Système décimal

“ A notre avis, il y a surtout lieu de faire connaître cet heureux résultat à tous ceux qui s'intéressent aux progrès de la Science et de presser auprès des Pouvoirs Publics pour que dans l'enseignement on donne des notions de l'emploi du système décimal pour les notations du temps et de l'angle. On créera ainsi une génération qui se servira dans la pratique de ce système qui possède déjà un matériel complet d'instruments et de tables. ”

“ De là le calcul des nombres complexes, assez pénible, malgré les simplifications provenant des diviseurs de douze.—Les unités nouvelles procèdent toutes de dix en dix, comme notre système de numération. Les grandeurs s'expriment par suite en nombres décimaux, aussi faciles à combiner que les entiers. Les changements d'unité se traduisent par un simple déplacement de la virgule.—On comprend pourquoi le (p. 73) système métrique s'appelle aussi système décimal des poids et mesures. ”

“ C'est ainsi que, dans le système décimal, nous avons trouvé le caractère de divisibilité par les deux diviseurs 2 et 5 de la base dix; dans le système duodécimal, par les quatre diviseurs 2, 3, A et 6 de la base douze.
332. REMARQUE II. Supposons que le diviseur b soit égal à a-Ij la première puissance de la base a est égale à b plus 1; la seconde puissance donne aussi pour reste 1; tous les restes sont égaux à l'unité. Il en résulte :
THÉORÈME. Un nombre, écrit dans le système de numération dont la base est a, est divisible par a — 1, si la somme de ses chiffres est divisible par a-t. ”

“ Si notre système métrique décimal n’a pas été résumé, jusqu’à ce jour, sous cette forme simple et exacte tout à la fois, cela tient uniquement, je n’hésite pas à le croire, à ce que les mathématiciens n’ont pas encore osé concevoir la richesse sociale ou la valeur comme une grandeur du même genre que l’étendue, la pesanteur ou la vitesse, c’est-à-dire comme une grandeur appréciable. ”

“ Pages cernant la conversion d'une nouvelle mesure, exprimée par un nombre décimal, à l'une quelconque des unités multiples ou sous-multiples de son espèce. Le nouveau système de mesures détruit l'ancien. Les opérations élémentaires sur les nombres exprimant des mesures nouvelles sont celles prescrites pour les nombres décimaux abstraits. ”

“ Pour imprimer au système métrique une durée qui fût à l'abri de ces révolutions qui ont bouleversé le monde, on résolut de donner aux nouvelles mesures une base commune, et de prendre cette base dans la nature même. ”

“ Mais ce système conquérant se heurte à d’autres mouvements ou à d’autres systèmes qui le limitent ou le détruise sans cesse, créant ces états transitoires, que nous apprécions relativement à notre propre durée et que nous dénommons équilibre et harmonie, ou cataclysme et chaos, selon qu’ils s’effectuent à notre échelle dynamique ou hors de notre rythme vital. ”

“ La théorie a, pour s’appuyer dans cette question, des expériences faites sous l’influence d’un système dur et impitoyable, et sous l’influence d’un système doux et chrétien : ni l’un ni l’autre n’ont réussi. La science nous conduira à un moyen terme, également éloigné de la cruauté et d’une philanthropie mal entendue. ”

“ Voilà le principe sur lequel sont fondés les trois cas que nous venons d'observer sur la réduction du nombre des caractères exprimant les unités sous-décuples d'un nombre décimal.
202. Les quantités décimales, de même que les autres espèces de nombres, expriment des rapports plus ou moins considérables; aussi ces grandeurs sont-elles assujéties aux lois de la composition et de la décomposition des quantités.
Calcul des nombres décimaux.
203. Nous venons de voir qu'un nombre décimal quelconque est toujours conversible en fraction ordinaire. ”

“ Sans différence, sans scission, sans dualité, c'està-dire sans dégradation pas d'unité, pas d'absolu véritable.
Le système, de quelque façon qu'on le conçoive, est une série de dégradations, et c'est la dégradation qui fait sa possibilité et sa réalité. La nébuleuse est une dégradation relativement à la planète, la cellule est une dégradation relativement à l'animal développé, l'animalité rudimentaire est une dégradation relativement à l'animalité plus parfaite, et ainsi de toutes choses. La création, qu'elle soit éternelle ou qu'elle soit dans le temps, contient le moment de la dégradation. ”

“ Si nous nous imposons la condition que tous les états successifs du système matériel au cours de son évolution soient des états d’équilibre, cette série d’états d’équilibre pourrait aussi bien être réalisée dans l’ordre de succession opposée : c’est ce qu’on exprime en disant que la transformation est réversible. ”

