se trouve comprise entre et . Le nombre de racines de dont les parties réelles sont comprises entre 0 et est environ égal à ”