Géométrie non euclidienne

“ S’ils fondent une géométrie, ce ne sera pas comme la nôtre, l’étude des mouvements de nos solides invariables ; ce sera celle des changements de position qu’ils auront ainsi distingués, et qui ne sont autres que les « déplacements non-euclidiens », ce sera la géométrie non-euclidienne.
Ainsi des êtres comme nous, dont l’éducation se ferait dans un pareil monde, n’auraient pas la même géométrie que nous.
Le monde à quatre dimensions. — De même qu’un monde non-euclidien, on peut se représenter un monde à quatre dimensions. ”

“ Pour la géométrie euclidienne tout au moins, qui est la géométrie la plus commode, celle qui suit la pente de notre moindre effort et de notre action possible sur la matière. Dès que l’esprit mathématique veut faire abstraction de la commodité, il est conduit à l’une ou à l’autre des deux grandes géométries non-euclidiennes. ”

“ Et comme la géométrie axiomatique seule ne contient pas d’affirmations sur la réalité accessible à l’expérience, mais seulement la géométrie axiomatique jointe aux propositions physiques, il devrait être possible et raisonnable — quelle que soit la nature de la réalité — de conserver la géométrie euclidienne. Car on se décidera plus volontiers à modifier les lois physiques que la géométrie axiomatique euclidienne, si des contradictions viennent à se manifester entre la théorie et la pratique. ”

“ Quand je dis que des corps se meuvent approximativement suivant le groupe euclidien, je veux dire suivant un groupe ayant même structure (Zusammensetzung) que le groupe euclidien. Or de semblables groupes, on peut en rencontrer en étudiant la géométrie ordinaire, ou encore en étudiant la géométrie non-euclidienne ou la géométrie à quatre dimensions ; ou enfin en étudiant des transformations n’ayant rien à faire avec l’espace. ”

“ Et si cet accord n’avait pas lieu, n’aurait-on pas encore le droit de dire que l’expérience a prouvé la fausseté de la géométrie non euclidienne.
Il est aisé de voir que cette crainte est vaine ; en effet, pour qu’on puisse appliquer la loi de relativité en toute rigueur, il faut l’appliquer à l’univers entier. ”

“ Si l’on rejette le rapport entre le corps pratiquement rigide et la géométrie, on ne pourra pas s’affranchir facilement de la convention, qu’il faut garder la géométrie euclidienne parce qu’elle est la plus simple. ”

“ Mais à mesure qu’on avance dans la construction, il devient de plus en plus manifeste qu’il n’est pas possible d’obtenir une couche ininterrompue de petits disques dans le sens indiqué, comme ce devrait être le cas d’après la géométrie euclidienne du plan. De cette façon, des êtres même qui ne quittent jamais la surface de la sphère, et qui ne peuvent non plus regarder de la surface sphérique dans l’espace à trois dimensions, pourraient constater, en expérimentant seulement avec de petits disques, que leur espace à deux dimensions n’est pas euclidien mais sphérique. ”

“ Nous avons d’abord montré (p. 73) que l’expérience ne peut pas justifier entièrement la géométrie euclidienne, parce que, toute mesure n’étant qu’approchée, les postulats n’auraient qu’une vérité approximative, comme la loi de Mariotte, et seraient comme elle soumis à une perpétuelle revision. Ainsi l’expérience ne nous ferait jamais connaître qu’un espace approximativement euclidien ; elle n’explique donc pas l’idée que nous avons d’un espace rigoureusement euclidien. ”

“ Et comme notre intelligence est destinée à la science et non à la philosophie, à la connaissance des parties et non à la connaissance du tout, il en est des systèmes philosophiques comme des systèmes scientifiques, de la dialectique comme de la géométrie. La géométrie euclidienne est l’une des géométries possibles, et la dialectique d’un système est l’une des dialectiques possibles. Mais comme la géométrie est une science du possible, la vérité de la géométrie euclidienne n’est nullement entamée par la possibilité d’autres géométries. ”

“ Dans un monde conforme à la géométrie euclidienne, la quadrature du cercle demeure impossible, même théoriquement. Dans l’univers réel où nous passons, c’est un problème tout résolu à la fois par la théorie et par la pratique. ”

“ N'existe-t-il pas de critériums observables qui permettent de trancher la question de savoir si la géométrie du monde qui nous entoure est euclidienne ou non euclidienne ? La droite elliptique, il est vrai, ne possède aucun point à l'infini, et la droite hyperbolique en possède deux, mais, tant qu'on n'aura pas parcouru une droite dans toute sa longueur, il ne sera pas possible de savoir, par une constatation directe, si cette droite possède un ou deux points à l'infini, ou si elle n'en possède aucun.
Ne pouvons-nous pas constater s'il existe réellement des droites parallèles ? ”