“ Ce système ne représente donc pas l’idéal, et il prête à la critique. Il a toutefois un avantage que personne ne conteste, c’est la décimalité. Il permet, moyennant de simples déplacemens de virgule, de calculer très vite les sommes les plus considérables. ”

“ Grâce à un certain degré de contingence, à une sorte de jeu laissé aux cadres logiques, une nouvelle forme de l’être s’y introduit : la matière, chose étendue et mobile, dont l’essence est la continuité. Or le continu n’est autre chose que la fusion, la pénétration réciproque, l’unification de l’un et du multiple. La matière, à son tour, se prête à la création des formes physiques et chimiques, dont l’essence est l’hétérogénéité. Or l’hétérogène est au continu ce qu’est à l’unité la multiplicité, fondée sur le rapport de l’un et de l’autre. ”

“ Enfin, l’homme marque la limite la plus élevée de l’évolution. Cette limite est-elle immobile, ou momentanée ? L’homme ne va-t-il pas se transformer aussi ? Mais ce caractère indéfini, cette mutabilité sans limite des espèces, n’est-ce pas une application de la doctrine qui érige le chaos en principe absolu ? Le changement n’ayant point de terme, et ne souffrant point de direction de la part d’un principe extérieur, il se fera au hasard. ”

“ Mais, à ce compte, lequel est la substance, de la quantité qui ne parvient jamais à se réaliser, à obtenir la détermination et la fixité qu’elle réclame, ou de la qualité, qui impose à la quantité cette fluctuation perpétuelle, contraire à son essence ? La quantité n’est-elle pas de nouveau subordonnée à un élément d’une autre nature ; et, dans ces conditions, se comporte-t-elle exactement de même que si elle existait en soi ? Trouve-t-on, même dans une qualité aussi élémentaire que l’étendue figurée et mobile, la détermination et l’identité que supposent les mathématiques abstraites ? ”

“ La soustraction décimale se fait exactement la même chose que la soustraction simple, si ce n'est qu'il faut placer les sommes, comme dans l'addition décimale, de manière à ce que les virgules décimales suivent la même ligne verticale. ”

“ Quels que soient le mouvement du système et les variations qu’il éprouve par l’action mutuelle de ses parties, la somme des produits de chaque corps par l’aire que sa projection trace autour du centre commun de gravité, sur un plan qui, passant par ce point, reste toujours parallèle à lui-même, est constante. Le plan sur lequel cette somme est un maximum conserve une situation parallèle pendant le mouvement du système ”

“ Mais, dans l’espace et le temps, qu’est-ce que le tout ? L’indétermination qui subsiste invinciblement dans les moyennes relatives aux ensembles mécaniques les plus considérables, a vraisemblablement sa raison dans la contingence des détails.
Mais, si les révolutions générales sont extrêmement lentes et presque insensibles, que doit-il en être des variations de détail qui les déterminent ? Ainsi la nature, contemplée pendant un instant, semble immobile, alors qu’en réalité tout se meut, vit et se développe. ”

“ Provisoirement , et jusqu'à ce que notre génération, qui doit être l'époque de transition , ait oublié la diversité des anciennes mesures comme terme de ses évaluations, ces Tables, qui démontreront, mieux encore que la pratique, l'absurdité d'un système qui n'en était pas un, deviennent indispensables. ”

“ Les alternances de génération et de dépérissement, les évolutions sans cesse renaissantes, le mouvement circulaire indéfiniment répété des sphères célestes, tout cela représente simplement un certain déficit fondamental en lequel consiste la matérialité. Comblez ce déficit : du même coup vous supprimez l’espace et le temps, c’est-à-dire les oscillations indéfiniment renouvelées autour d’un équilibre stable toujours poursuivi, jamais atteint. ”

“ Tout ce qui existe maintenant, peut avoir existé; chaque particule de matière, de force, d'espace, occupée par le même temps, sujette aux mêmes lois, si elle n'eût pas été conduite par l'opération ou l'influence d'une autre, fût restée dans le même état de choses, et alors quel chaos au-delà du pouvoir même de notre imagination. Tout fut resté sans forme et sans vide, plein d'élémens en désordre et exposé à un changement perpétuel. ”

“ Quant aux changements par contraires, ce sont les contraires mêmes qui servent de limites, puisqu’ils sont les points extrêmes du changement.
§ 4. Ainsi, les contraires sont les limites de toute espèce d’altération ; car l’altération procède toujours de certains contraires.
§ 5. De même encore pour l’accroissement et la décroissance ; car, la limite de l’accroissement est l’acquisition même de la grandeur que la chose doit atteindre d’après sa nature propre ; et la limite de la décroissance est la disparition de cette même grandeur. ”

