Carl Friedrich Gauss

“ À cet effet nous supposerons que la nature de la première surface est déterminée par l’équation où est une fonction uniforme donnée de En tous les points de la surface par conséquent la valeur de s’évanouira, et en tous les points de l’espace qui n’appartiennent pas à la surface elle ne s’évanouira pas. Par suite lorsque l’on traversera la surface, la valeur de en général du moins, passera du positif au négatif, et lors du passage inverse du négatif au positif ; c’est à dire que d’un côté de la surface la valeur de sera positive, et de l’autre négative ”

“ On voit, par conséquent [conformément à l’Article VII] , que σ représente le rapport d’agrandissement de l’élément ds sur la représentation et qu’il est, comme cela doit être, indépendant de de même le fait que l’angle est indépendant de montre que tous les éléments linéaires issus d’un point sur le premier plan seront représentés par des éléments sur le second plan, formant entre eux les mêmes angles que les premiers et, nous pouvons ajouter, dans le même sens. ”

“ De même les intégrales de l’équation différentielle
seront tout à fait équivalentes aux équations
si représente une fonction quelconque déterminée de [où sont des fonctions réelles de ] . De là résulte bien clairement que dans la solution générale de notre problème, donnée dans l’Article précédent, peuvent remplacer et remplacer Bien que la résolution du problème ne gagne rien ainsi en généralité, néanmoins il sera parfois plus commode dans les applications d’employer tantôt l’une tantôt l’autre de ces formes. ”

“ VII Si nous désignons respectivement par et les fonctions provenant de la différentiation des fonctions arbitraires de telle sorte que
on aura comme conséquence de notre solution générale
et par conséquent
Le rapport d’agrandissement sera par suite ainsi déterminé par la formule
VIII Nous allons maintenant éclaircir notre solution générale à l’aide de quelques exemples, aussi bien en vue de mettre en pleine lumière le mode d’application que de faire encore ressortir la nature de quelques faits qui se présentent. ”

“ Comme un réseau de triangles ne s’étend jamais qu’à une partie très restreinte de la surfaee terrestre, l’on atteindra le but en question d’une manière encore plus complète, si l’on généralise encore un peu la solution générale en prenant non mais On n’y aurait évidemment absolument rien gagné, si l’on attribuait à cette constante une valeur réelle, puisqu’alors et différeraient simplement de cette constante, et que par conséquent les origines des longitudes, seraient seules changées. ”

“ Nous conserverons pour l’ellipsoïde les notations de l’article précédent, et désignant le demi-diamètre de la sphère nous poserons
Si l’on fait ici l’application de la solution générale de l’Article V, on trouve que, désignant une fonction arbitraire, on doit poser égal à la partie réelle et à la partie imaginaire de
[1] La solution la plus simple s’obtient en posant d’où
Ceci nous donne une transformation d’une utilité extrême en géodésie supérieure, et relativement à laquelle nous ne pouvons indiquer ici que quelques détails en passant. ”

“ De tout cela nous concluons maintenant que lorsque la représentation sur la surface dont l’équation est doit être non seulement semblable en les parties infiniment petites à l’original dont l’équation est mais encore semblablement disposée, l’on doit avoir égard au nombre des quantités négatives qui se présentent parmi les quatre suivantes
Si ce dernier nombre est nul ou pair, on devra choisir la première solution ”

“ De même la disposition semblable ou inverse des parties sur les représentations 6 et 8 dépendra de la valeur positive ou négative des quantités
ou, si l’on préfère, de l’expression symétrique
La comparaison des représentations 3 et 4 repose sur des principes tout à fait pareils à celle de 2 et 3, et la disposition semblable bu inverse des parties dépend du signe positif ou négatif de la quantité
de même le signe positif ou négatif de
déterminera la disposition semblable ou inverse des parties sur les représentations 5 et 6. ”

“ C’est encore à ce propos qu’il introduit l’expression « représentation conforme ».
Art. XIII. — Dans ses recherches sur la géodésie Gauss prend pour la forme
Art. XIII (fin) . — Relativement à la série pour remarquons ceci :
La formule
donne la formule précédente pour donne ensuite On tire de ces deux formules
En différentiant successivement, on obtient
Si l’on fait après avoir effectué les différentiations, on a aussi d’où
La valeur prise par Gauss pour l’aplatissement, à savoir est un peu trop petite d’après les nouvelles mesures. ”

“ Ces intégrations peuvent évidemment s’effectuer [abstraction faite des difficultés générales de l’intégration] avant la résolution de notre problème principal.
Si à l’on substitue des fonctions de telles que la condition de notre problème principal soit remplie, se transforme en et l’on aura
. ”