Adrien-Marie Legendre

“ La formule (c) contient une constante arbitraire m, la formule (d) en contient deux , c et θ : il est visible que par la différentiation répétée de ces formules relativement à l'une des constantes arbitraires m, c, θ , on en déduira une infinité d'autres intégrales qui toutes auront une valeur connue ; d'où l'on voit combien est féconde la transformation dont nous avons fait usage. ”

“ On sait de cette manière combien il faut de transcendantes pour déterminer toutes les autres; mais il n'est pas aussi facile de prévoir quelles sont, pour chaque valeur de n , ces transcendantes.
Dans le cas de n = 60, on aurait pu penser que ces quantités , dont le nombre est fixé à huit, pouvaient être les huit premiers termes de la suite r 610 , r /0 , r 680" etc. ; mais le calcul a fait voir que la fonction Γ doit être exclue comme étant déterminée par les précédentes, au moyen de l'équation (8) = (6) + (4) - (2) + d. ”

“ Si dans la même équation l'on met I + x à la plate de x, on aura
d'où il suit que la fonction r (— a) est positive dans la seconde période, depuis a = I jusqu'à a = 2 , et que dans ces deux limites, elle est infinie. ”

“ Pour déterminer les constantes A et æ, on fera successivement x infiniment petit et x = 4 , ce qui donnera
donc eα = 55 : ensuite on a, par l'équation (5) ,
5^ ce qui donne A = ~5 = 4π2 √5. Donc enfin la fonction F satisfait encore à l'équation
c'est la cinquième propriété générale des fonctions Γ.
(26) . Il est facile de voir qu'on peut généraliser ces résultats et
les comprendre dans une même formule. ”

“ L'équation (D) ayant fourni deux équations de condition, on voit que les cinq transcendantes dont il s'agit se réduisent à trois, qui sont Z1, Z2, Z3; et cette solution est dans le fond la même que celle de l'art. 18, deuxième partie, où l'on n'a fait usage que des équations qui, pour les fonctions (~) , répondent aux deux équations (C) et (D) relatives aux fonctions Γ. Mais l'application de l'équation (E) , due au facteur premier 5, fournira encore une nouvelle réduction. ”

“ Mais comme deux quantités rationnelles peuvent différer entr'elles aussi peu qu'on voudra, il est évident que la formule a lieu pour une valeur quelconque de a, rationnelle ou irrationnelle, mais plus petite que l'unité. ”

“ Au surplus, quand on est parvenu aux derniers termes de la formule, ces termes forment avec les suivans une progression à très-peu près géométrique, de sorte qu'il est facile de tenir compte des termes qui restent à calculer.
(76) . La valeur de la constante C a été calculée par Euler (Calcul différentiel , page 144 ) , au moyen de la suite harmonique I + ~+ 3 dont la somme φ (x) est donnée par la formule
A', B', C', etc. ”

“ Il est facile de parvenir, par une autre voie, à celte
formule générale. Pour cela, soit z = ~^—i, on aura la transformée ~fxr-,-Idx (i-x) '-', laquelle devra être intégrée entre les limites x = o, x= i. Or cette nouvelle intégrale est une fonction Eulérienne de première espèce, qu'on peut représenter par (r-a, a) , et sa valeur, d'après la formule (3) , est
ce qui s'accorde avec l'équation (d) . Dans cette nouvelle démonstration, les nombres a et r sont des nombres positifs quelconques, et on suppose seulement a < r, ce qui donne une grande généralité à l'équation (d) . ”

“ Cette notion, fort claire lorsque a est un entier, ne présente plus aucun sens lorsque a est fractionnaire ; mais l'analyse y supplée en donnant pour valeur de la fonction , l'intégrale fdx (l t prise depuis x = o jusqu'à x = 1 ; intégrale qu'il sera toujours possible d'évaluer avec tel degré d'approximation qu'on voudra.
(6) . La fonction r a est très-remarquable par l'utilité dont elle est dans la théorie des intégrales définies. ”

“ Concevons maintenant qu'on fasse l'intégration indiquée, en regar- dant r et a comme des constantes indéterminées ; qu'après l'intégration on fasse α = x et r = 1 — ω) , ω étant une quantité infiniment petite ; qu'eufin la constante soit déterminée de manière que l'intégrale s'évanouisse lorsque x est infini; on obtiendra ainsi la vraie valeur de la somme ψ (x) .
Un pareil résultat qui offre la possibilité d'exprimer une intégrale aux différences finies , par une intégrale aux différences infiniment petites, n'est sans doute qu'un jeu d'analyse qui ne présente aucune utilité réelle ”

“ Cette formule peut servir à trouver, par approximation, la valeur de A ; elle ne diffère pas de celle qui a été donnée article 21 , deuxième partie.
(142) . On conçoit que les transformations peuvent être variées d'une infinité de manières -' de sorte qu'une formule assez particulière peut conduire à une infinité d'autres contenant des paramètres arbitraires ; mais il est surtout une de ces transformations que nous devons rapporter, et par laquelle une intégrale prise entre les limites x = 0 , x =1, peut être changée en une autre dont les limites seront z = o , z — ∞. ”