“ Ce sont les constatations que l’on pourrait faire si la géométrie non euclidienne était vraie, si les corps α β γ, O A B C D E F G H étaient des solides invariables, si le premier était un triangle rectangle et le second une double pyramide hexagonale régulière de dimensions convenables.
Ces constatations nouvelles ne sont donc pas possibles si les corps se meuvent suivant le groupe euclidien ; mais elles le deviennent si l’on suppose que les corps se meuvent suivant le groupe lobatchevskien. ”

“ Si l’attitude euclidienne est innée en nous, c’est uniquement sans doute à cause de l’expérience ancestrale, parce que le cerveau des hommes s’est peu à peu adapté aux conditions du monde extérieur par sélection naturelle, et que la géométrie euclidienne s’est trouvée être « la plus avantageuse à l’espèce, ou, en d’autres termes, la plus commode. »
Si dans les sciences mathématiques la déduction est presque tout, le fait presque rien, c’est l’inverse que nous voyons dans les sciences d’observation. ”

“ D’après les derniers résultats de la théorie de la relativité il devient probable que notre espace à trois dimensions est lui aussi approximativement sphérique, c’est-à-dire que les lois de position des corps rigides ne sont pas fournies en lui par la géométrie euclidienne, mais approximativement par la géométrie sphérique, si l’examen porte seulement sur des régions assez étendues. C’est ici le point où l’intuition du lecteur se révolte. « Aucun homme ne peut se représenter une chose pareille », s’exclame-t-il tout indigné. ”

“ Puisque plusieurs géométries sont possibles, est-il certain que ce soit la nôtre qui soit vraie ? L’expérience nous apprend sans doute que la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits ; mais c’est parce que nous n’opérons que sur des triangles trop petits ; la différence, d’après Lobatchevsky, est proportionnelle à la surface du triangle : ne pourra-t-elle devenir sensible quand nous opérerons sur des triangles plus grands ou quand nos mesures deviendront plus précises ? La géométrie euclidienne ne serait ainsi qu’une géométrie provisoire. ”

“ Lors même qu’on ne considérerait qu’un seul espace non euclidien dont on ferait varier le paramètre, on serait obligé pour cela de l’enfermer dans un espace homogène à quatre dimensions, car la « majoration proportionnelle » d’un espace n’est possible, nous le savons, que dans un espace homogène. M. Lechalas a donc parfaitement raison de conclure que le principe de relativité est satisfait « par la doctrine d’ensemble de la géométrie générale », car cette doctrine est en somme une géométrie euclidienne à quatre dimensions. ”

“ Par exemple, l’impossibilité de compter les points d’une droite, ou l’impossibilité de joindre deux points par plus d’une droite. Nous pouvons refuser d’admettre certaines d’entre elles, comme on a fait pour la seconde, comme on n’a pas osé faire pour la première ; mais même pour le plus profond mathématicien, les géométries non euclidiennes ne sont pas sur le même plan que la géométrie euclidienne ; nous croyons à celle-ci même malgré nous, au lieu que nous ne pouvons pas tout à fait croire aux autres, et devons, pour les élaborer, imaginer des courbes quand nous parlons de droites. ”

“ C’est que la géométrie euclidienne, comme toute la science contemporaine, n’opère que sur des quantités, sur des chiffres qui partagent notre vision du monde en tranches, qui découpent la nature en classes et en catégories. ”

“ Quelques-uns de ces postulats sont en accord avec les expériences faites lentement par l’homme à travers les âges. On ne peut séparer l’acquisition des notions géométriques et celle des notions physiques les plus simples, la géométrie dans des temps très anciens ayant fait partie de la physique. Sans changer l’ensemble de ces notions, on ne peut remplacer la géométrie euclidienne par une autre géométrie et c’est un pur jeu d’esprit que d’imaginer un homme transporté subitement dans un autre milieu, où, n’étant pas adapté, il commencerait sans doute par mourir. ”

“ Si l’un de ces univers est notre monde euclidien, ce que ses habitants appelleront droite, ce sera notre droite euclidienne ; mais ce que les habitants du second monde appelleront droite, ce sera une courbe qui jouira des mêmes propriétés par rapport au monde qu’ils habitent et par rapport aux mouvements qu’ils appelleront mouvements sans déformation ; leur géométrie sera donc la géométrie euclidienne, mais leur droite ne sera pas notre droite euclidienne. ”

“ Le précédent Travail ne traite essentiellement que les problèmes de la Géométrie euclidienne, c’est-à-dire qu’il n’y est discuté que les questions qui se présentent quand on admet l’exactitude de l’axiome des parallèles. Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. ”

