Nombre complexe

“ Les nombres complexes sont aussi anciens que l'homme, parce qu'ils sont dans la nature de son organisation, tout comme il est dans la nature de la numération décimale de s'adapter à chaque unité, à chaque nombre complexe, et non à une unité exclusivement. ”

“ Pour transformer un nombre complexe en nombre fractionnaire, il faut réduire les diverses unités de sous-espèces de ce nombre en unités de sous-espèce de la moindre grandeur qu'ils contiennent, et donner au produit, pour dénominateur, le nombre qui marque combien il faut d'unités de cette sous-espèce pour composer l'unité principale du nombre complexe proposé. ”

“ Le 3, simple par lui-même, est le seul nombre qui se compose de simples, et qui fournit un nombre simple en se décomposant : vous ne pouvez composer un autre nombre complexe sans le 3, excepté le 2. Les générations du 3 sont magnifiques, et tiennent à cette puissante unité qui est le premier anneau de la chaîne des nombres, et qui remplit l’univers. ”

“ Réciproquement ; pour transformer une fraction ordinaire concrète en nombre complexe, il suffit d'effectuer la division du numérateur par le dénominateur, en convertissant chaque reste en unités immédiatement inférieures. ”

“ THÉODORE. — Oui, un nombre qui est composé de parties rapportées à différentes unités, est ce qu'on appelle un nombre complexe, et par opposition, celui qui ne renferme qu'une seule espèce d'unité, s'appelle nombre incomplexe; 8 francs, 8 kilogrammes, 10 mètres, etc., sont des nombres incomplexes; 8 francs, 10 centimes, 8 kilogrammes, 4 hectogrammes, 10 mètres, 50 centimètres , sont des nombres complexes.
LÉONIDAS. - Un nombre complexe est celui qui est composé d'entiers et de parties d'entier, et le nombre incomplexe est celui qui n'est com posé que d'entiers ”

“ On fait la preuve de cette soustraction de nombres complexes en ajoutant le reste trouvé en plus petit nombre. La somme doit être égale au plus grand.
80 MULTIPLICATION. — Dans les calculs auxquels conduit la géométrie du terrain, il n'arrive jamais que l'on ait à multiplier un nombre complexe exprimant un angle par un autre nombre complexe. ”

“ En le traitant comme cidessus, on trouve que 9 onces 4 gros 18 grains valent 5490 grains, et en divisant ce résultat par les 9216 grains contenus dans la livre, et en poussant le quotient à trois chiffres, on a 596; donc le nombre complexe est équivalent à 267 livres 596 millièmes.
On voit donc qu'il est toujours facile de convertir un nombre complexe quelconque en un nombre décimal.
42. Ce que nous venons de dire étant bien compris, on peut aisément obtenir tous les résultats auxquels on tend dans les questions qui exigent des calculs de nombres complexes. ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ L’infini des Nombres est un fait prouvé pour votre Esprit, dont aucune preuve ne peut être donnée matériellement. Le Mathématicien vous dira que l’infini des Nombres existe et ne se démontre pas. Dieu, cher pasteur, est un nombre doué de mouvement, qui se sent et ne se démontre pas, vous dira le Croyant. Comme l’Unité, il commence des Nombres avec lesquels il n’a rien de commun. L’existence du Nombre dépend de l’Unité qui, sans être un Nombre, les engendre tous. Dieu, cher pasteur, est une magnifique Unité qui n’a rien de commun avec ses créations, et qui néanmoins les engendre ! ”

“ L’esprit réaliste, sous l’influence des premières découvertes relatives aux rapports mathématiques des phénomènes, formule l’identité du concret et de l’abstrait, en réalisant le nombre. Les nombres sont pris pour les essences des choses, pour les choses mêmes qu’ils déterminent. Les nombres réunis forment le Multiple, qui doit son existence à l’Un, principe de la limite. La série des conditionnés remonte ainsi à l’Inconditionné sous l’aspect mathématique. Une opposition et une alliance s’établissent à la fois entre le Multiple sans terme, qui est l’Infini, et le Fini, qui est le Nombre. ”

“ IRRATIONNEL Je ne connais rien de plus insupportable en mathématiques que les nombres irrationnels ; leur introduction en arithmétique est un véritable scandale : dans ce domaine si élémentaire, à côté de cette notion du nombre entier qui est la plus claire du monde, à côté de ces propositions si précises, de ces démonstrations si nettes que les plus grands mathématiciens ont pris à cœur d’accroître et de simplifier, et qui ont toute la beauté, toute la perfection de celles que les Grecs nous ont léguées, voici venir tout le cortège du transcendant et de l’infini. ”

“ Vous voyez donc, mes enfants, que quand on dit : lcs unités d'un nombre doivent être toutes de même nature, ce n'est pas seulement une règle de calcul qu'on exprime, c'est aussi une vérité de sens commun. ”