“ Si l'intervalle inconnu s'étend d'abord depuis x= 1/5 — ω jusqu'à x=1/5+4ω, une première opération resserrera cet intervalle entre les limites x = 5 - û) , x=s + co ; une secon d e opération le resserrera en-
core entre les limites jc = j — tz® et x 1/5 + 1/4 ω, et ainsi de suite. D'où l'on voit que l'intervalle inconnu finira par s'anéantir dans la limite x= t; et en ce point on aura, toujours d'après la même formule,
5°. La valeur de la fonction (x) étant connue depuis x = 0 jusqu'à x = 7/18; pour la trouver depuis x = 7/18 jusqu'à x =1/2, on fera usage de la formule
(38) . ”

“ Plus on supposera grands les nombres s et n, plus les ordonnées décroîtront rapidement en s'éloignant du maximum. Ainsi l'aire Z' ne pourra être qu'une petite portion du rectangle M x 1, de sorte qu'on aura Z' = , k. étant une fraction assez petite.
Au reste , la méthode des quadratures pourra , dans tous les cas , donner la valeur de Z' avec un degré d'approximation aussi grand qu'on voudra, et auquel les formules analytiques connues ne sauraient atteindre. ”

“ Cette circonstance a forcé de prendre pour huitième terme la fonction Γ 60 Au reste, le problème qu'on a résolu par les huit fonctions mentionnées, pourrait l'être de beaucoup d'autres manières; c'est-à-dire qu'une ou plusieurs de ces fonctions pourraient être remplacées par d'autres en nombre égal; ce qui ferait toujours huit transcendantes par lesquelles on déterminerait toutes les autres. ”

“ La fonction Γa étant supposé e connue pour toute valeur positive de a , on en déduit aisément par les formules précédentes, l'expression de toute fonction de cette sorte où a est négatif ; car on a en général , k étant un entier quelconque, et x un nombre moindre que l'unité ,
ou encore - >
Cette dernière formule se déduirait directement de l'équation (C) ,
dans laquelle mettant k + I + x au lieu de x , on trouve
Ces formules s'accordent parfaitement avec les résultats que donneraient les autres équations (D) , (E) , (F) , etc., en y changeant le signe de x. ”

“ L'autre formule pour calculer log r ( i + x ) , a été donnée dans les articles 77 et 78 de la deuxième partie. Mais pour en faire usage, il faut connaître les valeurs fort approchées des transcendantes S2 , S3, S4, etc. qui représentent les sommes des puissances réciproques, de même degré , des nombres naturels. Ces valeurs sont données jusqu'à la 16me puissance et avec seize décimales , dans le Calcul différentiel d'Euler , page 456. ”

“ On voit par la forme de cette suite qu'elle ne pourra pas être convergente dans toute son étendue ; mais elle le sera au moins jusqu'à un certain terme; et en prenant x suffisamment grand, elle pourra servir à déterminer (x) avec tel degré d'approximation qu'on voudra, excepté seulement le cas de n= l, où la somme devient infinie.
(168) . On peut rendre plus convergente la valeur de 4 (x) , au moins dans un certain nombre des premiers termes, en substituant au lieu de cha q ue coefficient Hn, sa valeur - , et fai sant ”

“ Lorsque a est infiniment petit , on aura
Cette valeur se déduirait aussi de la formule
7T* dont le second membre se réduit à S, ou ~g- lorsque a = o.
La fonction φ (a) décroît donc continuellement depuis a = 1 jusqu'à a = 0; elle est égale à 1 dans la première limite, et à zéro dans la seconde.
Nous remarquerons qu'Euler a donné la valeur de φ ~ ( ) dans son Calcul différentiel , pag. 814, mais d'après une suite infinie qu'il ne somme que dans ce cas particulier. ”

“ Cette formule suppose a < 1 ; si on change le signe de a elle donne
ainsi l'intégrale conserve la même valeur, et c'est ce qu'on trou- verait immédiatement en mettant ~- à la place de z dans la for& mule (f) .
(103) . Considérons maintenant l'intégrale r (za z~~a>) dz comme composée de deux parties, l'une depuis z=o jusqu'à z = 1, l'autre depuis z = 1 jusqu'à z = ∞ : il est aisé de voir que cette seconde partie est égale à la première; car en mettant ~- à la place de z, l'intégrale reste la même, au signe près. ”

“ Mettant au lieu de Γ ~2 sa valeur (- 1') Γ — r) , et fai- sant — r = a, on retombe encore sur l'équation
qui prouve l'exactitude de nos calculs.
(127) . Il ne sera pas inutile de faire voir que la formule (k) , qui est le résultat d'un calcul assez compliqué, peut s'obtenir plus facilement par une autre voie. Si dans l'expression différentielle on développe le facteur ( 1 — ax) - r, on aura
Or en intégrant les termes successifs, on a f
etc. ”

