Paul Tannery

“ Si c’est l’harmonie des nombres qui régit le monde, ce n’est point le mécanisme, et cependant on ne peut comprendre les apparences, le mouvement diurne commun à tous les astres, si la révolution de la sphère supérieure (celle des fixes) n’entraîne pas mécaniquement toutes les autres. Cette explication mécanique est celle que nous avons vu guider Eudoxe dans la conception de son système ; c’est elle qui devait conduire Aristote à y ajouter les sphères ἀνελιττούσαι, destinées à annuler l’action des sphères eudoxiennes des planètes supérieures sur celles des planètes inférieures. ”

“ Si l’on veut amener au même point celui de la géométrie en le détachant de la figuration visible et des hypothèses que réclame celle-ci, on reconnaît l’introduction d’une notion nouvelle, celle de relations incommensurables. Si le terme moderne de nombre incommensurable ne peut se traduire en grec sans une contradiction in adjecto, le concept qu’il exprimé n’en est pas moins entièrement formé dans l’esprit de Platon, et il y attache d’autant plus d’importance qu’il y voit le lien d’union entre toutes les branches de la science mathématique. ”

“ De ceux qui n’attribuent pas la sensation au semblable, Alcméon commence par définir la différence par rapport aux animaux. L’homme, dit-il, en diffère parce qu’il est seul intelligent ; les autres animaux ont la sensation, non l’intelligence ; celle-ci serait donc distincte de la sensation, et non pas une même chose, comme pour Empédocle. Nous entendons, dit-il, grâce au vide qui existe dans les oreilles ; il résonne en concordance avec l’air, alors que le bruit pénètre dans la cavité. Nous sentons par le nez en même temps que la respiration amène l’air du côté du cerveau. ”

“ Pour rendre, par exemple, semblable à un cube un nombre qui n’est pas un cube parfait, il faut représenter l’extraction de la racine cubique incommensurable par une construction dérivant non plus du théorème de Pythagore, mais d’une solution du problème de Délos. Et de même que de la construction de la racine carrée suivent celles des équations du second degré, de celle de la racine cubique suivent celles des équations du troisième et du quatrième degré, c’est-à-dire des problèmes solides, tels que les progrès de la science commencent à les poser au temps de Platon. ”

“ Si l’on adopte l’hypothèse de l’épicycle pour le soleil et les planètes inférieures, celle au contraire de l’excentrique pour les planètes supérieures, on trouve que tous les centres des épicycles et des excentriques sont constamment sur une même droite. Comme d’ailleurs la valeur absolue des rayons est arbitraire, on peut faire l’hypothèse que tous ces astres ont un mouvement de rotation autour d’un même point du ciel, lequel point tourne autour de la terre. ”

“ En premier lieu, la voûte solide qui enveloppe l’univers comme un mur n’appartient point à la doctrine d’Anaximandre, tandis qu’elle semble empruntée au système d’Anaximène. Mais, quoiqu’Empédocle ait plus tard adopté la même conception en s’inspirant peut-être du langage de Parménide, on peut, ce semble, soupçonner une erreur. L’Eléate ne distinguant que deux éléments, une épithète donnée au dense a pu être entendue dans le sens de solide, tandis qu’il est certain, par ce qui est dit de la lune, que l’air obscur était compté comme dense par Parménide. ”

“ En second lieu, Anaximandre ne parait avoir distingué que trois anneaux : celui du soleil, au plus loin de la terre, là où le mouvement circulaire doit porter la plus grande masse de feu ; en deçà, l’anneau de la lune ; et plus près enfin, toujours pour la même raison à priori, sur une même surface, les étoiles fixes et les cinq planètes, dont la théorie n’est pas encore commencée de son temps. Platon range au contraire les astres dans l’ordre suivant à partir de la terre, la Lune, le Soleil, Vénus, Mercure, Mars, Jupiter, Saturne, les fixes. ”

“ LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Si, dans tes ouvrages de Nicomaque et de Théon de Smyrne, nous avons cru rencontrer des types représentant plus ou moins fidèlement une partie du programme platonicien, pour une autre partie, celle de l’enseignement mathématique du second degré, nous possédons, à n’en pas douter, dans les Eléments d’Euclide, un modèle dont la perfection dépasse, à vrai dire, celle que l’on peut supposer. ”

“ Les pythagoriciens rapprochaient l’harmonie de la science des nombres, parce que sa théorie, pour eux, n’impliquait nullement l’enseignement de la géométrie ; ils n’y considéraient en effet que des rapports numériques pour une seule variable, quoiqu’ils sussent d’ailleurs parfaitement que les sons provenaient de mouvements de corps étendus suivant les trois dimensions de l’espace.
La vue de Platon est plus profonde ; si au concept de la quantité s’ajoute celui de la figuration de l’étendue, on a l’objet de la géométrie ”

“ Il évoque immédiatement à la pensée ce fameux problème de Délos, la duplication du cube ou son augmentation dans un rapport donné, problème qui était de fait, alors, le principal objectif des mathématiciens, que déjà Archytas et Eudoxe avaient brillamment traité, dont Platon lui-même a donné une élégante solution mécanique [19] et qui, longtemps encore, devait préoccuper les savants. Comme on le sait, ce problème est identique à celui de l’invention des deux moyennes proportionnelles, que l’auteur du Timée fait résoudre idéalement par le Démiurge pour la formation des quatre éléments. ”