“ Sans doute, ainsi que l’ont dit les Pythagoriciens, les Nombres se trouvent partout dans le monde où nous vivons, dans le ciel, que nous contemplons, dans la nature, que nous cherchons à interpréter. Le nombre est à l’état d’unité dans chacun des individus que nos sens perçoivent ; il est à l’état de multiplicité dans les collections que les individus peuvent former, soit dans une même espèce, soit dans des espèces différentes. Sans doute encore, il y a dans l’univers, dans le monde, des proportions et des harmonies, comme il y en a dans les sons que calculent les mathématiques. ”

“ La ligne de démarcation de l’Arithmétique et de l’Algèbre provient de l’idée que l’on se fait du nombre, suivant qu’on le considère comme grandeur ou seulement comme numéro d’ordre, c’est-à-dire suivant que l’on accepte ou que l’on refuse la notion de continuité ”

“ Si nous y revenons, c’est pour constater à leur égard comme pour les autres écoles, quels principes ils posent, et comment ces principes tombent sous notre classification. Or, ils paraissent penser que le nombre est principe des êtres sous le point de vue de la matière, en y comprenant les attributs et les manières d’être ; que les éléments du nombre sont le pair et l’impair ; que l’impair est fini, le pair infini ; que l’unité tient de ces deux éléments, car elle est à la fois pair et impair, et que le nombre vient de l’unité ; enfin que les nombres sont tout le ciel. ”

“ Plusieurs des théorèmes que l’on a coutume d’exposer dans les traités d’arithmétique, s’appuient sur ceux que nous avons présentés ; par exemple, la règle pour reconnaître si un nombre est divisible par ou tout autre nombre. ”

“ Mon but est ainsi nettement délimité ; je n'aborderai donc pas les questions, plus philosophiques que mathématiques, que pose la conception de la suite des entiers. Cette notion est considérée par moi comme acquise et parfaitement claire.
ne donne jamais qu'un nombre'fini de notations. Ce nombre pourra être grand; cela dépendra du nombre des symboles, de leur choix plus ou moins heureux, de l'ingéniosité des lois de combinaisons prévues; mais il sera toujours fini. Toute numération s'appliquant à un ensemble infini de nombres est, à certains égards, fictive. ”

“ D'après cela : cinq plus sept et 5 +7, par exemple, sont des expressions non vulgaires, l'une verbale, l'autre en chiffres, du même - nombre, dont douze est l'expression vulgaire verbale, et 12 l'expression vulgaire en chiffres.
XIV. Le nombre 1, le premier ou le plus petit de tous les nombres, celui dont tous les autres se composent, est le seul qui n'ait pas d'expression en chiffres, ce qui devait être a cause de sa simplicité ; aussi l'homme qui, le premier, dans les temps les plus reculés, éleva le doigt, dont il est l'image, pour manifester le nombre 1, commença la science des nombres. ”

“ Nous nous en tiendrons à ces quelques mots sur l’arithmétique technique pour nous arrêter un peu devant l’élément fondamental de cette science, le « nombre entier. »
Bien fatalement un mathématicien est amené à réfléchir sur les origines de cette notion et sur sa valeur philosophique. De même l’on imaginerait difficilement un physicien qui n’aurait pas cherché à se faire une idée de ce que le vulgaire nomme la matière, le temps, la force... Les savans-philosophes et les philosophes-scientifiques ont beaucoup écrit sur le nombre entier. ”

“ R. Toutes les fois que les dénominateurs des fractions proposées ont des facteurs communs, on peut abréger l'opération en réduisant ces fractions à un dénominateur plus petit que le produit des dénominateurs. Pour cela, il faut prendre pour dénominateur le plus petit multiple commun à tous les dénominateurs, et comme par là on prend un dénominateur un certain nombre de fois plus grand, il faut rendre le numérateur le même nombre de fois plus grand. ”

“ Le nombre qui détermine le mode de groupement s'appelle base du système de numération ; un nombre quelconque peut servir de base ; le système dont la base est dix est devenu d'un usage universel parmi les hommes ”

“ C'est ainsi que, dans notre numération, on est convenu que de dix unités d'un certain ordre , on formerait une unité d'un autre ordre. De même, deux fois deux font quatre, par exemple , n'est qu'une vérité de convention.
Les identités sont des propositions tacitement renfermées dans une définition , ou qui sont la conséquence nécessaire d'un principe convenu.
Par exemple, une quantité est la moitié de son double; le tiers de son triple ; etc. De même, tout nombre est le carré de sa racine carrée ; le cube de sa racine cubique ”

“ La notion de nombre réel, fournie par la médiation entre un nombre quelconque et l’unité, était matière à des démonstrations aussi rigoureuses, aussi évidentes que celles de l’arithmétique, et en même temps incompréhensibles par l’imagination. Cette notion force l’intelligence à saisir avec certitude des rapports qu’elle est incapable de se représenter. ”

