“ De même qu’on a inventé des mots pour désigner collectivement des objets qui se ressemblaient à certains égards, on en a inventé également pour nommer des collections de groupes ayant aussi entre eux quelques points de ressemblance ; on en a inventé encore pour réunir, par des propriétés communes, plusieurs de ces collections de groupes, et ainsi de suite ; jusque-là qu’on est enfin parvenu, d’abstraction en abstraction, à un mot unique comprenant universellement dans sa signification tous les objets de nos pensées : c’est le mot être dans notre langue. ”

“ La définition ne devant renfermer dans son énoncé qu’un seul mot nouveau, on sent d’après cela qu’il ne saurait être permis de définir un mot à l’aide soit de ce mot lui-même, soit de quelqu’un de ses dérivés ou composés. Cela reviendrait à vouloir, en algèbre, donner la valeur d’une inconnue, soit au moyen de cette inconnue, soit à l’aide de quelqu’une de ses fonctions. Celui qui, par exemple, définirait l’astronomie, la science de l’astronome pécherait évidemment contre ce précepte. ”

“ Une langue sera toujours bien faite, si une abondante simplicité et une rigoureuse analogie ont précédé à sa formation ; c’est-à-dire, si ses mots radicaux, quelle qu’en puisse être d’ailleurs l’origine, sont très-courts, et offrent, dans leur plus ou moins grande ressemblance, le tableau fidèle du plus ou du moins d’analogie entre les idées simples qu’ils sont destinés à rappeler ; si de plus elle a des mots propres à exprimer, sans périphrases, toutes les idées, tous les rapports, toutes les vues de l’esprit qui sont de nature à se représenter fréquemment ”

“ Tout cadran est censé construit au centre du globe : l’axe de la terre est le style dont l’ombre se porte d’heure en heure sur diverses lignes tracées d’avance, et qui sont les intersections du plan du cadran avec une suite de plans conduits par l’axe de la terre. C’est lorsque le soleil atteint celui de ces plans qui est le méridien d’un lieu qu’on y compte midi, et que l’ombre du style se projette sur la méridienne du cadran ”

“ Nous dirons que deux angles polyèdres sont conjugués l’un à l’autre, lorsque chacun d’eux aura autant d’arêtes que l’autre auca de faces ; et comme, dans tout angle polyèdre, le nombre des faces est égal au nombre des arêtes, il s’ensuit que tout angle polyèdre est conjugué à lui-même.
Si l’on fait des faces d’un angle polyèdre régulier les bases d’autant d’angles trièdres isocèles et égaux, de même sommet que lui ; ayant l’arête opposée à la base hors de l’angle polyèdre ”

“ La première partie de cette règle est évidemment de rigueur ; car l’on sent fort bien qu’en la négligeant on ne ferait point une définition, puisqu’on ne fixerait le sens d’aucun mot. C’est, par exemple, ce qui arriverait si, voulant définir la sphère, on se bornait à dire que c’est une surface courbe. Quant à la seconde partie de la même règle, quoiqu’elle ne soit pas d’observation rigoureuse, il est néanmoins très-bon de s’y conformer ; attendu qu’en toutes choses, tout ce qui ne concourt pas nécessairement au but qu’on se propose est par là même superflu. ”

“ Dès qu’en effet il ne s’agit que de théorie, c’est là un objet de peu d’importance ; et c’est alors la considération de la généralité et de la pureté des principes qui doit régler les rangs entre les méthodes. Or, s’il en est ainsi, nous ne voyons rien de préférable pour la détermination du nombre des racines imaginaires des équations numériques, que le recours à l’équation dont les racines sont les quarrés des différences des siennes prises deux à deux. ”

“ Nous pensons qu’en voilà bien suffisamment pour établir qu’au-delà du quatrième degré, ce théorème ne saurait pas plus être admis que toute autre règle arbitraire et de pure imagination que l’on voudrait lui substituer.
La moralité à déduire de tout ceci, car, pourquoi les fables en seraient-elles seules susceptibles ? c’est que les plus habiles peuvent faillir, tout aussi bien que les plus faibles ; que conséquemment on ne doit jamais refuser à autrui l’indulgence que l’on peut être bientôt dans le cas de réclamer pour soi-même ”