“ En effet , si l'on fait log Γx = Z , on aura ( art. 21)
, fa. 1 1 d dZ ,.
Lorsqu'on fait x = I ou x < I, la va l eur de y- est négative ; lorsqu'on fait x = 2 , on a -
valeur positive. Donc entre x = 1 et x = 2 , il y a une valeur de x qui rend nulle dZ et alors Z est un minimum.
Si l'on fait x> 2, la valeur de dz sera positive et augmentera
jusqu'à l'infini. ”

“ Pour avoir la valeur de A, il faut distinguer deux cas, selon que n est pair ou impair.
Soit, 1° n = 2m, les fonctions ~T - , r. ~r -, Y - - auront un terme moyen Γ f = √π, et les termes également éloignés des extrêmes étant complémens l'un de l'autre , leur produit sera donné par l'équation (3) ; et on aura pour le produit total de ces fonctions,
Mais en faisant z infiniment petit dans la formule qui termine l'art. 240, Introd. in An. inf. ”

“ Cette équation peut servir à déterminer la fonction ~4, (x) par son complément ~4* ( 1 — x) , ou réciproquement; mais notre objet est maintenant de considérer la seule suite représentée par 4„ (x) — n (1 - x) , et on voit que la somme de cette suite sera donnée , pour toute valeur impaire de n , par la quantité 2n~~1 tt" N , où N est une fonction rationnelle de sin itx et de cos ivcx.
Considérons particulièrement les valeurs rationnelles de x, et
soit x = ~e , p étant ~<7 <7 ”

“ Pour cela nous supposerons
et puisque cette équation doit être linéaire par rapport à z et φ , les coefficiens A , B, C , etc. seront les mêmes pour toute valeur de φ. Soit donc φ = emx, on aura z = emx ( 1 — e-m) ou z = kemx, en faisant k = 1 — e-m ; de là r é su l te ^=:kmemx , = 1. , etc.
Ces valeurs étant substituées dans l'équation précédente , ou plutôt dans sa différentielle
on en tire, après avoir divisé par kemx,
Le second membre reste le même en changeant le signe de m : ainsi tous les coefficiens B, D , F, etc. des puissances impaires de m sont nuls. ”

“ On pourra toujours supposer que r est plus petit que l'unité; car s'il était plus grand, on mettrait ~? à la place de r, et on aurait.
une intégrale de même forme dans laquelle r' serait plus petit que l'unité.
Cela posé, si l'on développe suivant les puissances de r la
P~ SIn '2az 1." d quantité P = + <, on aura par les poropriétés des séries récurrentes 3 P = sin 2az + ,. sin 4az + 1-2 sin 6az + r3 sin 8az + etc. ,
ce qui donne
Mais par la formule ( 2 ) de la troisième partie, page 358 , on a l'intégrale
ou simplement,
c'est la valeur de l'intégrale cherchée. ”

“ Le nombre de toutes ces fonctions est donc - (i + n ) . Il faut déduire de ce nombre, 1°. les n fonctions de la forme () , dont n la valeur exacte est - ; 2°. les fonctions de la forme p dont a va eur est .Vit7 2 2 n sinp" 71 selon que n est impair ou pair. Il restera donc dans la série des intégrales (~) , un nombre de transcendantes égales à (n — i) % si n est impair, et à (n-2) si n est pair.
Dans le premier cas, un nombre ± (n—1) 2 de transcendantes () peuvent s'exprimer par les ~npremiers termes de la suite ~F r -, n > etc. ”

“ EULER a démontré (Cale. int., tome I, page 252) , qu'en supposant les nombres a et n entiers et a < n, l'intégrale !Za-I dz
—q—^, prise entre les limites z — o, z = ∞, est égale à ~ar Si on met z à la place de zn et - à la place de a, les QT Tt n sin n limites de l'intégrale resteront les mêmes, et on aura la formule
laquelle est démontrée pour toute valeur rationnelle de a plus petite que l'unité. ”

“ P d ffi. d. f' (' , 1 d d d ~deI 1 Γa Passons donc aux coefficiens différentiels du secon d or d re que nous désignerons semblablement par Z" (a) .
(59) . L'équation (16) étant différenciée par rapport à p donne, en mettant a au lieu de p,
Développant la différentielle du second membre en série, et intégrant les différens termes d'après la formule de l'art. 40, deuxième partie, on aura
Cette formule et celles qu'on pourrait en déduire par la différen-
tiation, sont les mêmes qui ont été données dans l'art. ”

“ J25 9.974 270 909 522169 625 398603 622 764 1.1249.974 101 284 J24 169 021 776602 858 759 1. 125 9.973 932 262 348 168 418 918602 099 759 1.126 9.973 763 843 430167 816 819 601 340 758 1.1279.973 596 026 611 167 215 479600 582 755 1. 128 9.973 428 8n I32 166 614 897 599 827 753 1.1299.973 262 196 235 166 015 070 5gg 074 752 1.1309.973 096 181 165 165 4i5 996598*322 749 1.1319.972930 765 169 164 817 674597 573 j49 - 1.1329.972 765 947'495 164 220 101 596 824 747 1.1339.972 601 727 094 163 633 277 5g6 077 743 1.1349.972 4^8 104 117 163 027 200595 334 744 i. ”