Antoine Arnauld

“ C'est qu'un nombre est reconnu pour quarré non seulement quand il est exprimé par deux mêmes lettres comme b b, mais aussi quand on peut partager en deux parts égales les lettres d'un nombre J en forte que les mêmes lettres se trouvent en l'une 6c en l'autre partie. ”

“ L'UNE de ces quatre choses étant donnée la grandeur de la figure reguliere est déterminée : c'est à dire qu'elle ne peut estre que d'une forte, quoy qu'il ne soit pas toujours facile de la décrire; parce que souvent il n'est pas aisé ou de trouver le côté d'une figure reguliere en ayant le rayon, ce qui est la même choie que de l'inscrire en un cercle donné : ou d'en trouver le rayon en ayant le côté ; ce qui est la même chose que trouver le cercle dans lequel une figure dont le côté est donné puissé estre inscritte. ”

“ DEUX triangles font tout-égaux quand ils ont un angle égal, & que les costez qui comprennent dans l'un cet angle égal, font égaux à ceux qui le comprennent dans l'autre, chacun à chacun. Car alors la base est aussy égale à la base, par VIII. 65.
TROISIÈME THEOREME.
DEUX triangles font tout-égaux quand ils ont un cossé égal, & que les angles sur ce cofté égal font égaux chacun à chacun. ”

“ C'est presque toujours une grandeur de plusieurs dimensions qu'on divise par une grandeur de moins dedi- mensions. Car la division est opposée à la multiplication, comme la soustraction à l'addition , d'où vient que la multiplication du diviseur &. du quotient fait une gran deur égale à la grandeur à diviser; parce que la multipli- cation resist ce que la division avoit défait. Et d'où vient aussi par la mesme raison que si on veut multiplier une grandeur divisée par le diviseur même, on n'a qu'à oster le diviseur, & la grandeur à diviser demeurant seule, fera le produit. ”

“ X XI. Si à grandeurs inégales on en ajoûte d'égales, les tous feront inégaux.
XXII. Les aliquotes pareilles de grandeurs égales font égales.
Par exemple, si 6 est égal à c, le tiers de b fera égal au tiers de c, cela est manifeste.
XXIII. Et par la mesme raison deux grandeurs font égales quand leurs aliquotes pareilles font égales. Si le tiers de 6 est égal au tiers de c, b est égal à c, car 6 est égal à ses trois tiers, Lqz c aux trois siens. Or si un tiers est égal à un tiers, les trois tiers font égaux aux trois tiers : puis que ce n'est qu'ajoûter choses àgales à choses égales. ”

“ Il y a des veritez importantes pour la conduite de la vie & pour le salut, qui ne laissent pas d'estre difficiles à comprendre, & qui ont besoin d'une attention penible; Dieu ayant voulu, comme dit S. Augustin, que le pain de l'ame se gagnait avec quelque forte de travail aussy bien que le pain du corps. Et il arrive de là que plusieurs personnes s' en rebutent par une certaine paresse, ou plûtost par une delicatesse d'esprit qui leur donne du dégoust de tout ce qui demande quelque effort & quelque forte de contention. Or l'étude de la Geometrie est encore un remede à ce défaut ”

“ SI du sommet d'un angle on tire une ligne au milieu de la bafe, & que cette ligne soit égale à la moitié de cette base, l'angle est droit : mais si elle est plus longue, il est aigu; de si elle est plus courte, il est obtus.
Car faisant un demycercle qui ait pour centre le point du milieu de la bafe, & pour intervale la moitié de la base, le sommet de l'angle se trouvera dans un des points de la demycirconference si la ligne tirée du sommet au milieu de la bafe est égale à la moitié de la bafe. Donc l'angle fera droit. ”

“ Les noms Grecs des figures font pris du nombre des angles : comme Pentagone, de cinq.
Exagone, de six.
Heptagone, de sept, Octogone, de huit.
Décagone, de dix.
Et Polygone, de plusieurs angles indeterminément.
Ces noms font si communs, qu'il est bon de ne les pas
ignorer; mais on peut se passer d'en sçavoir d'autres qui sont moins communs ; & appeller les figures du nombre de
leurs costez ou de leurs angles, une figure de quinze costez, de trente, de cent, de mille &c. ”

“ LA veritable notion de la Raison composée estant une fois établie, qui est la Raison du produit des antecedens de deux ou plusieurs Raisons au produit de leurs consequens, il s'enfuit delà une chose fort remarquable ; c'est que lors qu'il se rencontre dans les Raisons composantes des antecedens égaux aux consequens, il faut les ôter un pour un avant que de former les produits des antecedens & des consequens, qui doivent faire l'antecedent & le consequent de la Raison composée, si on veut qu'elle soit rèduite aux moindres termes qu'elle peut estre. ”

“ Si elles font tout ensemble equiangles & equilateres entr'elles, on les peut appeller Tout-égales ce qu'il faut bien distinguer de celles qu'on appelle simplement Egales.
4. Si elles font equiangles, & que les costez de l'une soient proportionels aux costez de l'autre, on les appelle Semblables.
Ce qui fait voir que les tout-égales font toujours semblables, puisqu'il y a même raison entre les costez de l'une &: de l'autre, qui est la raison de l'égalité. ”

