Henri Lebesgue

“ En revenant à ce sens primitif des dénominations, nous dirons donc que l'intégrale indéfinie de f (x) est la fonction Φ (α, β)
ce sera une fonction de deux variables ou mieux une fonction de l'intervalle d'intégration (α, β) ; le mol fonction signifiant ici correspondance, comme à la page 17. Mais il s'agit maintenant de faire correspondre à tout intervalle (α, β) un nombre ; (α, β) est la variable ou argument de notre fonction, le nombre est la valeur de la fonction. L'intégrale indéfinie est une fonction d'intervalle ; toute valeur prise par cette fonction est une intégrale définie. ”

“ En résumé, la construction d'un segment fini de la suite des entiers n'exige que l'emploi de ce qu'on peut appeler une récurrence finie, la démonstration d'une propriété pour tous les nombres de ce segment exige seulement un raisonnement par récurrence finie, réductible aux syllogismes ; la construction de la suite complète des entiers exige un procédé de récurrence indéfinie et la démonstration d'une propriété pour tous les entiers exige le raisonnement par récurrence indéfinie qu'on ne pourrait remplacer que par une suite indéfinie de syllogismes. ”

“ Une courbe est dite rectifiable si elle est, de longueur finie. L'étude des courbes rectifiables a été entreprise par Ludwig Scheeffer (1) , puis continuée par Jordan ( 2) à qui l'on doit le résultat suiyant :
Pour qu'une courbe soit rectifiable, il faut et il suffit que les fonctions x (t) , y (l) , z (t) qui la définissent soient à variation bornée.
En effet, un côté quelconque d'un polygone inscrit dans la courbe est de longueur au moins égale à chacune des projec (
projec ( Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven (Acta mathematica, t. V) . ”

“ Revenons à la fonction φ (x) . Est-elle une dérivée? Les deux théorèmes précédents ne semblent pas fournir facilement une réponse à celte question. Une première méthode consiste dans l'application d'un théorème démontré précédemment; une fonction dérivée bornée a le même maximum que l'on néglige ou non les ensembles de mesure nulle (1) . Il n'est pas difficile de démontrer que φ (κ) n'est différente de zéro que pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle (voir p. 118) , φ (x) n'est donc pas une fonction dérivée. ”

“ Ce nouveau problème est toujours possible et admet encore pour solutions les deux intégrales de f (x) ; mais, si f (x) est intégrable, il est déterminé, car la dérivée de la fonction à nombres dérivés bornés cherchée est connue partout, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. Ce problème n'est donc déterminé que pour les fonctions intégrables ; lorsqu'il est déterminé, sa solution est l'intégrale indéfinie de f (x) .
Nous pouvons ainsi, en un certain sens, considérer l'intégration riemannienne comme l'opération inverse de la dérivation. ”

“ En réalité, un seul de ces théorèmes est employé couramment : toute fonction continue est une fonction dérivée. Quant au calcul effectif des fonctions primitives, il ne se fait jamais au moyen de l'intégrale définie (1) , mais à l'aide des procédés connus sous le nom d'intégration par parties et d'intégration par substitution. Ces deux procédés s'appliquent, qu'il s'agisse de fonctions continues ou non.
On peut aussi utiliser le théorème suivant : Une série uniformément convergente de fondions dérivées représente une fonction dérivée. ”

“ Pour démontrer que la mesure intérieure ne surpasse jamais la mesure extérieure, il faudra démontrer qu'un carré C ne peut être couvert à l'aide d'un nombre fini de carrés ci que si la somme des aires des ci est au moins égale à l'aire de C, ce que l'on peut faire élémentairement (1) ; puis il faudra démontrer le théorème de M. Borel lorsqu'on remplace dans son énoncé le mot intervalle par le mot carré ou le mot domaine. ”

“ Une fonction est déterminée, à une constante additive près, quand on connaît pour chaque valeur de x, sauf peut-être pour celles d'un ensemble dénombrable D, la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite de cette fonction.
Soient f1 (x) et f2 (x) les deux fonctions ayant en général le même nombre dérivé supérieur à droite fini ; nous allons démontrer que l'on a toujours
et pour cela nous démontrerons que l'égalité
où II est différent de zéro, est impossible. Il suffit de considérer le cas où II est positif, puisque l'autre cas se réduit à celui-là par le changement de f1 et f2 ”

