Euclide

“ D’où il paraît que les vérités nécessaires, telles qu’on les trouve dans les mathématiques pures et particulièrement dans l’arithmétique et dans la géométrie, doivent avoir des principes dont la preuve ne dépende point des exemples, ni par conséquence du témoignage des sens ; quoique sans les sens on ne se serait jamais avisé d’y penser. C’est ce qu’il faut bien distinguer, et c’est ce qu’Euclide a si bien compris, qu’il démontre souvent par la raison ce qui se voit assez par l’expérience et par les images sensibles. ”

“ Les Éléments d'Euclide, qui ont résisté au travail de tant de siècles, auront du moins l'henneur de provoquer, avant de finir, une longue suite de travaux admirablement enchaînés qui contribueront, de la manière la plus efficace, au progrès des Mathématiques, en même temps qu'ils fourniront aux philosophes les points de départ les plus précis et les plus solides pour l'étude de l'origine et de la formation de nos connaissances. ”

“ Ainsi les Éléments d’Euclide jouent à la fois le rôle de fin et le rôle de moyen : fin puisqu’ils sont destinés à faire connaître les théorèmes essentiels — les plus beaux — de la géométrie : moyen [56] , parce que les solutions toutes préparées qu’ils nous offrent sont les instruments avec lesquels nous pourrons effectuer la démonstration de nouveaux théorèmes. Souci de la beauté de l’objet et souci de la beauté de la démonstration viennent ici se réunir dans une même œuvre et se prêtent une aide mutuelle. ”

“ LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Si, dans tes ouvrages de Nicomaque et de Théon de Smyrne, nous avons cru rencontrer des types représentant plus ou moins fidèlement une partie du programme platonicien, pour une autre partie, celle de l’enseignement mathématique du second degré, nous possédons, à n’en pas douter, dans les Eléments d’Euclide, un modèle dont la perfection dépasse, à vrai dire, celle que l’on peut supposer. ”

“ Les Données d’Euclide forment aux 'Éléments une sorte d’appendice destiné à en faciliter les usages et les applications. Euclide appelle donné ce qui peut résulter des constructions connues. Par exemple, « si d’un point donné on mène une droite qui touche un cercle donné de position, la droite est donnée de position et de grandeur. » Les propositions des Données, dit M. Chasles, étaient toujours citées, comme celles des Éléments, par les géomètres anciens et par ceux du moyen âge, dans toutes leurs recherches géométriques ”

“ La découverte en mathématiques a atteint deux maximums, l’un en géométrie pure aux temps d’Euclide, d’Archimède et d’Apollonius, et l’autre au XVIIe siècle, qui nous a donné l’Application de l’Algèbre à la Géométrie, le Calcul infinitésimal et le Principe de l’attraction. ”

“ Cet énoncé se réduit essentiellement à ce théorème d’Euclide que, dans un triangle, la somme de deux côtés est toujours plus grande que le troisième ; il est facile de voir que, dans ce théorème, il ne s’agit que de concepts élémentaires, c’est-à-dire dérivant immédiatement des axiomes ; il est, par suite, d’une discussion plus abordable que la proposition en question de la droite plus court chemin. Euclide démontre ce théorème au moyen de la proposition de l’angle extérieur en s’appuyant sur les théorèmes de congruence. ”

“ Nous avons vu que depuis Euclide, demeuré maître souverain de l'enseignement géométrique, on n'a fait sur la théorie des angles et des parallèles, véritable fondement de la science, que tourner constamment dans le même cercle, repoussant aujourd'hui ce que l'on avait adopté hier, sauf à le reprendre demain, et sans jamais être satisfait du dernier parti auquel on s'était arrêté. ”

“ À nos yeux, la méthode d’Euclide n’est qu’une brillante absurdité [205] .
M. Duclaux qualifie très justement l’ouvrage d’Euclide de livre « terriblement ennuyeux, méticuleux, pédant et qui subtilise sur tout ». Il montre l’absurdité de vouloir démontrer des vérités qu’on saisit par intuition, telles par exemple celle-ci : un côté quelconque d’un triangle est plus petit que la somme des deux autres — proposition connue du plus humble caniche, qui sait fort bien que la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre. ”

“ Euclide dit que : « Une grandeur est plus grande à l'égard d'une autre d'une donnée qu'en raison, quand la grandeur donnée étant retranchée, le reste a, avec l'autre, une raison donnée. » (Définition 11e des Données.) Ainsi, soit A plus grand que B d'une donnée qu'en raison; soit c cette donnée, et μ la raison : on aura ~= μ.
Euclide a voulu, comme on le voit, énoncer sous forme d'une égalité à deux termes une équation à trois termes.
2 Cette question renferme la résolution des deux équations xy = a2, x + y = b, qui donnent immédiatement l'équation du second degré x2 — bx + a2 = o. ”

