Jean-Antoine-Nicolas de Caritat marquis de Condorcet

“ Si au lieu d'avoir F égale à une fonction de x, y, z, on a F donnée par une équation en F, x, y, z, on aura F' donnée par une équation semblable en F', x', y', z'. Mettant pour F' fa valeur F + AF, & pour x', y', z' leurs valeurs x + Ax, y + Ay,z + A £, on aura une équation en F, x, y, z, AF, Ax, Ay, Az, & comme nous avons déjà une équation en F, x, y, z, on voit qu'on peut former à volonté & égaler à zéro une infinité de fonctions de F, AF, x, y, z, Ax, Ay, Az, qui toutes deviendront égaies à zéro, en y mettant pour F &A F leurs, valeurs. ”

“ Si nous passons des fonctions algébriques, c'est-à-dire, des fonctions données par un nombre déterminé d'équations, dont tous les termes soient formés par un nombre aussi déterminé de multiplications, à celles où le nombre d'équations est aussi déterminé, mais où leurs termes font formés par un nombre indéfini de multiplications d'une quantité semblable, ou, ce qui est la même chose, contiennent des exposans indéterminés ”

“ Si nous considérons les différens termes ou n + n' + n" a la même valeur, tandis que n, n', n" ont toutes les valeurs successives, depuis zéro jusqu'à n + n' + n''... ; c'est-à-dire, si nous considérons chaque rang de la valeur de F: (x + Ax, y + Ay, z + Az) ordonnée par rapport à ces trois variables, nous trouverons qu'on peut le mettre sous la forme suivante :
où l'on voit que le coefficient de AxnAyn'Azn" en n, n', n'' est en générai dans ce terme le même que celui de A A/1'A £tt" dans (Ax + Ay + Az) n + n' + n''. ”

“ Nous avons supposé jusqu'ici qu'aux valeurs successives de
y : y, y + Ay, y + 2Ay + AAy, &c. répondent des valeurs de
x : x, x + Ax, x + 2Ax + AAx, &c. On peut supposer aussi qu'aux valeurs de y : y, y + Ay, y + 2Ay + AAy, &c.
répondent des valeurs de
en regardant comme nulles les quantités A2x, A3x, &c. Si donc on a

”

“ Donc, quelle que soit une équation entre

AnV, prendre les termes, où pour
mettre dx au lieu de Av, ddx pour A2X, &C dp pour Ap, d" p pour A2cp, &c. & en égaler la somme à zéro ; où il est aisé de voir que, comme nous avons appelé dn p la somme des termes de la valeur de A"

p' + 2p" + 3p"'... = n,
nous pourrons de même appeler d" V la somme des termes où, dans la valeur de A"V,
Nous aurons donc en général dn V = o. ”

“ Mais il est aisé de s'apercevoir que, si dans ce cas on fait dans les deux produisans de cette formule x = o, & x = Ax ; elle deviendra
(1 — x+ x2...) (1 + x) — 1 = 1
+ x — x — x2 + x2... — 1,
où tout se détruit ; au lieu que, si dans la formule correspondante du numéro précédent, on avoit fait la même supposition, on auroit eu
où tout ne se détruit pas, parce que les termes zz: i, se trouvent dans la valeur développée de
lorsqu'après savoir développée, on y fait x = o, & Ax zz x, ne s'y trouvent pas lorsqu'on fait cette substitution avant d'avoir développé. ”

“ A"nV feront tous égaux à zéro. En effet, il est aisé de voir que A'V & AV" feront zéro, puisque A V doit être égal à zéro quel que soit Ay ; il fera encore zéro lorsque Ay = o. Or dans ce cas AV devient A'V, puisque la valeur de A ”