“ D'après cette idée, il divise les nombres en trois espèces : 1° Nombres entiers, ceux qui contiennent l'unité un certain nombre de fois exactement, et sans reste, comme 2, 3, 4, etc.; 2° Nombres rompus, ou fractions ; 3° Nombres sourds ou incommensurables, seux qui ne peuvent être mesurés, deux quantités qui n'ont point de mesure commune. En géométrie, le côté d'un carré est incommensurable avec sa diagonale, angle qui passe d'un angle à l'autre.
Les mathématiciens considèrent les nombres sous
différens rapports, ce qui produit chez eux différentes sortes de nombres. ”

“ METHODE. Pour faire la soustraction des nombres complexes , il faut écrire le plus petit nombre sous le plus grand, de manière que les unités de même grandeur soient dans la même colonne ; soustraire les unités de chaque sous-espèce du nombre inférieur de celles qui leur correspondent dans le nombre supé- rieur, en commençant par les plus petites ”

“ Est-ce là le début de la démonstration annoncée, on pourrait le croire ; l’auteur, pense-t-on, ayant défini le nombre ordinal fini, et montré que sa définition est exempte de contradiction, va démontrer que tout nombre ordinal fini a un suivant qui est aussi un nombre ordinal fini, et il s’élèvera ainsi jusqu’à la notion du type ordinal de l’ensemble des nombres entiers, c’est-à-dire du plus petit infini. ”

“ Pour convertir un nombre entier en parties d'une espèce donnée, on multiplie le nombre entier par le dénominateur qui indique l'espèce des parties, et l'on prend le produit pour numérateur de la fraction. ”

“ La série des nombres naturels offre déjà un exemple d'addition, puisqu'elle est formée de l'unité ajoutée d'abord à elle-même, et ensuite au nombre précédemment formé.
45. Toute addition de nombres écrits en chiffres suppose toujours que l'on est parvenu, par un moyen ou par un autre, à savoir former une collection d'unités semblables ; et le moyen le plus ordinairement employé, ce sont les doigts ; l'habitude seule dispense de s'en servir. ”

“ Tout nombre entier pouvant être considéré comme une fraction, dont le nombre entier est le numérateur, & l’unité le dénominateur, si l’on ajoûte le même nombre de zéro au numérateur & au dénominateur, le nombre entier, considéré comme fraction, sera changé en nombre décimal sans changer de valeur. ”

“ L’égalité des unités, telle est l’hypothèse fondamentale de l’arithmétique. C’est ne rien dire, par conséquent, que définir le nombre une collection d’unités ; autant vaut dire que le nombre est un nombre d’unités ; ou, si l’on veut encore, ce n’est là qu’une description et non une définition. Le nombre est l’expression scientifique de l’idée sensible de pluralité [5] .
Cela compris, on a, par convention, représenté les différents nombres par des symboles qui sont 1, 2, 3 10, 11... 20... 100... ”

“ Maintenant que nous avons démontré que tout nombre premier de la forme positif ou négatif, est toujours non-résidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui, nous allons passer à l’examen exact et général de la condition nécessaire pour qu’un nombre premier soit résidu ou non-résidu d’un autre. ”

“ Tout nombre se divise lui-même, parce que, multiplié par l'unité, il restera ce qu'il est.
Réciproquement tout nombre est divisible par 1, parce que l'unité est facteur de tous les nombres.
Quand un nombre n'est divisible que par luimême et par l'unité, on l'appèle nombre premier. ”

“ Ces moyens consistent à réduire le calcul des nombres les plus composés à celui de nombres plus simples, ou exprimés par le plus petit nombre de chiffres possible. C'est ce qu'il s'agit d'exposer actuellement.
De l'Addition des Nombres entiers et des Parties décimales.
33. Exprimer la valeur totale de plusieurs nombres par un seul est ce qu'on appelle faire une addition.
Quand les nombres qu'on se propose d'ajouter n'ont qu'un seul chiffre, on n'a pas besoin de règle ; mais lorsqu'ils ont plusieurs chiffres, on trouve leur valeur totale qu'on appelle somme, en observant la règle suivante. ”

“ Quelques exemples servant à faire comprendre que toutes les grandeurs peuvent toujours être évaluées en nombres. Le nombre nous fournit le moyen de nous rendre compte d'unecollection d'individualités homogènes et nous donne une idée juste de la grandeur de chaque quantité en particulier, considérée dans sa nature propre. Autres avantages que l'on retire du nombre et principalement de sa formation qui suggère l'idée de l'addition, et par suite celle de son opération inverse. Le système de numération est la conséquence de l'opération à l'aide de laquelle on forme les nombres. ”