“ On peut être disposé à ne voir, dans la République de Platon, que les rêves et les utopies d’un merveilleux écrivain ; mais, si l’esprit le plus prévenu consent à réfléchir, il fera bien vite une exception, sinon pour tout ce qui y concerne l’éducation, au moins pour le programme d’enseignement développé au livre VII.
Tout d’abord, il est clair, en thèse générale, que le hardi réformateur ne propose aucun changement essentiel dans la nature de l’instruction donné de son temps [1] , ni même aucune révolution radicale du système d’éducation suivi dans la patrie hellène. ”

“ Il faudrait maintenant pouvoir décider si le système d’Anaximandre, ainsi mis à hauteur des découvertes les plus récentes au temps de Parménide, lui a ou non été transmis par les Pythagoriens ; j’écarte Pythagore, dont Alcméon, je crois, représente pins fidèlement l’opinion véritable, quand il considère les astres comme animés, quand il voit dans leur mouvement perpétuel et circulaire que l’homme ne peut imiter, en joignant les deux bouts de la vie, la preuve de leur divinité. ”

“ Resterait maintenant à préciser l’étendue de l’enseignement dont il s’agit. Pour la métrétique, son cadre, déterminé par les besoins de la vie usuelle, est évidemment à peu près invariable les progrès de la science théorique n’ont pour effet que d’y faire disparaître plus ou moins lentement l’emploi de formules trop grossièrement approchées ou inexactes, comme on en rencontre dans le papyrus de Rhind. Ainsi il serait ridicule de se figurer qu’avant Archimède les hommes n’avaient aucun moyen pour calculer la circonférence ou la surface d’un cercle d’après son diamètre. ”

“ Ainsi la logistique, c’est-à-dire l’enseignement du calcul et des procédés à suivre pour la solution des problèmes numériques, a toujours été isolée de l’arithmétique. Ce dernier terme, chez les Grecs, est donc loin de désigner le même objet que chez les modernes ; il correspond plutôt aux éléments de ce que l’on appelle aujourd’hui la théorie des nombres, tandis que la presque totalité de l’enseignement actuel ordinaire de l’arithmétique représente la logistique ancienne. ”

“ À peine est-il nécessaire d’ajouter que l’inconsistance de la méthode devait faire aboutir à un échec inévitable, et que le résultat de cet échec, joint aux progrès de l’abstraction, conduisit l’École à abandonner le point de vue concret de son fondateur ; pour Philolaos, qui conserve expressément le dualisme du πέρας et de ἄπειρον, ces deux termes n’ont plus qu’une signification abstraite.
Tel est le sens général de l’évolution qui dut s’accomplir au sein du pythagorisme ; nous allons en mieux préciser les détails en abordant l’examen des textes de Parménide. ”

“ Ainsi, je ne crois nullement que Parménide s’adresse à l’école d’Héraclite, qu’il soit exact de traduire l’être et le non-être par l’un et le multiple. Je partage entièrement à cet égard l’opinion d’Ed. Zeller, qui me paraît avoir démontré historiquement que le poème de l’Eléate et le « logos » de l’Éphésien sont sensiblement de la même date, et qu’aucun des deux auteurs n’a connu l’œuvre de l’autre.
Je dirai plus : de toutes les doctrines ioniennes, celle d’Héraclite est en fait la plus voisine du système de Parménide ; l’Éphésien est moniste, et il nie la révolution diurne ”

“ L’œil voit à travers l’eau qui en forme la périphérie ; car, qu’il renferme du feu, cela est clair, un coup reçu par l’œil le fait paraître ; on voit donc par ce qui est brillant et diaphane, alors qu’il subit une contre-illumination, et d’autant mieux qu’il est plus pur. Toutes les sensations ont une certaine attache avec le cerveau et se perdent quand ce dernier se meut et se déplace, car il obstrue les pores par lesquels elles pénètrent. Quant au toucher, Alcméon n’a point dit comment ni par quel intermédiaire il se faisait. ”

“ De même, devant des dessins, dus au plus habile travail d’un Dédale ou de tout autre artiste ou peintre, un homme connaissant la géométrie pourra les regarder comme la plus belle œuvre de l’art, mais il trouvera ridicule qui croirait devoir s’y appliquer pour y saisir dans leur vérité les rapports d’égal, de double ou de toute autre mesure... Le véritable astronome n’est-il pas de même devant les mouvements des astres ? ”

“ IV J’arrive à la cosmologie de Parménide ; c’est dans ce domaine seul au reste que la science peut lui témoigner quelque reconnaissance. Nous avons vu que, pour la physiologie, son intervention après Alcméon n’a guère été heureuse ; quant à son dualisme, qu’il condamnait lui-même comme incompatible avec la notion de l’être, il ne présentait aucun avantage, il n’a marqué aucun progrès pour l’explication de la nature. ”

“ Il pense que c’est l’œuvre la plus admirable qu’ait pu faire l’artisan du ciel et de ce qu’il renferme ; mais, s’il s’agit du rapport de la nuit au jour, des deux au mois, du mois à l’année, et de ceux des révolutions de tous les astres, ne jugera-t-il pas absurde celui qui croirait que ces rapports restent toujours invariablement les mêmes, ne subissent aucune irrégularité, quand ils sont entre des corps, des objets visibles, celui qui voudrait, de toute manière, y chercher la vérité ? ”