“ A toute intégration définie nous avons attaché une intégration indéfinie fournissant une fonction de points, une fonction d'intervalles, une fonction d'ensemble mesurable; de sorte que la notion d'intégrale de Stieltjès conduit à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction de point, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d'intervalle, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d'ensemble. ”

“ Une fonction totalisable est presque partout la dérivée approximative de sa totale indéfinie.
En effet, presque partout aux points de Hα-1 - Hα la fonction totalisable f (x) est la dérivée, prise sur Hα-1, - Hα, de sa totale F (x) . Mais, presque partout sur H (α-1 - Hα, la densité de Hα-1 - Hα est égale à 1 ; donc, presque partout sur Hα-1 - Hα, f (x) est la dérivée approximative de F (x) , et le théorème est démontré. ”

“ D'une façon plus générale, si une grandeur est fonction d'autres grandeurs, toutes ces grandeurs sont coexistantes. Nous sommes habitués à raisonner sur variables et fonctions, mais il y a tout aussi bien lieu de raisonner sur des grandeurs coexistantes : entre la surface et le volume d'un cylindre, on peut, par exemple, établir des relations d'inégalité. Pour donner une base solide aux raisonnements sur les grandeurs coexistantes, précisons cette notion ce qui d'ailleurs va en restreindre la portée. ”

“ Mais l'ensemble exceptionnel E2 fourni par la seconde opération de totalisation qui donne F (.r) à partir de φ (x) est le premier ensemble exceptionnel qu'on rencontrerait dans la recherche, par totalisation, de la fonction G (x) construite à partir de E1, tandis que l'ensemble H2 relatif à F (x) est pour G (x) l'analogue de l'ensemble de H1, c'est-à-dire qu'il est l'ensemble des points de non absolue continuité de G (x) . Il est donc clair que E2 et H2 sont identiques; il en est de même de E3 et H3, de E4 et H4, etc. ”

“ Que les fonctions de domaine s'introduisent en physique et y apparaissent même comme plus directement adaptées aux besoins du physicien que les fonctions de points ne doit pas nous étonner. Un point n'est que la conception limite de corps de plus en plus petits, une fonction de point ne peut s'introduire en physique que
comme limite d'une fonction de corps, d'une fonction de domaine. ”

“ Nous avons trouvé une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction intégrable soit une dérivée; elle ne se présente pas sous la forme que l'on donne habituellement a de telles conditions. Le plus souvent on énonce, comme condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un fait A, l'existence d une propriété B qui accompagne toujours le fait À et est toujours accompagnée par lui ”

“ Pour avoir des exemples de fonctions auxquelles s'applique cette méthode, il suffit de prendre un ensemble réductible E, de ranger ses points en suite simplement infinie, x1 , x2, . . ., et de former la série
Supposons maintenant que l'ensemble E des points singuliers de f (x) ne soit pas réductible. Nous allons voir que, s'il existé une fonction F (.r) satisfaisant à la condition (1) dans tout intervalle où f (x) est continue, il en existe une infinité. ”

“ Une fonction continue F (x) sera dite résoluble si, quel que soit l'ensemble fermé de mesure nulle E, il existe un intervalle (l, m) contenant des points de E et tel que l'accroissement de F (x) sur la partie de E située dans (l, m) soit défini et égal à zéro.
Voici maintenant l'énoncé de M. Denjoy : Pour qu'une fonction soit une totale indéfinie, il faut et il suffit qu'elle soit résoluble. ”

“ Par ce raisonnement, on arrive en effet à cette conclusion : il existe des ensembles non mesurables; mais cette affirmation ne devrait pas être considérée comme contredite si l'on arrivait à montrer que jamais aucun homme ne pourra nommer un ensemble non mesurable !
Sur ces questions, on pourra consulter la seconde édition des Leçons sur la théorie des fonctions de M. Emile Borel.
( 2) La définition géométrique de la mesure permet non seulement de comparer deux ensembles égaux, mais aussi deux ensembles semblables. ”