“ Si, en effet, quelqu’un, après avoir défini un mot, l’emploie sous une acception différente de celle qu’il lui aura lui-même assignée, il aura tort sans doute ; mais sa définition n’en sera pas pour cela moins admissible : c’est son langage et non cette définition qu’il devra réformer.
Mais il est un objet que les écrivains même qui ont traité le plus au long des définitions ont totalement passé sous silence : c’est ce qui concerne le choix des mots. La raison en est sans doute que ces écrivains, uniquement littérateurs, pour la plupart, ont pensé qu’il n’y avait plus de mots à créer. ”

“ On peut encore envisager la chose sous un autre point de vue ; on peut supposer les polygones infiniment petits et alors le polyèdre, qui sera d’une grandeur finie deviendra un corps terminé par une surface courbe. Ainsi, une surface courbe se refermant d’elle-même telle, par exemple, qu’un ellipsoïde peut être découpée en portions infiniment petites, soit triangulaires se réunissant au nombre de autour de chaque sommet, soit hexagonales se réunissant au nombre de autour de chaque sommet, soit enfin quadrangulaires se réunissant au nombre de autour de chaque sommet. ”

“ Le moyen que nous venons d’indiquer comme propre à acquérir l’intelligence de mots qui expriment des idées simples intellectuelles, peut être généralement employé à la recherche de la signification de tous les mots d’une langue ; et dès qu’on en connaît un certain nombre, des lectures choisies et la fréquentation des gens qui parlent bien, suffisent pour acquérir peu à peu l’intelligence de tous les autres. ”

“ On voit, au surplus, que, dans le développement des puissances et produits de puissances des binômes on peut rejeter les termes de plus d’une dimension en si l’on rejette, en outre, les termes indépendans de ces variables ; en changeant respectivement, dans ce qui restera, en on aura immédiatement l’équation du plan tangent au point rapporté aux axes primitifs, et de laquelle on conclura facilement celles de la normale au même point. ”

“ C’est ainsi, en particulier, que toute la science du calcul repose sur la puissance des mots, c’est-à-dire, sur l’emploi des dénominations des diverses collections d’unités. On doit ajouter encore qu’assez souvent on peut raisonner sur les mots sans qu’il soit besoin de s’enquérir de leur signification, tout comme en algèbre on exécute des calculs, sans songer aucunement à ce que représentent les symboles sur lesquels on opère. ”

“ PROBLÈME I. Trouver les conditions de réalité de toutes les racines d’une équation de degré quelconque ?
Solution. La première solution de ce problème est due à de Gua. Soit la proposée : la courbe serpente de part et d’autre de l’axe des ses points d’intersection avec cet axe déterminent les racines réelles ; on observe deux espèces de sommets : les uns qui tournent leur concavité vers l’axe, et pour lesquels est un maximum : les autres qui tournent au contraire leur convexité vers le même axe, et pour lesquels, par conséquent, cette ordonnée est un minimum. ”

“ On donne le nom d’angle polyèdre régulier tout angle polyèdre dans lequel les angles plans et les angles dièdres sont égaux entre eux ; et il suit clairement de cette définition que, même en faisant abstraction des angles polyèdres étoilés que l’on pourrait former, à l’imitation des polygones étoilés de M. Poinsot, les angles polyèdres réguliers sont en nombre infini, et que le nombre de leurs faces peut être, quelconque [1] . ”

“ Si donc on ne veut pas que les propositions se compliquent de plus en plus, à mesure qu’on avance dans les sciences, il faut pareillement créer des mots nouveaux pour désigner les combinaisons d’idées, rapports ou vues de l’esprit dont on prévoit que la considération pourra s’offrir fréquemment, et que, sans cet artifice, on ne pourrait exprimer que par de longues phrases. Il est donc vrai de dire qu’en créant ou en perfectionnant une science on se trouve inévitablement conduit à créer ou à perfectionner une langue ”

“ Si, au contraire, les deux racines de l’équation sont imaginaires, celles de le seront aussi, et parce que l’équation est de degré pair, son dernier terme sera positif ; on n’aura donc, pour la succession des signes de ses termes, que les deux formes possibles
qui donnent encore deux variations ou deux permanences, comme dans le cas des racines réelles de donc le théorème vaut pour le troisième degré. ”