“ Si on examine quel sera le coéfficient de F [x + (n—p) Ax, y + (n'— p') Ay, z] dans cette expression, on trouvera
le signe + ayant lieu si p & p' sont tous deux à la fois pairs ou impairs, & le signe — s'ils sont l'un pair & l'autre impair. Si l'on avoit cherché par la même méthode la valeur de An' ( AnF) , on auroit trouvé de même pour le coéfficient de
Ces deux quantités sont donc identiques, & l'on a en général , An (A'n'F) = A'n' (AnF) , & par conséquent
' àp = • — , & on a pu également écrire,
au lieu de ces deux expressions ”

“ Maintenant, si nous saisons ici le même raisonnement que dans l'article 37, nous trouverons que, si nous
faisons AF = F (x + Ax y, z) — F (x, y, z) ;
A2F = F (x+ 2Ax, y, z) — 2 F (x + Ax, y, z) + F (x, y, z) ”

“ Si on ajoute à F fonction de x une quantité A qui ne contienne pas x, & qu'on appelle

F', & q>" = F" + A...donc
A

&
Or ce coéfficient de A est zéro ; donc A" q> = AnF ; de même, si on ajoute à A F une quantité A, on trouvera A (AF + A) = A2F, An- 1 (AF + A) = AnF, en forte que A F est également la différence de F & de F + A ”

“ Si on avoit cherché la valeur de

on auroit eu
& l'on voit que l'on peut mettre pour férie ci-dessus. Mais si on y substitue la série ci-dessus, & que, pour chercher si tous les termes se détruisent, on multiplie par 1 + x + Ax, on aura
où tout se détruit. ”

“ Appelant = A "&
Si nous cherchons l'équation pour nous la trouverions
trouverions la méthode ci-dessus ; mais nous pouvons l'avoir aussi plus simplement. En effet, appelant ”

“ Si connoissant la valeur de dN (P dans le cas où les d2x... ... dnx font zéro, on en cherche la valeur générale, il
n'y aura qu'à ajouter à la valeur donnée les termes qui manquent. On aura (par les n.os suivans du même paragraphe) les coéfficiens numériques de ces termes ; mais si on ne connoît que
dnpt on n'aura pas la valeur de tous les ^ — qui entrent
dans ces termes. Par exemple, le coéfficient de dn x dans dn

en générai est terme qui ne se trouve pas dans la valeur
de dn (p prise en regardant les d* x, d}x, &c. comme égaux à zéro.
(105.) ”

“ B + (2C + B) x + (3D + 2C) x2... — 1 = o ;
donc
& en général si dans la série P est le coéfficient de xn, & Q celui de xn+ 1, si on aura
Pn + Q. (n + 1) = o, ou <2 :=: — P> d'où il est clair que Q = • ■ ~ 1 *
selon que n est pair ou impair.
NOUS aurons donc
où tous les coéfficiens font connus, excepté A ; mais la série doit satisfaire à l'équation quel que soit x ; elle doit donc y satisfaire lorsque x o. Faisant donc x = o dans la fonction V, nous —aurons A — l1 = o ; donc A = l1 ”

“ Pour déterminer généralement la valeur de ces coéfficiens, nous observerons d'abord que a = n ;
en effet, si F",n = F + aAF...
F'''n+ 1 = F + a'AF... = F + AF + aAF...
a' étant fonction de n + 1, comme a l'est de n ; donc a est une fonction de n telle que, lorsqu'on augmente n d'une unité, elle augmente aussi d'une unité ; donc elle égale n plus une constante ; mais il est aisé de voir que, si n est I, a est aussi 1 ; donc cette constante est zéro ; donc a = n. ”

“ A3x... plus n fois celui de A"x est égale à n ;
que ce seul terme, dis-je, peut produire dans la valeur du
terme Axp/A2 xp"... A p?/ A2 p7'" un terme
où p' + 2p" + 3 p"... =
Or la somme de tous ces termes étant identiquement égale à la somme de ceux de A" V qui ont les mêmes exposans, & cette seconde somme étant égale à zéro, il est clair que la première l'est aussi. ”