“ Ainsi un changement de direction, ou, en ce qui concerne l’âme, un changement de qualité, suppose toujours un changement de quantité. Il est vrai que cette quantité nouvelle peut avoir été empruntée par l’être donné aux autres êtres du même ordre ; mais le changement survenu dans ces êtres doit avoir eu, lui aussi, une raison déterminante ; et si, dans l’ensemble, la quantité d’action demeure constante, les phénomènes ne pourront être qu’un circulus, où la contingence n’aura aucune place. ”

“ Pour chaque substance, prise dans un même état physique, et agissant sur un même rayon, la quantité absolue de la déviation est proportionnelle à l’épaisseur de matière traversée ; de sorte que le sens dans lequel elle croît, fait connaître de quel côté elle s’exerce. ”

“ Il est en effet invraisemblable qu'un état latent implique la même quantité d'action que l'état manifeste correspondant. On peut, il est vrai, supposer qu'en même temps que telle propriété physique passe à l'état latent, telle autre se manifeste, et réciproquement; et qu'ainsi l'équilibre se maintient dans l'univers par suite d'une compensation continuelle. ”

“ L’uniformité des poids et des mesures, dont le type invariable fut pris dans la mesure même de la terre, fît disparaître le chaos barbare qui jetait l’inexactitude, le hasard, et dans les transactions et dans les œuvres d’industrie. ”

“ Il y a donc constamment dans la matière vivante deux processus en jeu : l'un de synthèse, c'est l'assimilation ; l'autre de destruction, c'est la désassimilation, qui aboutit à un dégagement de forces. Pour que la vie se maintienne, il faut qu'il y ait correspondance entre ces deux actes. On pourrait la figurer par une équation, le premier membre représentant l'action des forces cosmiques et le second la réaction de la matière. ”

“ C’est en effet le propre d’une tendance que de se développer en gerbe qui l’analyse. Quant aux causes de cette dispersion en règnes, puis en espèces, enfin en individus, on en peut discerner deux séries : la résistance que la matière oppose au courant de vie lancé à travers elle, puis la force explosive, — due à un équilibre instable de tendances, — que porte en soi l’élan vital. ”

“ Mais quand les défrichemens deviennent plus difficiles et plus rares, alors l’accroissement de la population diminue : elle se rapproche continuellement de l’état variable des subsistances, en faisant autour de lui des oscillations à peu près comme un pendule dont on promène, d’un mouvement retardé, le point de suspension, oscille autour de ce point par sa pesanteur. ”

“ Et pourtant ces problèmes sont importants : une décimale de plus où de moins dans le chiffre qui exprime l’efficacité d’un engin peut décider du sort des batailles, de même qu’une décimale changée, en physique, a fait faire parfois des découvertes, des progrès capitaux. ”

“ R. Peur réduire les décimales en fractions ordinaires, il suffit de retrancher le zéro qui tient la place des unités, et la virgule, et de donner pour dénominateur au nombre des décimales, l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y avait de chiffres décimaux. ”

“ Au contraire, les couches sont confondues et superposées - et dans quelques milliers d’années il pourra y avoir des types d’hommes plus jeunes que ceux aujourd’hui démontrables. La décadence, d’autre part, appartient à toutes les époques de l’humanité : partout il y a des déchets et des matières de décomposition : c’est le processus vital lui-même qui fait que les éléments de régression et de déchet s’éliminent. ”

“ Comme notre processus est réversible, ce que nous venons de dire s’applique à l’avenir, et il semble qu’il y ait des cas où nous pourrions affirmer qu’avant telle date le monde doit périr ou changer ses lois ; si par exemple le calcul nous montre qu’à cette date, l’une des quantités que nous avons à envisager doit devenir infinie, ou prendre une valeur physiquement impossible. Périr, ou changer ses lois, c’est à peu près la même chose ; un monde qui n’aurait plus les lois du nôtre, ce ne serait plus notre monde, c’en serait un autre. ”

“ Le cas de la division où le diviseur est l'unité suivi de zéros conduit aux décimales. Première définition de ces grandeurs. Elles s'énoncent d'une manière analogue fi celle des nombres entiers i/ji et 1 'j Génération et numération des décimales.
i 173. Exposé succinct de co titre. Les décimales sont la conséquence du système adopté pour les nombres entiers. Leur définition. Manière d'écrire les parties décimales de l'unité. Le zéro y est employé aux mêmes fins que pour les nombres entiers. ”