“ SECONDEMENT qu'on sçache que c'est la mesme chose dans la multiplication de commencer par lequel on veut des deux nombres que l'on multiplie : comme que 3 fois 5, est la mesme chose que 5 fois 3, que 4 fois 6, est la mesme chose que 6 fois 4.
TROISIE'ME SUPPOSITION.
IV. JE suppose en troisiéme lieu , que l'on sçache que ce qu'on appelle corps, espace, étendue, (car tout cela signifie la mesme chose) à trois dimensions, longueur, largeur, &: profondeur. Et que quand on les considere toutes trois; c'est alors que cette forte de grandeur s'appelle proprement corps ou Solide. ”

“ Ostant donc l'angle du sommet qui est commun, l'angle exterieur fera égal aux deux angles sur la bafe.
Ce fera la même chose si on prolonge la bafe. Car l'angle exterieur que fera la bafe prolongée sur un costé, fera égal aux deux interieurs opposez ; c'est à dire à l'angle que fait l'autre costé sur la base plus l'angle du sommet. ”

“ Ravoir si la terre y est bieu profonde, mais je regarde feulement combien il est long & large : Et pour scavoir combien il y a de Paris à Orleans, je ne mefurc pas la largeur des chemins, mais feulement la longueur, Et de même ce qu'on appelle Point n'est que la ligne même, entant qu'on ny confidere que la négation d'une plus longue étendue. ”

“ DEMANDE. On se sert de ce mot quand on a quelque chose à faire, qui est si facile qu'on n'a pas besoin de preuve pour demontrer qu'on a fait ce que l'on vouloit faire: comme ; Décrire un Cercle d'un intervale donné.
DEFINITION. Ce qu'on appelle de ce nom en Geometrie est la détermination d'un mot qui pourroit former diverses idées, à une idée si claire & si distincte qu'elle revienne toujours dans l'esprit lorsqu'on se sert de ce mot : comme ; On appelle Paralletogramme une figure dont les costez opposez sont paralleles. ”

“ IL est souvent très utile de trouver des équations, Se l'un des plus grands secrets pour les trouver est de pouvoir donner à une même grandeur diverses dénomina- tions, parce que souvent une dénomination en fait voir l'égalite avec une autre grandeur qu'une autre dénomination n'auroit pas fait voir, Ainsi aiant une grandeur comme b partagée en deux portions, comme c & d, on peut nommer chaque portion ou par son propre caractere, comme c, ou par le caractère du tout moins l'autre partie. ”

“ Et de même quand un finus est plus grand que l'autre, la corde dont le plus grand est la moitié , est plus grande aussy que la corde dont le plus petit est la moitié. Donc cette plus grande corde soûtient un plus grand arc. Or l'arc qu'elle soûtient est double de celuy dont la moitié de cette plus grande corde est le finus. Donc l'arc dont la moitié de cette plus grande corde est le finus, est plus grand que l'arc qui a pour finus la moitié d'une plus petite corde. ( Ce qu'il falloit demonstrer. )
SEPTIEME THEOREME.
QUAND les finus font égaux, les finus verses le font aus- sy ”

“ Car le moyen de s'imaginer qu'un corps, c'est adire, un estre où nous ne concevons qu'une étendüe figurée & mobile, puisse penetrer ce grand nombre de principes tout spirituels qu'il faut lier ensemble pour la preuve des propositions que la Geometrie nous demotre, & qu'il porte même sa veuë jusques dans l'infiny pour en asseurer ou en tirer plusieurs choses avec une certitude entiere. ”

“ La division est de peu d'usage dans le traité de la grandeur en général, parce qu'on ne sçauroit d'ordinaire déterminer un quotient qu'en descendant à quelque espece de grandeur, comme l'étenduë ou le nombre.
Il n'y a qu'une rencontre où on le peut, qui est lors que le mesme caractere se trouve dans la grandeur à divi- fer 6c dans le diviseur. Car alors ostant ce caractere de Li n &: de l'autre, ce qui rendra fera le quotient. ”

“ Tous les quarrez de racine égale, sont égaux. C'estadire que les espaces compris dans le quarré de la ligne b, & dans celuy de la ligne ni égale à b, & de quelque autre ligne que ce foit égale à b, font égaux. Cela est clair par la notion même de la surface, qui n'ayant que deux dimensions, longueur & largeur, il n'est pas plus clair que deux lignes droittes d'une même longueur font égales, qu'il est clair que deux surfaces de même longueur & de même largeur font égales. ”

“ N'Y ayant égalité que dans les angles, le plus grand rayon donne le plus grand sinus, & le plus grand finus donne le plus grand rayon.
DES ANGLES FAITS PAR LES LIGNES ENTRE PARALLELES.
COMME les perpendiculaires entre les parallèles font des angles droits sur l'une & sur l'autre, ce qui est toûjours la même chose, il n'y a que les angles que font les obliques à considerer.
Mais ces obliques entre parallèles faisant d'une part un angle aigu 6c de l'autre un obtus, c'est l'aigu que l'on mesure premièrement, & par l'aigu on connoist l'obtus. ”