“ Cette forme doit être invariante pour toutes les transformations du groupe de la géométrie. Cette invariance de la forme des relations qui traduisent les lois de la géométrie, malgré le changement des coordonnées, correspond à une réalité indépendante du système d’axes, à l’espace de la géométrie euclidienne. L’énoncé des lois sera, par conséquent, plus simple dans le langage euclidien. Le principe de relativité de l’espace est l’affirmation d’une telle invariance et de l’existence de la réalité extérieure de l’espace. ”

“ Au-dessous de la vision habituelle à trois dimensions, on peut également en concevoir de plus simples. Oui, certes, la géométrie euclidienne est pour nous la façon actuellement la plus commode de saisir l’univers, étant données la construction de notre corps et nos habitudes séculaires, mais ce n’est pas pour cela une forme universelle et indispensable de sentir. ”

“ Il n’y a aucune raison pour faire au postulat d’Euclide un sort privilégié parmi les axiomes. Ceux de la géométrie projective ne sont ni plus ni moins a priori que lui.
Outre la forme euclidienne et la forme lobatcheffskienne, beaucoup d’autres formes d’extériorité restent donc possibles.
Qui décidera entre l’espace et ces « autres formes extériorité, qui, si elles existaient, pourraient remplir le même office avec une égale efficacité [6] » (§ 192) ? ”

“ Les lois qui régissent les phénomènes physiques sont donc intimement liées à celle de la gravitation, laquelle n’est qu’une loi de la structure géométrique de l’Univers.
La Physique est ramenée à la Géométrie. Beaucoup de Relativistes y voient même une identification. Pour les comprendre, rappelons-nous que leur Géométrie est la Géom' : trie d’un Espace physique, Espace constitué par an substratum universel, et tout différent de 1 Espace idéal conçu par les Philosophes et fondement de la géométrie Euclidienne. ”

“ La seule chose qu’on puisse énoncer objectivement sur les ombres des petits disques est précisément qu’elles se comportent, géométriquement, exactement de la même façon que de petits disques rigides sur la surface de la sphère dans le sens de la géométrie euclidienne. ”

“ Un autre exemple d’un continu infini est le plan. Nous pouvons disposer sur un plan de petites pièces de carton de telle façon qu’à chaque côté d’un carré de carton soit appliqué un autre carré de carton. La construction ne sera jamais finie ; on peut toujours ajouter de nouveaux carrés de carton — à condition que leurs lois de disposition soient conformes à celles des figures planes de la géométrie euclidienne. Le plan est ainsi infini par rapport aux carrés de carton. On dit en conséquence que le plan est un continu infini à deux dimensions et que l’espace en est un à trois dimensions ”

“ Si l’on considère présentement de combien de volumes un ouvrage tel que celui dont je viens d’esquisser le plan pourrait tenir lieu, on ne pourra que désirer, dans l’intérêt de ceux qui se livrent à l’étude des mathématiques, que quelque habile géomètre veuille bien s’en occuper. Il est impossible, en effet, qu’au milieu de tant d’acquisitions dont la géométrie s’est enrichie de nos jours, les élémens d’Euclide, cet antique monument de la méthode des anciens, et leurs sections coniques puissent suffire aux besoins actuels de la science ”

“ Est-ce de nous rendre plus certains des propriétés des parallèles, non pas probablement. Que si l’on a en vue de purger les élémens de géométrie de tout postulat, on en est encore bien loin ; car la géométrie d’Euclide, en particulier, en renferme beaucoup d’autres qu’à la vérité ce géomètre n’a pas énoncés, mais qu’il n’a pas moins tacitement admis. Dans un tel état de choses, ce qu’on pourrait faire de mieux serait, ce nous semble, d’admettre quelque nouvel axiome ”

“ Pour parler d’une façon plus familière, les axiomes de la géométrie ne sont ni vrais ni faux, puisqu’ils ne sont que des conventions arbitraires et que chaque géométrie peut les poser à son gré, sans autre obligation que d’en déduire les conséquences avec une impeccable logique. En résumé, il n’y a ni géométries vraies, ni géométries fausses ; il n’y a que des géométries plus ou moins commodes par rapport au but qu’on se propose. La géométrie d’Euclide sert à mesurer la terre et à construire les machines ”

“ Toute science que l'on aura pu réduire à une série de syllogismes, ne commencerat-elle pas nécessairement toujours par un premier syllogisme dont la majeure et la mineure devront être admises sans démonstration (2) ? Ex nihilo nihil : le véritable scandale de la géométrie est de ne point débuter par cet axiome.
Si donc la géométrie n'est pas encore une science tout à fait parfaite, ce n'est point parce qu'elle n'a pas démontré le postulatum d'Euclide ”