“ Ne serait-il pas absurde, en effet, d’attacher nécessairement le succès dans l’étude d’une science au plus ou moins d’intelligence des langues d’où il a plu à ses inventeurs de tirer les mots qu’on y emploie ; et n’en résulterait-il pas cette conséquence tout-à-fait insoutenable, qu’une science qui n’aurait emprunté ses expressions à aucune langue connue ne pourrait être enseignée ni apprise ? ”

“ C’est, en effet, de cette manière que les enfans en bas âge, le peuple et même les gens lettrés parviennent, sans le secours des définitions et des vocabulaires, à apprendre peu à peu leur langue, et c’est encore de la même manière que nous apprenons souvent les langues étrangères par le seul séjour dans les pays où elles sont généralement en usage. On conçoit fort bien, en effet, que, si une phrase contient un seul mot dont la signification nous soit inconnue, l’énoncé de cette phrase pourra souvent suffire pour nous en révéler la valeur. ”

“ On voit, par ce qui précède, que, lorsqu’une surface courbe passe par l’origine, on obtient l’équation de son plan tangent, en égalant simplement à zéro, dans son équation, l’ensemble des termes d’une seule dimension, par rapport aux coordonnées. ”

“ Soient respectivement le nombre des juges de ces divers tribunaux, du plus inférieur au plus élevé ; soient des nombres abstraits représentant le poids moyen de l’opinion de chaque juge dans chacun de ces tribunaux, respectivement.
Si l’on suppose d’abord qu’il n’y ait qu’un seul tribunal, il est clair qu’il sera suffisant, pour qu’un jugement soit rendu qu’il obtienne une majorité de voix contre mais il se pourra aussi que ce jugement soit rendu à l’unanimité.
Supposons, en second lieu, qu’il en soit ainsi ; mais que la voie de l’appel à un second tribunal soit ouverte à la partie lésée. ”

“ On les a ainsi nommées parce que, si l’on conçoit qu’un fil soit d’abord appliqué le long de la développée, et qu’on le développe ensuite en le tenant toujours tendu, l’un de ses points parcourra évidemment la développante. Quant à ses autres points, ils parcourront aussi des courbes qui auront la même développée que la courbe donnée ; d’où l’on voit qu’à une même courbe donnée doivent toujours répondre une développée unique et une infinité de développantes. ”

“ Si d’ailleurs, comme on ne saurait en disconvenir, la langue que nous avons apprise dans notre enfance est l’instrument dont nous nous servons pour penser ; il est naturel d’en conclure que le travail grossier des premiers inventeurs des langues ne serait pas sans quelque influence sur ce travail plus perfectionné.
Nous venons de voir comment un premier genre d’abstraction avait donné naissance à un grand nombre de mots de nos langues : nous allons voir un autre genre d’abstraction contribuer encore à les enrichir. ”

“ Si donc on n’avait recours à quelques moyens d’abréviation, il est aisé de sentir qu’à mesure qu’on pénétrerait plus avant dans quelque science que ce soit, qu’à mesure que les propositions s’éloigneraient davantage des notions premières d’où on les aurait dérivées ; elles se compliqueraient de plus en plus ; et ce serait là un obstacle assez grave pour arrêter bientôt la marche de l’esprit humain dans ses recherches, et rendre ainsi le progrès des sciences tout-à-fait impossible. ”

“ On voit par là que, pour résoudre le problème, il n’est pas même nécessaire de connaitre la relation générale qui lie à et qu’il suffit seulement de connaître les valeurs de la première de ces variables qui répondent à des valeurs de la seconde croissant en progression arithmétique ; et ce n’est point là un des moindres avantages de nos formules, qui peuvent ainsi être appliquées à des recherches d’expérience et d’observation où très-souvent la nature de la dépendance générale entre les deux variables est tout-à-fait inconnue. ”

“ Mais on ne doit pas perdre de vue que, quelque désirables que puissent être pour les langues ces diverses qualités, les raisonnemens faits dans une langue, quelque imparfaite qu’elle soit d’ailleurs, pourront toujours être rigoureux, si tous les mots dont la signification pourrait laisser quelques nuages dans l’esprit peuvent y être nettement définis à l’aide de ceux dont, au contraire, la signification ne présente aucune sorte d’équivoque. ”