“ Si, quel que soit le système des points de division, v est bornée, la fonction est dite à variation totale finie ou, simplement, à variation bornée. La variation totale finie ou infinie est, par définition, la plus grande limite de v, quand le maximum \ de la longueur des intervalles partiels employés tend vers zéro. Il est à remarquer que si, entre les points de division choisis, on intercale de nouveaux points, on augmente v ou, du moins, on ne le diminue pas ”

“ Nous savons (p. 324) , qu'une telle suite est finie ou dénombrable. Or. dans les questions étudiées, la suite ne peut s'arrêter que lorsqu'on arrive à un ensemble ne contenant aucun point ou parfait et la démonstration des théorèmes se réduit à prouver que, dans certaines conditions, la suite ne se termine pas par un ensemble parfait. Tout revient donc à caractériser l'ensemble parfait qui pourrait se présenter par une propriété de ses points.
Je ne m'occuperai ici que du théorème de Cantor-Bendixon (1) ”

“ J'avais utilisé ce fait pour l'étude de l'intégrale de Stieltjès ; c'est M. de la Vallée Poussin qui, dans sa conférence du congrès de Strasbourg, en a indiqué l'utilisation actuelle. Antérieurement, M. de la Vallée Poussin avait montré comment on pouvait obtenir la fonction d'ensemble attachée à une fonction F (x) non absolument continue grâce à un procédé qui généralise exactement celui qui nous a conduit à la mesure des ensembles. Voir son livre déjà cité et, plus loin, le Chapitre XI.
Mais on ne peut pas affirmer que l'accroissement soit défini pour tous les ensembles Ex mesurables. ”

“ Parmi les ensembles non mesurables J dans le plan se trouvent des courbes non quarrables, c'est-à-dire dont l'étendue extérieure n'est pas nulle ; mais toute courbe non quarrable n'est pas nécessairement non mesurable J, elle contient alors tous les points d'un carré.
M. Peano a construit le premier une courbe qui passe par tous les points d'un carré; M. Hilbert a ensuite indiqué une méthode géométrique simple permettant de construire de telles courbes; toutes ces courbes sont non quarrables (2) . ”

“ Ajoutons qu'on peut évidemment exiger que chaque système d'intervalles employé n'en contienne qu'un nombre fini.
A chaque mode de définition de p0, de n0, donc de v0 = p0 + n0, correspond évidemment une formulation différente de la condition d'absolue continuité.
Désignons par P., (X) , N, (X) , V, (X) les nombres p0, n0, v0 relatifs à l'intervalle (a, X) , il est évident que dans l'intervalle positif (α, X) les nombres p0, n0, v0 sont Ps (X) — Ps (α) , Ns (X) — Ns (α) , VS (X) - Vs (α) ”

“ Lorsqu'un ensemble est de mesure nulle et que tout système d'intervalles ouverts l'enfermant, donne une somme AAVs égale à v0, c est-à-dire donne une somme AA V au moins égale à v0, cet ensemble est dit l'ensemble des singularités de F parce que, en un certain sens, toute la variation de Fs est concentrée aux points de cet ensemble. ”

“ On pourra définir de même la dérivée d'une fonction d'ensemble par rapport à une autre ; on pourra être amené aussi à astreindre la suite des Di ou des Ei, a des restrictions supplémentaires pour que la limite existe, comme nous avons dû le faire (p. 191) ; laissons ces détails de côté.
Proposons-nous, avec Cauchy, de calculer φ (D) connaissant J' (D) et la dérivée f (P) de 9 ( D ) par rapport, à ^ (D) . Ce problème ne serait pas déterminé, et nous ne saurions guère comment l'étudier, si nous laissions a la notion de fonction de domaine toute la généralité possible. ”

“ On démontrera facilement que la mesure d'un carré est son aire, au sens élémentaire du mot. De là on déduira que la mesure d'un ensemble quelconque est comprise entre sa mesure extérieure et sa mesure intérieure, mesures qu'on définira comme dans le cas de la droite, les carrés remplaçant les intervalles. ”