“ La séconde série donne
p' = 1, ou p" = 1, ou p''' = 1, &c, &c,
&
p' *+ q' + 2q'' + 3q'''... = n,
ou
2p'' + q' + 2q'' + 3q'''...= n,
c'est-à-dire,
q' + 2 q''... = n - 1,
ou
q' + 2q''... = n — 2 ;
& pour le premier terme
q' + qn + q'''... = 1 ;
ce qui donne q'"n —1 = 1, & le reste zéro. On aura pour le second
q' + q'' + q'''... = 2,
& ainsi de suite.
Il y aura donc autant de termes dans d" — que ces
équations auront de solutions possibles, & on trouvera la ; valeur des coéfficiens de chacun de ces termes, en mettant
dans A, au lieu des p', p", &c, q', q, q'", &c. ”

“ Par exemple, si l'on proposoit d'avoir en série de la forme ci-dessus, la valeur de

= ■ t - / &c il est aisé de voir que dans les
le dénominateur seroit toujours zéro.
(121.) Examinons la fonction —. Il est clair, d'après ce que nous avons dit ci-dessus, que la série que nous formerions, seroit ce que devient

en y faisant x = o, & Ax =x. ”

“ K" ce que devient V, lorsque 9, * & y deviennent

& ainsi de suite ; nous aurons An V = o, & en suivant le même raisonnement que ci-dessus, nous trouverons ìfV = o ; 3"^ désignant toujours la somme des termes de AnV, où pour
on a
dans lesquels on mettra d

lieu de A9, &c, & où l'on pourra mettre dx au lieu de Ax, &c, dy au lieu de Ay, &c. puisque la somme des quantités, où
doit être égale à zéro, quels que soient Ax, &c. Ay, &c. ”

“ Si les équations en (p sont algébriques, comme dans les
nos 78, 79, 83, ces équations en x le seront aussi ; si les
équations en (p sont transcendantes, comme dans les n.os 85,
86 & 87, les équations en seront données par des
équations transcendantes du même ordre, desquelles on ne pourra éliminer en générai les quantités (p.
Enfin, en appliquant ce qui a été dit ci-dessus ( n.° 63 ) à ces fonctions, on verra que l'on aura pour les fonctions de différens ordres qu'on voudra former avec ces fonctions, la manière de trouver les équations en ”

“ On voit donc que si lc est le logarithme de c, la caractéristique étant b, l' c sera ie logarithme de c, la caractéristique étant b' ; & qu'ainsi le premier de ces logarithmes étant connu, on aura ie second en divisant le premier par le logarithme de b' pour la caractéristique b. ”

“ Or cette férie égale
donc zzz — — : ce qu'on savoit d'ailleurs.
Il est aisé de voir que ces exemples n'ont pas été donnés pour montrer l'utilité de la méthode, mais pour servir de preuve de sa légitimité, en montrant qu'elle donne les mêmes résultats que les méthodes connues. Ils servent aussi à prouver que la somme de X + X' + X" .... + X"'n a réellement la même valeur que la fonction de x & de n, qu'on lui suppose égale, quoique, lorsque n n'est pas un nombre entier, on ne puisse développer cette somme en termes finis. ”

“ Il résulte de tout ce qui a été dit ci-dessus, que,
pourvu qu'on ait un moyen d'avoir la valeur de — , q> étant
une fonction quelconque de x, on aura facilement la valeur de tous les termes de Fmn, ou de An F en ordonnées par
rapport aux différentes puissances de Ax, A2x... ”

“ Ces fonctions ont été considérées en particulier, quoiqu'elles puissent se réduire aux logarithmiques & aux exponentielles, non-seulement à cause du fréquent usage qu'on en fait dans les problèmes de Géométrie , de Mécanique, d'Astronomie, mais encore parce qu'elles représentent fous une forme réelle des fonctions réelles, mais composées de logarithmes ou d'exponentielles imaginaires.
(74.) Il fera facile de tirer du n.° 69, la valeur de —
dans ces différens cas; en effet, 1.° si x = e®, nous aurons 1 zz e? — ; donc —-—• zz zz ; donc — zz . 2. ”