“ On a souvent remarqué que toute définition implique l’existence de l’objet défini. Si donc je définis la distance par le postulatum d’Euclide, la proposition que j’énonce peut se décomposer en deux parties : il y a quelque chose qui satisfait au postulatum d’Euclide, et ce quelque chose je l’appelle distance. ”

“ Voilà qui montre bien que le postulat d’Euclide n’est qu’une sorte d’hypothèse. Mais il y a des géomètres qui n’ont pas admis ce postulat, Riemann par exemple qui le remplace par celui-ci : « Par un point on ne peut faire passer aucune ligne droite parallèle à une droite donnée, c’est-à-dire aucune ligne qui ne la rencontre jamais. » Et là-dessus il fonde une géométrie parfaitement cohérente, et dont les théorèmes s’enchaînent aussi rigoureusement que ceux (d’ailleurs fort différents) de la géométrie euclidienne. ”

“ Euclide, le point est le principe de la géométrie; et, d'après lui, la circonférence est la forme la plus parfaite à laquelle elle atteigne. De sorte que la géométrie se meut entre le point et la circonférence, qui sont comme son commencement et sa fin. Or ces deux choses contrastent avec la certitude de la géométrie ; parce que le point étant indivisible ne peut être mesuré. ”

“ Nos idées, par exemple de mathématique, d’astronomie, de physique, sont vraies en deux sens. Elles sont vraies par le succès : elles donnent puissance dans ce monde des apparences. Elles nous y font maîtres, soit dans l’art d’annoncer, soit dans l’art de modifier selon nos besoins ces redoutables ombres au milieu desquelles nous sommes jetés. Mais, si l’on a bien compris par quels chemins se fait le détour mathématique, il s’en faut de beaucoup que ce rapport à l’objet soit la règle suffisante du bien penser. La preuve selon Euclide n’est jamais d’expérience ”

“ De cette méthode sont issus ces majestueux systèmes de la Nature qui prétendent imposer à la Physique la forme parfaite de la géométrie d’Euclide ; qui, prenant pour fondements un certain nombre de postulats très clairs, s’efforcent d’élever une construction parfaitement rigide et régulière où chaque loi expérimentale se trouve exactement logée ”

“ Les mathématiques pures et appliquées, auxquelles il faut joindre la physique, sont représentées dans cette période par quelques très grands noms : le géomètre Euclide, l’astronome Aristarque de Samos, le géomètre et physicien Archimède, le géomètre Apollonios de Perga, les ingénieurs Héron d’Alexandrie et Philon de Byzance.
Euclide, qui vivait sous Ptolémée Soter à Alexandrie, est l’auteur des célèbres Éléments de géométrie, en 13 livres, où toute l’humanité civilisée n’a cessé depuis d’aller chercher les principes de cette science [249] . ”

“ Il n’y a aucune raison pour faire au postulat d’Euclide un sort privilégié parmi les axiomes. Ceux de la géométrie projective ne sont ni plus ni moins a priori que lui.
Outre la forme euclidienne et la forme lobatcheffskienne, beaucoup d’autres formes d’extériorité restent donc possibles.
Qui décidera entre l’espace et ces « autres formes extériorité, qui, si elles existaient, pourraient remplir le même office avec une égale efficacité [6] » (§ 192) ? ”

“ Pour parler d’une façon plus familière, les axiomes de la géométrie ne sont ni vrais ni faux, puisqu’ils ne sont que des conventions arbitraires et que chaque géométrie peut les poser à son gré, sans autre obligation que d’en déduire les conséquences avec une impeccable logique. En résumé, il n’y a ni géométries vraies, ni géométries fausses ; il n’y a que des géométries plus ou moins commodes par rapport au but qu’on se propose. La géométrie d’Euclide sert à mesurer la terre et à construire les machines ”

“ Les Mathématiciens, s’appuyant sur la démonstration d’Euclide (proposition 19, livre VII) , savent quels nombres sont proportionnels entre eux : ils le concluent de la nature de la proportion et de cette propriété lui appartenant que le produit du premier terme et du quatrième égale le produit du second et du troisième ; ils ne voient pas toutefois adéquatement la proportionnalité des nombres donnés et, s’ils la voient, ce n’est point par la vertu de la proposition d’Euclide, mais intuitivement, sans faire aucune opération. ”

“ Euclide entre ses propositions géométriques, est subtil comme un rêveur étrange dont les rêves sont plus rigides que la réalité et dont les rêves appellent vie et plénitude le vide même et l'absence de vie. Euclide, quand il se livre à l'éristique, est subtil comme un enfant dépité contre d'autres enfants et il veut avoir raison dans les mots ; et peu lui chaut que les mots dont il triomphe correspondent ou non à des choses. ”