“ Il est clair aussy par là que les lignes droittes ne peuvent terminer un espace,qu'en faisant autant d'angles qu'il y a de lignes droittes qui terminent l'espace. Car si un angle demande deux lignes, une ligne fert à deux angles. ”

“ Toutes les fois que deux points d'une circonférence font également distans de l'une ou l'autre des extremitez de son diametre, qui passe par les deux centres, ils font au if y également distans de l'autre circonference. ”

“ Cette étendüe d'esprit, qui paroist dans la Geometrie, est non seulement tres utile pour tous les su jets qui ont besoin de raisonnement ; mais elle est aussy tres admirable en elle même; & il n'y a gueres de qualité de nostre ame qui en fasse mieux voir la grandeur & qui détruise davantage les imaginations baffes & grossieres de ceux qui voudraient la faire passer pour une matiere. ”

“ ON l'appelle multiple quand une grandeur entiere est contenuë plusieurs fois precisément dans une autre. Car alors celle qui contient est appellée multiple de celle qui est contenue, & celle qui est contenuë fous-multiple. Et l'une & l'autre se subdivise à l'infini selon l'infinie variété des nombres; double * triple , quadruple, &c. moitié, tiers, quart.
LA raison non multiple est quand ii n'y a que quelque aliquote de la grandeur, & non pas la grandeur entiere qui soit contenuë precisément dans l'autre grandeur. ”

“ ET si c'est une mesme grandeur qui est multipliée 2 fois par elle-mesme, comme b en b, & b b en b, ou ce qui est la mesme chose si un quarré comme h 6 est encore une fois multiplié par b sa racine, ce qui fait b b b, ce solide s'appelle cube, & b la racine de ce cube. ”

“ SI d'un point hors le cercle on mene une ligne qui touche le cercle, & l'autre qui le coupe jusqu'à la concavité, le quarré de la tangente est égal au rectangle de l'autre toute, & de sa portion qui est hors le cercle. ”

“ Car tout nombre quarré impair estant divisé en deux parties, dont l'une ne surpasse l'autre que de l'unité ; le quarré de la plus grande partie est égal au quarré de la plus petite, plus le premier quarré impair. ”

“ C'est la feule voie dont on peut prouver la proportion des circonferences & des diametres. Car n'y en ayant point pour le faire positivement & immediatement,on est reduit à y employer l'analogie des polygones semblables d'un si grand nombre de costez que l'on voudra, qu'on peut concevoire estre inscrits dans l'un & l'autre cercle : comme de cent mille costez, de cent millions, de cent mille millions, & ainsy jusques à l'infini. ”

“ Tous les angles dans un segment font égaux à l'angle du segment opposé. Et ainsi l'angle dans le grand segment est égal à l'angle du petit segment ; & l'angle dans le petit segment égal à l'angle du grand.
Car l'angle du grand segment est appuyé sur l'arc du petit. Donc il a pour mesure la moitié de l'arc du petit qui est aussi la mesure de l'angle du petit segment.
IX. COROLLAIRE.
XXVII. L'ANGLE dans le demy-cercle est droit.
Dans le grand segment, aigu.
Dans le petit , obtus. ”

“ XIII LA raison de nombre à nombre est bien plus facile à concevoir que la raison des grandeurs en general, à cause que les nombres ont toujours l'unité pour commune mesure, 6c qu'il y a des grandeurs qui n'ont aucune mesure commune,
Ainsi la raison de deux nombres ne consiste qu'en ce que l'un est tant de fois dans l'autre. ”

“ Ce font ces refléxions qui ont fait juger à l'Auteur de ces Elemens, qu'on pouvoit faire un bon usage de la Geométrie; mais ce n'est pas neanmoins ce qui l'a porté à travailler à en faire de nouveaux, puisqu'on peut tirer tous ces avantages des livres ordinaires qui en traitent.
Ils portent tous à aimer la verité ; ils apprennent à la discerner ; ils fortifient la raison; ils étendent la veuë de l'esprit, &: ils donnent lieu d'admirer la grandeur de l'ame de l'homme de reconnoistre qu'elle ne peut estre autre que spirituelle & immortelle. ”

“ Et qui divise 180 par la moitié, reste 90, qui est la mesure d'un angle droit pour l'angle du rayon sur le costé de ce polygone infini. -
Aussi il est vray que l'angle du rayon sur la circonference d'un cercle est droit en sa maniere, puisque le rayon coupe perpendiculairement sa circonference; & que si cet angle est plus petit qu'un droit, ce n'est que de l'espace qui est entre la circonférence & la tangente, qui est plus petit que tout angle aigu ; quoy qu'il n'y ait point d'angle aigu qui ne puisse estre divisé en une infinité de plus petits. ”