“ Et de ce que j’ai composé sur les sciences mathématiques, le nombre des ouvrages monte à vingt-cinq : 1o Commentaire et abrégé des éléments de géométrie et d’arithmétique d’Euclide ; 2o Recueil des Éléments de géométrie et d’arithmétique, tiré des traités d’Euclide et d’Apollonius ; dans cet ouvrage, j’ai classé et divisé les éléments et en ai donné des démonstrations fondées sur les mathématiques, le calcul et la logique, de sorte que, quant à l’arrangement des matières, j’ai renversé l’ordre suivi par Euclide et Apollonius ”

“ Enfin on est sûr que les élemens d' Ëuclide contiennent tout ce qu'il faut sçavoir pour pénétrer ce que les Mathématiques ont de plus rélevé en fait de synthétique
Un jeune homme qui a bien appris les trois, ou quatre premiers livres d'Euclide, ne sçait pas beaucoup de Géometrie ; mais du moins il sçait bien ce qu'il sçait, & n'aura plus à revenir sur ses pas , s'il lui prend envie d' avancer. ”

“ Le postulatum d'Euclide, pour le redire encore, ne satisfait aucunement à cette dernière condition : on l'a vu de reste. Sa réciproque, savoir, que « la somme des Il angles d'un triangle quelconque est égale à deux droits », peut être considérée comme étant dans le même cas, bien qu'elle n'implique pas l'idée de l'infini, si l'on a donné de l'angle une notion convenable1. ”

“ Rien d’aussi difficile, à mon avis, que d’énoncer les principes d’une science, axiomes, postulats, problèmes, théorèmes ; et il n’est pas plus aisé de tracer les définitions tant de la science elle-même que des objets dont elle s’occupe. On peut dire qu’à cet égard tous les traités sont toujours à refaire. Quelque admirable que soit la géométrie d’Euclide, quelque supérieure qu’elle soit aux ouvrages classiques qui lui ont succédé, il y a bien des choses à y reprendre ”

“ Est-ce de nous rendre plus certains des propriétés des parallèles, non pas probablement. Que si l’on a en vue de purger les élémens de géométrie de tout postulat, on en est encore bien loin ; car la géométrie d’Euclide, en particulier, en renferme beaucoup d’autres qu’à la vérité ce géomètre n’a pas énoncés, mais qu’il n’a pas moins tacitement admis. Dans un tel état de choses, ce qu’on pourrait faire de mieux serait, ce nous semble, d’admettre quelque nouvel axiome ”

“ De même, la métrétique, c’est-à-dire l’ensemble des applications de la science à la détermination des surfaces et des volumes, a toujours fait, dans l’antiquité, l’objet d’un enseignement parfaitement distinct de celui de la géométrie. Sur ce dernier point, nous avons à peu près conservé les mêmes errements, parce que l’œuvre d’Euclide est restée jusqu’à présent le type consacré pour les livres destinés à l’enseignement classique de la science de l’étendue. ”

“ Tout n'est pas parfait dans les admirables Eléments d'Euclide, non plus que dans nos traités modernes de géométrie élémentaire; et la partie qui laisse le plus à désirer, c'est la théorie des parallèles. Dans un Mémoire lu à l'Institut et publié tout récemment, M. Vincent a montré tout le parti qu'on peut tirer des critiques adressées sur ce point à Euclide par Proclus, et il a été conduit ainsi à proposer dans cette théorie un changement qui me paraît être une notable amélioration. ”

“ En géométrie, au lieu de l’ennuyeux appareil de démonstrations fallacieuses de truismes évidents, qui occupe le début des Éléments d’Euclide, il faudrait permettre à l’élève de postuler la vérité de tout ce qui est évident et lui apprendre les démonstrations de théorèmes qui soient à la fois remarquables et aisément vérifiables par le dessin ; de ceux, par exemple, où l’on démontre que trois, ou plus de trois lignes se rencontrent en un point. C’est ainsi que naît la croyance ; on s’aperçoit que le raisonnement mène à des conclusions étonnantes, que les faits vérifient néanmoins ”

“ Quoi qu'il en soit, il y a là tout un ensemble de facultés qui ne sauraient être pleinement mises en jeu que par l'enseignement des mathématiques.
Berthelot.
CULTURE D'EUCLIDE
Quand un jeune homme d'un talent ordinaire commence à étudier Euclide, tout l'étonne d'abord. Sa conception est incertaine et son jugement faible, il s'appuie en partie sur l'évidence de la chose, et en partie sur l'autorité du maître. Mais à mesure qu'il avance à travers les définitions, les axiomes, les propositions élémentaires, une plus grande lumière frappe ses regards. ”